现代控制理论第一章

.第一章控制系统的状态空间表达式§1－1状态变量及状态空间表达式一．状态变量足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状nn个独立变量。一般应用到物理系统微分方程的阶数取决于系统中独立0nn个独立的初始条件。初始条件就是一组状态变量的初始时刻t的值。0当其在t＝t0tt0作用下，便能完全确定系统在任何二．状态矢量

t0如果n个状态变量用x1tx2t，….xnt表示，并这些xt的分量，则xt就称为状态矢量。记x xxt＝ x xxtxt, xt, xt 以状态变量x1tx2t,xnt为坐标轴所构成的n维四．状态方程由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称作系统的状1－1R－L－C2C，L2uc和i作为此系统的两个CC

duci

图

Riucc c

1C

L

Ri1u

量用一般符号xi表示即令x1t＝uc，x2ti;写成矢量矩阵

1x

0

C

1

Rx 2

2 L

L＝Ax x1

10 C0

01其中x＝

，A=

R,B= 2

L

L五．输出方程y

ucyuC

y

y

yCT

x2x

式中

六．状态空间表达式＝Ax+ByCT在经典控制理论中图（1－1）

R

1

1u

ucus

s2

Rs

若改选uc和uc作为两个状态变量,即令x1＝uc

R1R1

x1

Lx2LC

即x

x

01

R11x2

Lx2 LC

例2．求图（1－2）系统的状态方程解：按定律可列出方程式图（1-解： 定律可列出方程L

R

i)

R1

i2 Cduc 选取i1uc为状态变量，由上式消除i2，由2

22

1L

Ri

uc 1

R 1 R 1 RL

R

1 u R RRR2iRL111 11 1cu R1R2 R2iRRiR2iRL11 121 11 1cu R1R2Ldi1R1R2i1 R1 R1di1 L(R1R2 L(R1R2 di1 L(R1R2 L(R1R2 Ri c 1 C(R1R2 C(R1R2

1

L(RR

L(RR)i11

L

uc

0C(R1R2

C(R1R2)

1

R

L(R

R)x1

L

x2

0C(R1R2

C(R1R2)x1y

1 2x1i1，x2uc，yuc设单输入-x1,x2,,xn

a11

a12

a1nxn＋

a21

a22

a2nxn＋b2

an1

an2

ann

yc1

c2

cn＝Ax+ByCTx1

x2式 x=

n维状态矢

xn

a1nA

a2n

an2

ann矩阵,为nn方b1b2B＝

bn里称为n×1r个输入，m为

a11

a12

a1n

b1rur

a21

a22

a2n

b2rurannxnbn1u1bn2uannxnbn1u1bn2u2

c1n

d12

d1rury2c21

c22

c2n

d22

d2rurymcm1

cm2

cmn

dm2u2

dmrur＝Ax+ByCxDu

x为n维状态矢量A为nn系统矩u1u u2u＝

ru ury1y yy 2

my ym

b1r 2rB＝

n×r

bn bnrc

c1n 2nC=

mn维输出矩 mnd

d1r 2rD=

m×r mr,§1－2axy

a0xa1a2y

x1C

其中

1-y＝x1＋x2

x

x02 2 x3

y 1x1xx 21-

a11

a12

2＝a21

a22

y1c11x1y2c21

c22

a12x1

b12u1x

bu2 22

2 222y1 a12x1y x2 2221-§1－3的输出选作一个状态变量xi其输入便是相应的xi由模拟图注 1ss 11u注u 1TT xsx(t 1TTT1

uTK

sx(t)

x(t) x(t)(s1)K x(t) TsT Ts1

KT x2T3 KTT2

x2 T2T

x3

K1K

x1 1y＝

1x1

01 1

0 x2＋KKK

3

3

1T T

1 1x1y＝

x02xx3s

1

z

s

s

21-

(z

p)x1

(z

y＝

0x1

kx

2＝ 2＋

x3

x1y＝

x02xx31－31－10所示的机械运动模型中M1M2为质量块，K1K2为弹簧，也为弹性系数B1B2是阻尼器，列写出在外力fM1M2y1y2为输出的状态空间K1K2，质量M1M2y 质量块M1M2的速度v1v2

1＝

2＝

3＝1＝dtx4＝v2＝dt根据定律，对于M1有2

(

)

(

dy1)Ky

对于M2M

fK

(

)

(

dy1

将1＝1414

2＝

3＝ 4＝ ＝带11

)x1K2M1K2M

x2

B2xM1

K2M

x1K2M2K2M

x2M2M

x3M2M

x4 1M21M

B B

x1

0

K

x

02＝

(K1K2

M(B1B2

2＋0

x3

1 K

K

B2x 4 M

M M

4M2

M2x1y1

x 02xy＝

x32

x4xy1 x1y＝x2 21－51－12R，L分J为机械转动部分的转动惯量，BLJi及旋转速度v是相互独立的，可选为状态变量。x1＝

x2＝

di

L

Rie由动力学方程

J

Kai

由电磁感应关系有eKbe－反电动势B

Ka－转矩常数

Kb－反电动势常数diRi

Kb1u d

KaiB x1＝ix2＝

Kb

1 Lx 11 B 11 a x2＋0 Jx12若指定角速度为输 y＝x＝2

1 2若指定电动机的转角为输出，必须增加一个状态变量x3＝

0 Kb 0

1 x1

L

a

0x

02＝

2＋

0Ax

x1y＝x3＝

x 12xy＝

x3§1－4状态空间表达式的建立（二考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是一个n阶yn

yn1

y

um

um1bb

Y

bsm

sm1

sW(s)

Um

sn

sn1

s

AxyCTx

实现的存在条件是mnmn时，式（1－20）中的D

0Y

bsm

sm1

sW(s)

=U

sn

sn1

sbsm

sm1bsbb

sn1asa)b

sn1asa

sn

sn1as10m=nbsmbsn10 b(sn

sn1asa)

sm1bsbb

sn1asa＝

sn

sn1as10 10

b)sn

sn2

a

)s

abW(s)=

n1

n2

1

010 sn10

sn1as

（1－21）即不出现零极点对消，则n阶系统必有n个独立状态变量，必有nA的元素取值虽各有yn

y

a1

a0

W(s)

sn

s

1-

a0

a1

an2

an1xny＝b01 1

x1

2

2

u

x

n1

n1

n

Ax

n1 n y

A1，

7

yx1＝

x2＝

x3＝

x

7x41x6x

0x1

1x

2＝ 2+

x3x1

y6x1

x 02x

x3yn yn1aay

um um1bb

bsm

sm1

s W(s)m

sn

sn1

s

n Y

s3

s2

s2W(s)＝U2

s3as

snm

n=mW(s)＝

)s2s3则

s

2s32

2 2

sy(s)b3u(s)yb3u(b2a2b3uy11132121140b0b23 ay2a1y1a0y1y1xx1x2y1x3

a2x3yb3u(b2a2b3

a0b3

x1

x

2＝ 2＋

a2

x3

y

a0b3

a2b3)x2 x3

推广到n阶系1 1

x1

2

2

u

x n1

n1

n n1 n y

b1

an1bn

bn nxn1

（1-x x n（1-uudtdx1b2115与上页图相比，从输入输出关系看，二者是等效1－16a012316图bu0u0x32x212ss+a2）+a1x x2 2

aa2GR0

G1GW(s)

(s3s2＝ s3(W(s)＝ 3 32

即

2313

2

1b13

203

21

0

03

03

02

0

1

10

2u

a0

a2x3yx13u

x1

2

x 2=

2＋

1

a2

x3

x1y

0

x2+xx3扩展到n阶系统，其状态空间表达式x1

x1

n10 0x2

0x 20x

n2

0n1 0

xn1x

1n n

n1xn

0x1ny 0nx x nnn1bn1n2bn2an2

0

a0

ain1（其中i＝1，2，…n－1） 0 n

bn

b

n1

n1

101

b0

a2b0

a1

a0

b3

b2

x1

x 2＝ 2＋

x1

x3

y

x02xx3按式（1－33）方法列写，根据（1－34）求32

2310

132

2212

03按照

x1

x

2＝ 2＋

x3

x1y

0x2x3

a2

2 2

a3

a4

a1

a2

a3

a4

y1

=(a1

＝(a1

22

xdty2(a3

u1u1x3设x x

x1yuu yuux3y2

a1

a2a4

a3

y1y2

x1

0u

x

b 2＝

2

2＋

3u

x

b23

3

3 4x1y1

0xy 122

x3§1－5状态向量的线性变换（坐标变换）一．系统状态空间表达式的非唯一性

Ax

x(0)yCxDu

(1-我们总可以找到任意一个非奇异矩阵TX作线性变换，得到另一状态矢量Z，设变换关系为XTZZT1

T

T1Bu；Z(0)T

T0y0

Du

由于T为任意非奇异阵，故状态空间表达式为非唯一的，T称

2x

（0）=

（1-T

T

1 121若取变换矩阵 2

0即

2

1Z＝

1即 1 1x31 Z1Z2x1x211T1ATZT111=2

3 32 1

16

1

1

2

=2

2

＝2

1Z

=

1yCTTZ1

2Z

1

11

1Z0T1x(0)

2 2 3

22＝

2

T

1即

2 T1x

z＝

2

1

2

- 2-

3 -

20

-

0

2＝

y

3

z

T

-

2

2

3B从21 T

12

0

T

1

000T30

2，此时

1 21

0~z

z

1 2 1

0

12

0~

z

2u

2

y ~

60z(0)T3z(0)

1

XAx系

Cx系统特征值就是系统矩阵A的特征值，也即特征方程IA0nn方阵有nAA为对称方程，ZT1ATZTYCTZ

IT1AT

（1－43（1－44IT1

T

T1

T

T1T1

T

IA

T

IA

II

a01an1an2a1a01一个npiApipi＝

pii（A的特征值）

piA的对应于i

pi＝

pi2 A＝

65解：A6I 6

6 6

1

(11)(26116

6I

0即

611,

2,

对应于

1p11

p＝

p21p

1

31

p11

p11

p21

p31

6

6

10

6

21即

5

6

11p 6

p11

p11

p31

p1＝取

2

2

p31 6

9

6

p11 (

p21 6

7

2

p12 1

2令 2时，p31

即 22

4取

3

32 3

p21p31

1(

p2166

8

6p318

(

3p21)

131

2p13

6

9，p11

即 23

p33

p13

0 0

Ax

y

T

y

（J=T1ATJ J＝=

0（没重根 0J 0

n0

（Q个重根求变换的控制矩阵T1B和输出矩阵CT，先求出变换矩阵T。下面介绍几种求T阵的方法。A1iA的n（i＝12n）求出

的特征矢量

变换矩阵由A的特征矢量p1,p2,,pnT＝p1p2pn证明（1）由于特征值12n互异，故特征矢p1,p2,,pnT＝p1p2pn必为非奇异，故T1

Bu

T1T

Ty将变换矩阵两边乘 T＝p1

pnAT

Apn

pn

pi＝

pi（i＝1，2，…，n 2

npn 0=p1

pn n 0 =T n两边左乘T

T

0 AT=

（1－48） n证明了式（1－48）中系统矩阵T

AT

6x

5 y A的特征值及对应特征矢量为

1,

2,

p1＝

p13

detT4

60

1

T 4

1

＝

3 32＝

3

1

1

6

T

AT=

1

5

＝＝

0 1 0T1AT 0 ＝

3

3 32

303T

B＝

1

CT

000

6 ＝6

1

0z1

0z

32＝

2＋

z3

z1y

z 12z2A

z3Aq个i（n-q）个根为互异根，TnT＝ pnpq1pn是对应于（n-q）q个i1p1Ap1

（1-p1仍为1p2pq则称为广义特征矢量4：将下式化为约旦

1x y

0

0I 13

21221,21,3

1的特征矢量

p1可按式（144）求得

T1AT

p11

p11 1

21 21

p31

p31

p21

1

p＝ 21＝ 2

3

p31

1再求对应于

1

p2

因

1p12

0p12

1

1

1 22

22

p32

p32

1

p12

1

1

22 p32

p即p

2

3

1p12 1

1;p220,

p2

p022 p0当32

p3，应用3

p32

p13

p13

2 1

2

2

23 23

0

2 3 2 33

33

当p131，则p232p33

p3

1 2

detT36 1 2

1

＝ 9 1

2 21

21

1T

3

3 39 ＝

1

9 0 ZT1ATZT1Bu

0

z1z1

1

z2

9

2

1

z3 2

1

9 1

5 z1

21

3

z

1＝9

2＋

z3

1z1 2z 1 2＋

z30z1

12

0z

1＝

2＋3

1

y A A A的特征值无重根时，其变换矩阵是一个范德矩 T

1 n n1 A T 1

1 d

1 T

2

4 23434

3

32 0

3 03

00 00 4

bsm

sm1

s W(s)

sn

sn1

s

(1-bsm

sm1

s W(s)

sn

sn1

s

式中12nbsm

sm1

s W(s)

(s1)(s2)(sn

WYsW＝U

s

s

s

nn

s

0

x

y

ncn0

c1

x

2

c n ny

u

||

c1c1c2 |||xn图为并联型模拟结构设有一个q重的主根其余q1q2,W(sn2W(s)n2

是互异根，这时

q(s1q

(s

(s1

(s1

iq1(si11

Xq-

1s-s-11s-1s-1s-1s-X11X1X21X2…

1Xq1XXq1XqC12Xq1C11XqCq1C12Xq1C11XqCq1Xq1CnXn

XnnXn 1x1 2 11 2 10 q11xq 1 0xqq1xq1 0xq1 00n y

x122xCCCCCq1n

q

（1—xq1 xn§1—6从状态空间表达式求传递函数。XAX

YCT

du

Xn维状态矢量 AB是n1C

是1n列阵，d（0

AX（s）Bu（s）其中

左乘

A)uCT

d

（1—UXW

uU

是一（n1）的列阵函数

sI

s）

W（s） W

s） s）

sI

sI

2。X

yCxDu

式中：ur1输入列向量，ym1Bnr控制矩阵，CmnDmr直接传递阵，xA—同单变量系统。y

sI

u UXW

为nr矩阵函数 U

sI

它是一个m

元素Wij(s都是标量函数，它表征了第j个输入对第i

ji关联，称为耦合关系，这正是多变量的特点（sI

adj（sI式（1—69）

|sIA

Caj

D|

A|

A

（1—可以看出W(s

T1 T1ATzT

yCTz

6669，当

T1xx

AT1yCTz=CTT1x

sI

~=~

sI

T

1BC[（sI=C[T（sI）T1TT1ATT1]1B1

A1X

B1u1 C

Du

11简记为

2

A2X

B2u2y2C2X

D2u2

u，y

y1y2

Ox1B1

Ax

B2

22

2y

x1C 1

Dx 2 x2

C2X

D2C(sIA)1BuDuC(sIA)1BuD 1 1 1uW＝y1C(sIA)1B1u 1W＝y2C(sIA)1Bu u2

C

sI

A

B1

D

（sI

B 1 1

2

D]

A

D1

2

（1-74）u1

y1

y

C2X

u2C1X

A1X1A2X

B2D1u

A2X

B2C1

B2y2C2X

D2

C2X

D2C1

D2[（sI

A）1BD 2

（sI1

C1

y2

yC2

（矩阵的顺序不能颠倒u1uC2

y1

y2C2

y1

ux2A2x2B2C1yy1C1 B1C2x1B1

B

x 0

2

2 sI

B 1BW(s)

0B

1sI1

01 1

2 1sI1

B 1 F

sI

B 12112 ＝ 12112

sI

F22

B2

sI

A2 sI

B 1

B

sI

I1 1

2

22 由C阵可知

0,

0F11(sIA1)F12B2C1

A1)

A2)F12(sIA2)F11

2121

A1)

＝I

)－1B2121

)－1B

W(s)CW(s)C0

1B

B1＝FF1FB F 0 121＝FF1FB

22 W(s)CFBC(sIA)1

CFBC(sI

)1BC(sIA)1111

111

W(s)C(sIA)1B；W(s)

(sIA)1B；W(s)CF

111W(s)W1(s)W(s)W2(s)W1W(s)

1W1(s)1

]12W2(s)2

]1（一

u1u

y2

y1

yu2y(s)

y1(s)W1(s)[u(s)W2(s)y(s)]W1(s)u(s)W1(s)W2(s)y(s)W1(s)W2(s)y(s)W1[IW1(s)W2(s)]y(s)W11（二1

W(s)

u1(s)u(s)

y2(s)u(s)W2(s)u2(s)u(s)W2(s)y1u1(s)u(s)W2(s)W1(s)u1、y(s

y1(s)W1(s)u1

u1(s)W2(s)W1(s)u1(s)u(s)[IW2(s)W1(s)]u1(s)u(s)1u(s)1

[I

y1

W(s)

§1－7离散系

n)an1

n1)a1

1a0y(k)

n)

n1)

bzn

z

zW(z)

zn

z

z

X

1)GX(k)hu(ky(k)CTX(k)du(k

u(k)不变的条件下，式T延时器，相当于积分器X1X2

1)1)

X2(k)kn1u(k)X3(k)kn2u(k)Xn1

1)

Xn(k)X

1)a0X1(k)a1X2(k)an1Xn(k)h0u(k)y(k)

X1(k)knu(k)01000010010000100001

kn2kX

1)

X(k)

u(k) k1

k0y(k) 0X(k)hnu(k)式中ki的求法（类似于i的计