初中数学中的分类思想方法

初中数学中的分类思想方法第1页，共40页，2023年，2月20日，星期日所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略.简单地说，把研究的对象，按照一定的标准，划分成为几种情况或几个部分，逐一进行研究和解决的方法叫做分类讨论法。一、分类思想方法定义与特点第2页，共40页，2023年，2月20日，星期日分类讨论首先是分类，没有正确的分类，就不可能有正确的讨论，而分类本身是一种逻辑上的划分。划分是揭示概念外延的逻辑方法，逻辑划分原则是进行逻辑划分的依据，也是借以进行分类的标准。因此，弄清划分的依据于规则是正确进行分类讨论的基础。分类讨论法的理论依据：逻辑划分原则二、分类讨论法的理论依据第3页，共40页，2023年，2月20日，星期日二、分类讨论法的理论依据逻辑划分原则是：一是子项外延之和等于母项的外延；二是一个划分过程只能有一个标准；三是划分出的子项必须全部列出；四是划分必须按属种关系分层逐级进行，不可以越级。

划分的规则：1.划分后各个子项应当互不相容（不重）。2.划分后各个子项必须穷尽母项（不漏）。3.每次划分都应按同一标准。第4页，共40页，2023年，2月20日，星期日

规则1：划分后各个子项应当互不相容（不重）。从集合的角度看，划分后的子集两两交集均为空集。

例如：矩形、菱形、正方形都是平行四边形，它们的关系如图所示

如果把平行四边形分为矩形、菱形、正方形三类，这其中就有三处重叠（交集不空），不符合规则1。划分规则举例：第5页，共40页，2023年，2月20日，星期日规则2：划分后各个子项必须穷尽母项（不漏）。从集合的角度看，划分后所有的子集的并集应该等于是全集。

例如：自然数可以分为奇数和偶数两类。如果把自然数分为素数与合数两类，就漏掉了自然数1，因为1既不是素数也不是合数。从集合的角度看，划分后两个的子集的并不等于全集，因此，这样分类不符合规则2。划分规则举例：第6页，共40页，2023年，2月20日，星期日

规则3：每次划分都应按同一标准。分类的标准直接影响到分类的结果，如果在一次分类中标准是变化的，那么这个分类就失去了意义。例如：三角形可以如下分类

锐角△

有两边相等的△直角△三边都不等的△钝角△

按边分按角分

如果把三角形分为等边三角形、等腰三角形和直角三角形，就没有按同一标准进行划分，不符合规则3。

划分规则举例：第7页，共40页，2023年，2月20日，星期日三、分类思想方法的作用可化繁就简，化难为易。可使思维有序、有条理。可使思维全面、缜密。第8页，共40页，2023年，2月20日，星期日人教版3.2解一元一次方程（一）中的例4如下：例4根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题。一个月内在本地通话200分钟和350分钟，按方式一需交费多少元？按方式二呢？对于某个本地通话时间，会出现按两种计费方式一样多吗？引申：怎样选择计费的方式？作用举例:化繁就简，化难为易。第9页，共40页，2023年，2月20日，星期日25．（5分）如图，OC是∠AOB的平分线，且∠AOD＝90°．（1）图中∠COD的余角是

；（2）如果∠COD=；求∠BOD的度数.，朝阳区09—10年七上期末考试作用举例:使思维有序、有条理第10页，共40页，2023年，2月20日，星期日23.在△ABC中，AB=AC,点D是直线BC上的一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.(1)如图，点D在线段BC上，若∠BAC=90°，则∠BCE等于

度；(2)设∠BAC=α，∠BCE=β.①如图，若点D在线段BC上移动，则α与β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②若点D在直线BC上移动，则α与β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.(1)(2)朝阳区09——10年八上期末考试作用举例第11页，共40页，2023年，2月20日，星期日②当点D在射线BC上时，α+β=180°；当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β作用举例：使思维全面、缜密第12页，共40页，2023年，2月20日，星期日25.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，点B在y轴正半轴上，且△AOB是等腰直角三角形，点C与点A关于y轴对称，过点C的一条直线绕点C旋转，交y轴于点D，交直线AB于点P（x,y），且点P在第二象限内.(1)求B点坐标及直线AB的解析式；(2)设△BPD的面积为S，试用x表示△BPD的面积S.朝阳区09——10年八上期末考试作用举例第13页，共40页，2023年，2月20日，星期日ABOxyCDP∵点P在直线AB上，则P(x，-x+1).

设过P、C两点的直线的解析式为y=kx+b.∵C(-1,0)在直线y=kx+b上，∴-k+b=0.∴k=b,y=bx+b.∵点P(x，-x+1)在直线y=bx+b上，∴bx+b=-x+1,解得b=.∴点D的坐标为（0，）.作用举例第14页，共40页，2023年，2月20日，星期日ABOxyCDPABOxyCDP点D的坐标为（0，)作用举例第15页，共40页，2023年，2月20日，星期日(1)确定同一分类标准；(2)恰当地把对象整体进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；(3)逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；(4)综合概括小结，归纳得出问题结论．确定分类标准，是分类讨论的重要一环。四、分类讨论思想方法的步骤：第16页，共40页，2023年，2月20日，星期日五、隐含分类思想方法的教学内容1、数与式有理数的分类相反数绝对值有理数的大小比较有理数的运算法则（1）有理数（2）实数平方根、立方根无理数的形式（3）式

式的分类分式的加减实数的分类二次根式的化简第17页，共40页，2023年，2月20日，星期日五、隐含分类思想方法的教学内容2、方程与不等式方程的分类不等式的性质分段函数一次函数、反比例函数、二次函数的图像性质不等式组的解集3、函数一元二次方程的解第18页，共40页，2023年，2月20日，星期日五、隐含分类思想方法的教学内容4、图形的认识线的分类面的分类垂线性质三角形按边、按角的分类角的分类图形的分类三线八角三角形高的位置三角形外心的位置三角形全等的条件等腰三角形边和角计算勾股定理的应用四边形的分类弦、弧的分类与圆有关的位置关系圆周角定理第19页，共40页，2023年，2月20日，星期日五、隐含分类思想方法的教学内容5、图形与变换相似三角形的对应关系列举法6、统计与概率第20页，共40页，2023年，2月20日，星期日六、初中阶段分类思想方法教学

步骤：一、抓准时机，渗透分类的思想方法。三、深化提高，应用分类的思想方法研究问题。二、启发诱导，揭示分类思想方法的本质。1.在概念的学习中，渗透分类的思想。2.在法则的探究中，渗透分类的方法。3.在图形的求解中，渗透分类的意识。1.根据问题的需要，进行分类。2.分类要有明确的标准。1.根据字母的取值范围分类2.根据几何图形的位置关系分类第21页，共40页，2023年，2月20日，星期日六、初中阶段分类思想方法教学

策略：1、根据字母的取值范围分类二次根式的化简方程的分类不等式的性质一元二次方程的解一次函数、反比例函数、二次函数的图像性质第22页，共40页，2023年，2月20日，星期日3策略举例第23页，共40页，2023年，2月20日，星期日4、5.6.抛物线y＝a2＋c与y轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式．（y＝2x2＋3或y＝8x2－3）策略举例第24页，共40页，2023年，2月20日，星期日六、初中阶段分类思想方法教学

策略：2、根据几何图形的位置关系分类垂线性质三线八角三角形高的位置三角形外心的位置三角形全等的条件等腰三角形边和角计算勾股定理的应用四边形的分类与圆有关的位置关系圆周角定理相似三角形的对应关系第25页，共40页，2023年，2月20日，星期日1.2.3.策略举例第26页，共40页，2023年，2月20日，星期日4.5.策略举例第27页，共40页，2023年，2月20日，星期日已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦，且AB=8cm，CD=6cm，AB∥CD，则AB与CD之间的距离为__________．

（1cm或7cm）已知⊙O1和⊙O2相切于点P，半径分别为1cm和3cm．则⊙O1和⊙O2的圆心距为______．（2cm或4cm）6.7.策略举例第28页，共40页，2023年，2月20日，星期日8.9.策略举例第29页，共40页，2023年，2月20日，星期日七、分类思想方法在新课探究中的应用举例探究三角形全等的条件

问题：探究三角形全等的条件

标准：1、元素个数；2、元素内容、位置

分类：6大类，14小类研究：证明

归纳：（1）判断两个三角形是否全等至少需要三个条件；（2）能够判断两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS。

第30页，共40页，2023年，2月20日，星期日八、分类思想方法在中考综合题中的应用举例已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，b的取值范围.

09年北京中考第23题第31页，共40页，2023年，2月20日，星期日09年北京中考第23题根据字母的范围找到符合要求的类别，有三类第32页，共40页，2023年，2月20日，星期日09年北京中考第23题根据函数图像不同的位置分类，有两种不同的位置第33页，共40页，2023年，2月20日，星期日09年湖北黄冈第20题第34页，共40页，2023年，2月20日，星期日(3)当0＜t＜时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;(4)当t为何值时,△PQF为等腰三