圆锥曲线知识方法小结

椭圆、双曲线知识、方法、题型小结整理人：郑州七中何小龙(待完善中)解析几何部分的常用知识：过点P(X,y)的直线1的方程：00设法一：当1丄x轴时，1:x二x；否则，1:y—y二k(x—x)；000设法二：当1丄y轴时，1:y二y；否则，1:m(y—y)二x—x。000具体选择哪种设法要结合题意来判断，大多情况下用第一种方式来设直线IAx+By+CI点P(x,y)到直线1:Ax+By+C=0的距离d二 0 000 <A2+B23•点J,人)分有向线段AB的比为为，其中A"人),Bq，叮，x+九x则定比分点坐标公式：x0y0则定比分点坐标公式：x0y04.若A(x1,y1),B(x2,y2)1+九y+九y=T 21+九O为坐标原点，则OA丄OBoxx+yy二0。12125.设定点A(x1,y1),B(x2,y2)，动点P(x,y),若PA丄PB总成立，则动点P的轨迹是以AB为直径的圆(除A,B两点)。遇到求曲线方程或者轨迹方程的问题时，如果背景条件是三角形的话，要注意考虑是否需要挖去三点共线的情况。一、椭圆1.熟悉椭圆的定义(两种定义的表达方式都要清楚，特别注意第一定义中的IPFI+IPFI二2a>IFFI)、标准方程，熟练掌握常用基本方法的同时，要注意揣摩解1212题过程所使用的数学思想方法，以达到优化解题思维，简化解题过程的目的，旦切忌只想不算，形成解题思路后，一定要动手计算，不形成结论就不应该停手。2•要特别注意焦点分别在x轴和y轴上对应的椭圆方程的区别和联系。x2 y2 2例：椭圆W+-=1的离心率为3'则m= 求椭圆标准方程常用的方法是待定系数法和轨迹方程法：x2y2待定系数法：设方程为一+[=1(a>b>0)(或另一种形式，什么情况，怎么设？),a2b2然后根据题目中的条件求解得a,b的值，要特别注意a2二b2+c2及当离心率e已知时实际上已经知道了a,b,c三者之间的一种关系；或者在遇到已知椭圆过两定点M,N(坐标已知)时，设椭圆方程为：mx2+ny2二1(m>0,n>0,m丰n)，代入已知点的坐标求解。轨迹方程法：主要是根据椭圆的第一定义(特别注意利用图形的几何意义做题)和第二定义利用求曲线方程的方法求解。例：已知圆C：(x+2)2+y2=25，点AQ0 ，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，则点M的轨迹方程为 。直线与椭圆的位置关系，可以通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。通常利用联立消元后关于x(或y)的一元二次方程的判别式来判定，则有：>0,o直线与椭圆相交，即有两个不同的公共点；△二0,o直线与椭圆相切，即有两个相同(一个)公共点；<0,o直线与椭圆相离，即没有公共点。直线与椭圆相交时，被椭圆截得的弦长公式：IAB1=\：'(1+k2)[(x+x)2-4xx]或IAB1=；(1+亠)[(y+y)2-4yy](为什么？)7 1 2 12 计k2 1 2 12直线和椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程通常用韦达定理来解决，设点而不求点是解析几何中最重要的解题方法。利用直线、弦长、圆锥曲线三者间的关系组成的各类试题是解析几何中长盛不衰的主题，其中利用直线方程(以点斜式方程y-y=k(x-x)居多，要特别注意单独讨论斜率00不存在时的特殊情况)、直线和椭圆相交后的弦去求椭圆方程是各类试题中最难的试题，也是高考的热点试题之一。x2y2点P(x,y)和椭圆的关系：点P(x,y)在椭圆内0—1+A<1;点P(x,y)在椭圆00 00 a2b2 00x2y2 x2y2上0—1+1=1;点P(x,y)在椭圆外0—1+1>1a2b2 00 a2b2焦半径公式：F,F分别是椭圆的左(下)、右(上)焦点，IPFI=r,IPFI=r，贝I」：121122x2y2⑴一+——=1(a>b>0),r=a+ex,r=a-exTOC\o"1-5"\h\za2b2 1 02 0y2 x2=a+ey,r02=a-ey0(2)=a+ey,r02=a-ey0a2 b2 1焦点三角形：椭圆上的点P(x,y)与两焦点构成的三角形厶PFF，称作椭圆的焦点三0012角形，设ZFPF ,IPFI二r,1PFI二r。121122a⑴焦点三角形的面积S二b2tan二cIyI(想一想推导过程是什么？)20当IyI二b，即P点为短轴端点时，焦点三角形的面积最大，最大值为be；02b2⑵cosa— —1，当r—r，即点P为短轴端点时，角a最大。rr1212x2y2&焦点弦(即过焦点的弦)：AB为椭圆——+厂=1(a>b>0)的焦点弦，其中点a2b2A(x,y),B(x,y)，弦的中点M(x,y)，则弦长d—2a土e(x+x)—2a土2ex；焦点1122001202b2弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，即d— (怎么得到的？)。mina9.AB为椭圆—+二—1(a>b>0)的弦(与上一条知识有什么不同？)，其中点a2 b2A(xi,人),B(x2,y2)，弦的中点M(x0,y0)。⑴弦长IABI-叮(1+k2)[(xi+x2)2-4xix2]或IABI—W+匸)[(yi+y2)2-4yiy2]；b2x⑵k——亠(为什么？如何推导？)；AB a2y0⑶直线AB的方程为：y-y—k(x-x)；0AB 0⑷直线AB的垂直平分线方程为：y-廿—»(x-x。)。AB10.椭圆上存在两点A(x,y),B(x,y)，关于直线l:y—kx+b对称的问题，通常的解题思11221路为：设直线AB:y--〒x+m，将椭圆方程和直线AB方程联立消元后，利用弦AB的kx+xy+y中点(亠22，亠2^)在直线l:y—kx+b上来解决。二、双曲线双曲线和椭圆一样，都是解析几何的重要组成部分，是高考命题的热点之一，双曲线既保留了椭圆的定义及方程的特性，又与之有所区别，因此，对双曲线的考查更能体现对基础能力的认识，其难度要高于椭圆。在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程。熟悉双曲线的定义(两种定义的表达方式都要清楚，特别注意第一定义中的IIPFI-IPFII二2ae(0,1FFI))、标准方程，熟练掌握常用基本方法的同时，要注意揣1212摩解题过程所使用的数学思想方法，以达到优化解题思维，简化解题过程的目的，但切忌只想不算，形成解题思路后，一定要动手计算，不形成结论就不应该停手。2•要特别注意焦点分别在x轴和y轴上对应的双曲线方程的区别和联系。3.求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法和轨迹方程法：x2y2待定系数法：设方程为一-]=1(a>0,b>0)(或另一种形式，什么情况，怎么设？)a2b2然后根据题目中的条件求解得a,b的值，要特别注意c2二a2+b2及当离心率e已知时实际上已经知道了a,b,c三者之间的一种关系；或者在遇到已知双曲线过两定点M,N(坐标已知)时，设双曲线方程为：mx2+ny2二1(mn<0)，代入已知点的坐标求解；或者已知共x2y2渐近线的双曲线方程设之为—-一=入(入丰0)等。a2b2轨迹方程法：主要是根据双曲线的第一定义(特别注意利用图形的几何意义做题)和第二定义利用求曲线方程的方法求解。例：已知圆C：(x+3)2+y2=25，点A3)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，则点M的轨迹方程为 。3•直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论双曲线方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。通常利用联立消元后关于x(或y)的一元二次方程的判别式来判定，则有：当消元后方程的二次项系数为0时，直线和双曲线的渐近线平行，与双曲线仅有一个交点；当消元后方程的二次项系数不为0时>0,o直线与双曲线相交，即有两个不同的公共点；△二0,o直线与双曲线相切，即有两个相同(一个)公共点；<0,o直线与双曲线相离，即没有公共点。要注意区分当弦的两个端点在双曲线同一支上时，和两个端点分别在双曲线两支上的情况，要会讨论这两种情况时的离心率范围或直线斜率的范围。直线与双曲线相交时，被双曲线截得的弦长公式： I1IABI=也1+k2)[(x+x)2-4xx]或IABI=：(1+)[(y+y)2-4yy](为什么？)‘ 1 2 12 Vk2 1 2 12直线和双曲线相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程通常用韦达定理来解决，设点而不求点是解析几何中最重要的解题方法。利用直线、弦长、圆锥曲线三者间的关系组成的各类试题是解析几何中长盛不衰的主题，其中利用直线方程(以点斜式方程y-y=k(x-x)居多，要特别注意单独讨论斜率00不存在时的特殊情况)、直线和双曲线相交后的弦去求双曲线方程是各类试题中最难的试题也是高考的热点试题之一。点P(x,y)和双曲线的关系：点P(x,y)在双曲线外(不包含焦点的区域)0000x2y2 x2y20亠——<1；点P(x,y)在双曲线上o———a=1；点P(x,y)在双曲线内(包TOC\o"1-5"\h\za2 b2 00a2b2 00x2y2含焦点的区域)。亠——>1a2 b2焦半径公式：F,F分别是双曲线的左(下)、右(上)焦点，IPF\=r,1PF\=r，则:121122x2y2⑴一—厂=1(a>0,b>0),若点P在双曲线的右支上，r二ex+a,r=ex—a；若点Pa2b2 1 0 2 0在双曲线的左支上，r二—ex—a,r二—ex+a；1020y2x2⑵二—厂=1(a>0,b>0),若点P在双曲线的上支上，r二ey+a,r二ey—a；若点Pa2b2 1 0 2 0在双曲线的下支上，ri=-ey0-a，r2=-ey0+a7•焦点三角形：双曲线上的点P(x0,y0)与两焦点构成的三角形厶勺F2，称作双曲线的焦点三角形，设ZFPF ，\PF\二r,\PF\二r。121122a⑴焦点三角形的面积S二b2cot二c\y\(想一想推导过程是什么？)202b2(2)COSa二1— —0rr12x2y2&焦点弦(即过焦点的弦)：AB为双曲线一—厂=1(a>0,b>0)的焦点弦，其中点a2b2A(x1,y1),B(x2,y2)，焦点弦中通径(垂直于实轴的焦点弦)或实轴最短，即2b2d=mm{2a, }（怎么得到的？）min a9.AB为双曲线—-学=1(a>0,b>0)的弦(与上一条知识有什么不同？)，其中点a2b2A(x,y),B(x,y)，弦的中点M(x,y)。112200⑴弦长IAB\=(1+k2)[(x+x)2—4xx]或IAB1=(1+)[(y+y)2-4yy]；“ 1 2 12 \ k2 1 2 12b2x⑵k=亠(为什么？如何推导？)；ABa2y0⑶直线AB的方程为：y-y=k(x-x)；0AB 0⑷直线AB的垂直平分线方程为：y-y=-丄(x-x)。0k 0AB双曲线上存在两点A(x,y),B(x,y),关于直线l:y=kx+b对称的问题，通常的解题11221思路为：设直线AB:y=-〒x+m,将双曲线方程和直线AB方程联立消元后，利用弦ABkx+xy+y的中点(-匕缶，巧缶)在直线l:y=kx+b上来解决。等轴双曲线：方程为x2-y2=±a2(a>0)，离心率e=迈，两条渐近线互相垂直，以上结论反之亦成立。x2y2 x2y2与双曲线——一=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程为——一=九(九丰0)a2b2 a2b2xy x2y2(何时为九〉0,九<0?);以一±〒=0为渐近线的双曲线方程为—=九(九H0)(何ab a2b2时为九〉0,X<0?)。在解决直线和双曲线位置关系等问题时，要注意消元后的方程的二次项系数是否为零，并检验判别式是否大于零。三、抛物线本部分考查的主要知识点有：抛物线及其标准方程、焦点(坐标，、准线(方程，以及抛物线的几何性质。1.重视定义在解题中的灵活应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与到准线距离的相等转化；注意确定四种标准方程的条件，明确抛物线的焦准距、焦顶距、通径与抛物线标准方程中系数的关系(能全部回答出来吗？，；注意数形结合，提倡画出合理草图。顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2=mx或x2=my(m丰0)，此时m不具有焦参数p的几何意义。当问题中涉及直线与抛物线位置关系（如弦长、弦中点、三角形面积）等问题时，要注意利用韦达定理，这样可以避免求交点坐标的复杂运算。但同时要注意在抛物线背景下y2的问题中，消元时可以利用抛物线方程进行（如x 等），在设直线方程时，如果斜2p率不存在的直线符合题意，但斜率为0的直线不符合题意时，可以利用直线方程的点斜式的变形式：X-x二m（y-y）来表示直线，但必须注意的是，在m丰0时，该直线001的斜率为一，在m二0时，该直线的斜率不存在。m直线与抛物线的位置关系问题常利用消元后的方程来研究，当二次项系数不为零时：>0o直线与抛物线相交于两点；△二0o直线与抛物线相切；<0o直线与抛物线相离。当二次项系数为零时，直线与抛物线的轴平行或重合，这时有一个交点（非相切）。在考试中常遇到这样的题型：给出抛物线方程及一个点P（x,y），让判断过给出的点00P可以做出几条和抛物线仅有一个公共的直线。本类题型通常按下列步骤进行：首先判断点P（x,y）和抛物线（如y2二2px（p>0））的位置关系，P在抛物线内（含焦点的区域）00oy2<2px，P在抛物线外（不含焦点的区域） oy2>2px，P在抛物线上0000oy02二2px0；如果点P在抛物线内，仅有一条平行于轴的直线符合题意；如果点P在抛物线上，仅有一条平行于轴的直线和一条切线（共两条）符合题意；如果点P在抛物线外,有一条平行于轴的直线及两条切线（共三条）符合题意。（能否自己总结出其它三种标准方程在此类题目中的解题步骤?）直线和抛物线相交形成的弦长计算公式同椭圆、双曲线部分完全相同。（能默写吗？）焦半径公式：抛物线上的点P（x,y）与焦点F之间线段的长度称作抛物线的焦半径，00p记作IPFI二r，贝I」：y2二2px(p>0),r二x+ ；02py2=一2px(p>0),r二一x+02px2=2py(p>0),r=y+02px2一刀皿>0），r一y0+I（这四个公式是怎么来的？）焦点弦：过抛物线焦点的弦，设AB为抛物线y2二2px（p0）的焦点弦,A(xi,人),B(x2,y2)，弦AB的中点M(x0,y0)，则:

xx= ,yy=-p2（为什么？如何推导？）12412焦点弦长l二x+x+p,/>2Qxx+p=2p，等号成立时，即焦点弦与抛物线的1212轴垂直时（此时的焦点弦又叫抛物线的通径），即最短的焦点弦是通径，最小值是2p焦点弦长l==弓Q为弦AB的倾斜角）（能否自己推导一下呢？）sm2a8.设AB为抛物线y2=2px（p>0）的弦（注意和上条知识的不同之处），Axi，y1）恥哆）2 ，弦AB的中点"（xo,y0），则:弦长l=\：1+k2|x-x1='1+ Iy-yI（k丰0）1 2计k2 1 2k=—（为什么？提示：用点差法进行推导）ABy0直线AB的方程：y-y=p（x-x）或x-x=蛊（y-y）0y00p00y直线AB的垂直