力学舒幼生第一章质点运动学

力学舒幼生第一章质点运动学1第1页，共53页，2023年，2月20日，星期日1.1空间和时间时间和空间的测量

绝对时空观绝对空间，就其本性来说，与任何外在的情况无关，始终保持着相似和不变。绝对的、纯粹的数学的时间，就其本性来说，均匀地流逝而与任何外在的情况无关。

牛顿——《自然哲学的数学原理》时间和空间的测量与物体的存在和运动没有任何关系第2页，共53页，2023年，2月20日，星期日参考物：选取的一个有固定大小和形状的物体。相对参考物，可以确定其它物体的位置。参考空间：沿左右、前后、上下三对方向无限扩展，构成三维平直空间参考系：参考空间+测量时间的时钟坐标系：在参考空间中任选一点作为原点，可建立各种坐标系。时间的零点也可任选xzyO参考系第3页，共53页，2023年，2月20日，星期日相对运动的参考系两个参考系之间若有相对运动，他们观测同一个运动物体是否会得到相同的距离和时间？xzyO第4页，共53页，2023年，2月20日，星期日由繁到简将物体模型化为一个点——质点由简到繁质点——质点系质点5第5页，共53页，2023年，2月20日，星期日1.2直线运动1.2.1位移速度加速度直线运动的运动方程位移矢量的标量化：引入正负号即可表示方向6第6页，共53页，2023年，2月20日，星期日平均速度和瞬时速度txOPQ切线割线平均速度瞬时速度某一点的导数将该点的函数值与它相邻的函数值联系起来求导↔

积分历史上，正是由于牛顿在处理这类基本力学问题时需要一种适当的数学工具，才促使他创建了微积分。7第7页，共53页，2023年，2月20日，星期日平均速度不能反映各个时刻的运动瞬时速度，简称速度加速度瞬时速度8第8页，共53页，2023年，2月20日，星期日如果已知加速度随时间的变化质点的运动状态：质点的初始运动状态：9第9页，共53页，2023年，2月20日，星期日例题物体在t0时刻的初始运动状态为(x0,v0)，加速度求t时刻的位置和速度先求t时刻的速度微分关系式两边积分10第10页，共53页，2023年，2月20日，星期日再求t时刻的位置微分关系式两边积分物体运动的初始状态与积分常数一一对应11第11页，共53页，2023年，2月20日，星期日1.2.2三类直线运动直线运动可按加速度为零、常量和变量分为：匀速、匀加速和变加速例简谐振动12第12页，共53页，2023年，2月20日，星期日例小球A在倾角为φ的光滑斜面顶部从静止下滑，同时小球B在斜面底部从静止开始匀加速离开斜面。若A不能追上B，试求B的加速度a的取值范围。AB分析：a越小，A越能追上B，先求A恰能追上B的加速度临界值。设A滑到底部的速度为vA，所用时间为t1经t2时间，A恰能追上B的条件路程速度B的加速度a的取值范围13第13页，共53页，2023年，2月20日，星期日1.3平面曲线运动直角坐标系自然坐标系极坐标系14第14页，共53页，2023年，2月20日，星期日1.3.1直角坐标系分解在质点运动的平面上建立直角坐标系OxyxyOP位置矢量质点的平面曲线运动方程这个运动方程有两个分量式平面曲线运动可正交地分解为两个直线运动15第15页，共53页，2023年，2月20日，星期日xyOPQ速度t时刻质点位于P处，位置矢量t+dt时刻质点运动到Q处，位矢位移加速度16第16页，共53页，2023年，2月20日，星期日例空心入篮Oxy水平线xAA抛射角无极大值，但有极小值极小值对应的抛射角17第17页，共53页，2023年，2月20日，星期日1.3.2自然坐标系分解自由度：确定物体的运动状态所需的独立坐标的数目。限定在一条曲线上运动：限定在圆周上运动：曲面上运动的质点最多有两个自由度18第18页，共53页，2023年，2月20日，星期日圆周运动角速度角加速度圆周运动加速度可分解为速度与速度垂直，改变速度方向与速度平行，改变速度大小19第19页，共53页，2023年，2月20日，星期日无限小角位移矢量⊙初、末态矢量与转动正方向满足右手螺旋法则无限小角位移与有限角位移的区别？20第20页，共53页，2023年，2月20日，星期日有限角位移不是矢量不满足矢量加法的交换律21第21页，共53页，2023年，2月20日，星期日角速度角加速度⊙角速度和角加速度都沿转轴的方向无限小角位移是矢量22第22页，共53页，2023年，2月20日，星期日转动引起的无限小位移速度加速度⊙23第23页，共53页，2023年，2月20日，星期日曲线的曲率和曲率半径曲率曲率半径曲率正比于转过的角度，反比于经过的路程。24第24页，共53页，2023年，2月20日，星期日自然坐标系自然坐标系的两个正交基矢沿速度方向指向曲率圆的圆心加速度在自然坐标系中的分解切向单位矢量法向单位矢量第25页，共53页，2023年，2月20日，星期日计算曲率半径的运动学方法（1）假设一种沿曲线的简单运动（2）计算各点的速度（3）计算各点的加速度（4）计算与速度方向垂直的加速度分量，即向心加速度（5）计算曲率半径26第26页，共53页，2023年，2月20日，星期日例椭圆半长轴和半短轴处的曲率半径AB假设一沿轨道的运动求速度和加速度求向心加速度在(A,0)处在(0,B)处代入公式，曲率半径27第27页，共53页，2023年，2月20日，星期日1.3.3极坐标系分解极坐标系基矢任意矢量的分解与直角坐标系的变换28第28页，共53页，2023年，2月20日，星期日正交基矢与极坐标的微分关系正交基矢只依赖，与r

无关当θ变化时，正交基矢同时改变方向满足微分关系29第29页，共53页，2023年，2月20日，星期日极坐标系中位置矢量、速度和加速度的表示位置矢量速度径向速度横向速度30第30页，共53页，2023年，2月20日，星期日径向速度横向速度径向速度依赖r随时间的变化和径向基矢横向速度依赖r、θ随时间的变化和横向基矢当r和θ随时间变化时，径向速度的变化包含两项横向速度的变化包含三项径向基矢和横向基矢依赖θ31第31页，共53页，2023年，2月20日，星期日径向速度大小的变化径向速度方向的变化r增大引起横向速度的变化角速度增大引起横向速度的变化横向速度方向的变化32第32页，共53页，2023年，2月20日，星期日径向加速引起横向旋转引起径向变化与横向旋转共同引起加速旋转引起加速度33第33页，共53页，2023年，2月20日，星期日平面极坐标系中质点运动的轨道方程在平面上，质点的运动方程在极坐标系中，质点的运动方程消去时间参量t，得到极坐标系中的质点运动轨道方程若已知径向速度与横向速度，利用通过积分，可以得到轨道方程34第34页，共53页，2023年，2月20日，星期日例狐狸沿圆周跑，狗从圆心出发，速度都为v，圆心、狗、狐狸始终连成一直线。求狗的速度、加速度和轨道方程。狐狸的角速度狗有横向和纵向速度狗的横向和纵向加速度轨道方程35第35页，共53页，2023年，2月20日，星期日r例四点追击四支狗开始位于边长为l的正方形四个顶点上，追击速度v保持不变，求开始时狗的加速度、相遇的时间和轨道方程。分析：四支狗始终成一正方形经过时间间隔dt加速度沿径矢的分速度不变相遇的时间36第36页，共53页，2023年，2月20日，星期日1.4空间曲线运动1.4.1质点的空间曲线运动xyOPQzxyz质点的位置矢量运动方程可分解成三个直线运动方程37第37页，共53页，2023年，2月20日，星期日位移速度加速度38第38页，共53页，2023年，2月20日，星期日1.4.2质点系和刚体的空间运动物体的形状不可忽略若物体内各个点部位的运动相同，整个物体可近似为质点。若物体内各个点部位的运动不相同，将它分解成一系列无穷小部位，每个小部位可处理为质点，物体→质点系力学中质点系是普适性的系统模型39第39页，共53页，2023年，2月20日，星期日刚体的运动刚体的自由度刚体的平动刚体的定点转动刚体的定轴转动质点在空间中自由运动，有三个自由度。宠辱不惊，闲看庭前花开花落；去留无意，漫随天外云卷云舒。40第40页，共53页，2023年，2月20日，星期日1.5参考系间的相对运动1.5.1参考系间的平动zy'OPxyz'O'x'S'系S系两个参考系观测同一质点的运动时间位置矢量41第41页，共53页，2023年，2月20日，星期日平动：参考系S'

的基矢相对参考系S不变，参考系S'

的基矢不随时间变化。位置矢量速度加速度42第42页，共53页，2023年，2月20日，星期日1.5.2参考系间的匀速定轴转动y'OPxyO'x'S'系S系⊙转动参考系：相对S系，S'系绕着它的某一点O'匀速定轴转动。转动角速度沿z轴方向。两个坐标系的原点和z轴重合在两个坐标系中质点P的速度加速度位置矢量43第43页，共53页，2023年，2月20日，星期日y'OPxyO'x'S'系S系⊙质点P相对S'系静止，相对S系作匀速圆周运动。在S'系质点P的速度、加速度皆为零在S系质点P的速度为rω，沿切向。加速度为rω2，指向原点。若质点P相对S'系运动，速度、加速度的变换关系就更为复杂。44第44页，共53页，2023年，2月20日，星期日y'OPxyO'x'S'系S系⊙相对S系，它自己的基矢是静止不变的；但S'的基矢由于转动是随时间变化的。坐标关系45第45页，共53页，2023年，2月20日，星期日加速度的推导非匀速转动46第46页，共53页，2023年，2月20日，星期日y'OPxyO'x'S'系S系⊙质点P相对S'系静止，相对S系作匀速圆周运动。在S'系质点P的速度、加速度皆为零在S系速度、加速度的大小和方向与质点P在S系中作匀速圆周运动一致47第47页，共53页，2023年，2月20日，星期日1.5.2参考系中质点间的相对运动在参考系S中，质点B相对质点A的运动一个质点不能作为运动参考物，不能建立相应的参考空间和参考系zOBxyAS系在参考系S中，可分别测量质点A的运动、质点B的运动。B相对A的运动B点相对S系的运动=B点相对A点的运动+A点相对S系的运动或B的运动=B相对A的运动+A的运动48第48页，共53页，2023年，2月20日，星期日例直角三角板的边长如图示，开始时，斜边靠在y轴上，使A点单调地朝O点运动。（1）AC平行x轴时，A点速度为vA，求C点的速度和加速度。（2）A运动到原点时，求C点通过的路程。OxyAabBCOxyAabBCOxyAabBC49第49页，共53页，2023年，2月20日，星期日OxyAabBC（1）C点的速度和加速度C点的速度=C相对