理学第五章代数结构

[理学]第五章代数结构第一页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为复杂的对象——代数系统，研究代数系统的性质和特殊的元素，代数系统与代数系统之间的关系。如代数系统的同态、满同态和同构，这些概念较为复杂也较为抽象，是本课程中的难点。它们将集合、集合上的运算以及集合间的函数关系结合在一起进行研究。熟练地掌握集合、关系、函数等概念和性质是理解本章内容的关键。第二页，编辑于星期六：八点三十一分。

5.1代数系统的引入

5.2运算及其性质

5.5阿贝尔群和循环群

5.4群与子群第五章

代数结构

5.3半群

5.7陪集与拉格朗日定理

5.8同态与同构

5.9环与域第三页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数系统主要内容：

代数系统、运算及性质、半群与含么半群、群的基本概念和性质、阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定理、同态与同构、环与域。

教学要求：

了解：二元运算,代数系统,半群,群,子群,陪集。

理解：二元运算的概念；群的概念；元素阶的求法。

掌握：性质的判定、子群、群的证明与计算；陪集的计算；拉格朗日定理及其应用。

第四页，编辑于星期六：八点三十一分。

代数系统也称为近世代数或抽象代数，简称代数，是近代数学的重要分支，是在初等数学的基础上产生和发展起来的。它起始于十九世纪初，形成于30世纪30年代。在这期间，挪威数学家阿贝尔（N.H.Abel）、法国数学家伽罗瓦（E'.Galois）、英国数学家德。摩根（A.DeMorgan）和布尔（G.Boole）等人人都做出了杰出贡献，范德瓦尔登（B.L.VanDerWaerden）根据德国数学家诺特（A.E.Noether）和奥地利数学家阿廷（E.Artin）的讲稿，于1930年和1931年分别出版了《近世代数学》一卷和二卷，标志着抽象代数的成熟。第五章

代数结构

5.1代数系统的引入第五页，编辑于星期六：八点三十一分。代数结构是以研究数字、文字和更一般元素的运算的规律和由这些运算适合的公理而定义的各种数学结构的性质为中心问题。它对现代数学如拓扑学、泛函分析等以及一些其他科学领域，如计算机科学、编码理论等，都有着重要影响和广泛地应用。第五章

代数结构

5.1代数系统的引入第六页，编辑于星期六：八点三十一分。1、代数系统的一般概念2、代数系统的概念第五章

代数结构

5.1代数系统的引入第七页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

5.1代数系统的引入对集合A，一个从An到B的映射，称A上的一个n元运算。如果BA，则称该n元运算在A上是封闭的。

一个代数系统须满足两个条件：1、有一个非空集合A；2、有若干个建立在A上的运算；

1、代数系统的一般概念

定义1：*重点：运算就是函数。第八页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

5.1代数系统的引入例

(1)N上的二元运算：

(2)Z上的二元运算：

(3)非零实数集R*上的二元运算:(4)设S={a1,a2,…,an},ai

∘aj

=ai:

(5)幂集P(S)上的二元运算：

(6)SS为S上的所有函数的集合：加法、乘法.加法、减法、乘法.

乘法、除法.∘为S上二元运算.∪,∩,－,.

合成运算∘.第九页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

5.1代数系统的引入

{1}{2}{1,2}{1}{2}{1,2}

例

S=P({1,2}),,∼分别为对称差和绝对补运算{1,2}为全集）

的运算表∼的运算表

解：例Z5={0,1,2,3,4},,分别为模5加法与乘法0123401234

解：01234

01234

a

∼a{1}{2}{1,2}

{1}{2}{1,2}{1}

{1.2}{2}{2}{1,2}

{1}{1,2}{2}{1}{1,2}{1}{2}01234123402340134012401230000001234024130314204321第十页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2,…,fk所组成的系统称为一个代数系统，记作<A,f1,f2,…,fk>。当A为有限集时该代数系统为有限系统。否则称为无限代数系统。

5.1代数系统的引入

2、代数系统的概念第十一页，编辑于星期六：八点三十一分。1、交换律2、结合律3、分配律4、吸收律5、等幂律6、幺元7、零元8、逆元第五章

代数结构

5.2运算及其性质*重点：幺元、零元和逆元及它们的性质是本节的重要内容。第十二页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

设有代数系统<A,*>，若对于任意x、y∈A，均有x*y=y*x，则称此代数系统的系统“*”满足交换律。

定义1：

5.2运算及其性质一般二元运算的一些性质：

运算若满足交换律，则运算结果与元素的位置顺序无关。例Z5={0,1,2,3,4},,分别为模5加法与乘法第十三页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

设有代数系统<A,*>，若对于任意x、y、z∈A，都有(x*y)*z=x*(y*z),则称此代数系统的运算“*”满足结合律。定义2：

5.2运算及其性质一般二元运算的一些性质：

定义3：

设有代数系统<A,*，△>，若对于任意的x、y、z∈A，都有x*(y△z)=(x*y)△(x*z)，则称此代数系统中的运算“*”对运算“△”是可分配的。

第十四页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构设有代数系统<A,*，△>，其中*和△可交换，若对于任意x、y∈A，都有x*(x△y)=x；x△(x*y)=x，则称运算“*”和运算“△”满足吸收律。

定义4：

5.2运算及其性质一般二元运算的一些性质：

定义5：设有代数系统<A,*>，若对任意x∈A，有x*x=x，则称运算“*”是等幂的。第十五页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

5.2运算及其性质集合运算交换律结合律幂等律Z,Q,R普通加法+有有无普通乘法有有无P(B)并有有有交有有有相对补无无无对称差有有无实例分析第十六页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

5.2运算及其性质集合运算分配律吸收律Z,Q,R普通加法+与乘法对+可分配无+对不分配P(B)并与交对可分配有对可分配交与对称差对可分配无对不分配实例分析第十七页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

设<A,*>，若存在一个元素el∈A，对于任意元素x∈A都有el*x=x，则称el为A中关于运算*的左幺元；若存在一个元素er∈A，对于任意元素x∈A都有x*er=x，则称er为A中关于运算*的右幺元；若存在一个元素e∈A，它既是左幺元又是右幺元，则称e为A中关于运算*的幺元。定义6：

5.2运算及其性质显然，对任x∈A有e*x=x*e=x。第十八页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

设*是定义在集合A上的一个二元运算，且在A中有关于运算*的左幺元el和右幺元er，则el=er=e，且A中的幺元是唯一的。定理1：

5.2运算及其性质

证el=el

∘

er=er

所以el

=er,将这个幺元记作e.

假设e’也是S中的幺元，则有

e’=e∘

e’=e.

惟一性得证。类似地可以证明关于零元的惟一性定理。第十九页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

设有代数系统<A,*>，若存在一个元素θl∈A，对任意元素x∈A都有θl*x=θl，则θl称为A中关于运算*的左零元；如果有一个元素θr∈A，对任意元素x∈A都有x*θr=θr，则θr称为A中关于运算*的右零元；如果A中的一个元素它既是左零元又是右零元，则称θ为A中关于运算*的零元。定义7：

5.2运算及其性质第二十页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构实例分析集合运算幺元零元Z,Q,R普通加法+普通乘法P(B)并交对称差0无10BB无第二十一页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

设*是定义在集合A上的一个二元运算，且在A中有关于运算*的左零元θl和右零元θr,那么θl=θr=θ,且A中的零元是唯一的。定理2：

5.2运算及其性质第二十二页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

5.2运算及其性质定理3：

设<A,*>是一个代数系统，且集合A中元素的个数大于1。如果该代数系统存在幺元e和零元θ，则θ≠e。证：用反证法。设θ＝e，那么对于任意的x∈A，必有

x＝e*x＝θ*x＝θ＝e

于是，A中的所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。第二十三页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

设代数系统<A,*>，这里*是定义在A上的一个二元运算，且e是A中关于运算*的幺元。如果对于A中的一个元素a存在着A中的某个元素b，使得b*a=e，那么称b为a的左逆元；如果a*b=e成立，那么称b为a的右逆元；如果一个元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元，那么就称b是a的一个逆元。定义8：

5.2运算及其性质第二十四页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构实例分析集合运算幺元零元逆元Z,Q,R普通加法+普通乘法P(B)并交对称差0无X的逆元x10X的逆元x1(x-1属于给定集合)B的逆元为BB的逆元为B无X的逆元为X第二十五页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

设代数系统<A,*>，这里*是定义在A上的一个二元运算，A中存在幺元e，且每一个元素都有左逆元。如果*是可结合的运算，那么，这个代数系统中任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元，且每个元素的逆元是唯一的。定理4：证：由yl*

x=e

和x*

yr=e

得

yl

=yl

*

e=yl*(x*

yr)=(yl

*

x)*

yr=e*

yr=yr

令yl

=yr=y,则y是x的逆元.

假若y’∈S也是x的逆元,则

y'=y’

*

e=y’

*(x*

y)=(

y’

*

x)*

y=e*

y=y

所以y是x惟一的逆元.

x若存在逆元，则只有惟一的逆元，记作x1。

第二十六页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

3、*具等幂性，当且仅当运算表中主对角线上每一元素与它所在的行（列）的表头元素相同；

4、*有零元，当且仅当该元素所对应的行和列中元素都与该元素相同；

1、*具有封闭性，当且仅当运算表中每个元素都属于A；2、*具有可交换性，当且仅当运算表中关于主对角线对称；

5.2运算及其性质

<A,*>是一个代数系统，*是A上一个二元运算，那么该运算的有些性质可从运算表中直接看出：

第二十七页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

5.2运算及其性质

<A,*>是一个代数系统，*是A上一个二元运算，那么该运算的有些性质可从运算表中直接看出：

5、*有幺元，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致。6、设A中有幺元，a和b互逆，当且仅当位于a所在行，b所在列的元素以及b所在行，a所在列的元素都是幺元。第二十八页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构解

(1)∘

运算可交换，可结合，不满足幂等律，满足消去律。

x,yQ,

x∘

y=x+y-xy=y+x-yx=y∘

x,

即有∘

运算可交换。

x,y,zQ,(x

∘

y)∘

z=(x+y-xy)+z-(x+y-xy)z

=x+y+z-xy-xz-yz+xyzx∘

(y∘

z)=x+(y+z-yz)-x(y+z-yz)=x+y+z-xy-xz-yz+xyz

故(x

∘

y)∘

z=x∘

(y∘

z)，即有∘

运算可结合。例

设∘

运算为Q上的二元运算，x,yQ,x∘y=x+y-xy,(1)指出∘运算的性质.(2)求∘

运算的幺元、零元和元素的逆元.例题分析第二十九页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构给定x，设x的逆元为y,则有x∘

y=0成立，即

x+y-xy=0(x

1)因此当x

1时，是x的逆元.(2)设∘运算的幺元和零元分别为e和，则x有x∘e=x成立，即

x+e-xe=x

e=0

由于∘

运算可交换，所以0是幺元.x有x∘=成立，即

x+-x=

x-x=0

=1∘运算不满足幂等律：因为2Q，但

2∘

2=2+2-22=0≠2。∘

运算满足消去律。

x,y,zQ,（x≠1）有x

∘

y=x∘

z

x+y-xy=x+z-xz(y-z)=x(y-z)y=z

故∘

运算满足左消去律。第三十页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构例

(1)说明那些运算是交换的、可结合的、幂等的.

(2)求出运算的幺元、零元、所有可逆元素的逆元.a

b

c∘a

b

c

a

b

cabcc

a

b

a

b

c

b

c

aabca

a

ab

b

bc

c

cabc

a

b

c

b

c

c

c

c

c解(1)

满足交换、结合律；∘

满足结合、幂等律；

满足交换、结合律.(2)

的幺元为b,没零元，

a1=c,b1=b,c1=a

∘

的幺元和零元都不存在，没有可逆元素.

的单位幺元为a，零元为c,a1=a.b,c不可逆.第三十一页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

一个代数系统<S,*>,其中S是非空集合,*是S上的一个二元运算,如果运算*是封闭的,则称代数系统<S,*>为广群。定义1：

5.3半群半群是一种特殊的代数系统，它在形式语言、自动机等领域中有具体的应用。

*重点：半群、独异点及其它们的性质是本节重要的概念。第三十二页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构一个代数系统<S,*>，其中S是非空集合，*是S上的一个二元运算。如果：定义2：

5.3半群

1）运算*是封闭的。

2）运算*是可结合的，即对任意的x，y，z∈S，满足(x*y)*z=x*(y*z)则称代数系统<S,*>为半群。例：设集合Sk＝{x|x∈I∧x≥k}，k≥0，那么<Sk，+)是一个半群，其中+是普通的加法运算。而代数系统<I+，->和<S，/>，（-和/分别是普通的减法和除法）都不是半群。第三十三页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

设<S,*>是一个半群，BS且*在B上是封闭的，那么<B,*>也是一个半群。通常称<B,*>是半群<S,*>的子半群。定理1：

5.3半群例：设*表示普通的乘法运算，那么<[0，1]，*>、<[0，1)，*>和<I，*>都是<R，*>的子半群。第三十四页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

5.3半群定理2：

设<S,*>是一个半群，如果S是一个有限集，则必有a∈S，使得a*a=a。第三十五页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构含有幺元的半群称为独异点。定义3：

5.3半群例：代数系统<R，+>、<I，*>、<I+，*>、<R，*>是独异点？

代数系统<N一{0}，+>？第三十六页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

5.3半群定理3：设<S,*>是一个独异点，则在关于运算*的运算表中任何两行或两列都是不相同的。证明设S中关于运算*的幺元是e。因为对于任意的a，b∈S且a≠b时，总有

e*a＝a≠b＝e*b

和

a*e＝a≠b＝b*e

所以，在*的运算表中不可能有两行或两列是相同的。第三十七页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

5.3半群第三十八页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

5.3半群例：

(1)<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>(2)<P(B),>(3)<Zn,>(Zn={0,1,…,n1}，为模n加法)(4)<R*,∘>（其中R*=R-{0}，∘：x,y∈R*,x∘y=y）为半群。为半群，也是独异点。为半群,也是独异点。是半群，后四个也是独异点.第三十九页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构设<S,*>是独异点,对于任意a，b∈S，且a，b均有逆元，则定理4：

5.3半群1）（a-1）-1=a；

2）a*b有逆元，且（a*b）-1=b-1*a-1第四十页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

设<G，*>是一个代数系统，其中G是非空集合，*是G上一个二元运算，如果定义1：

5.4群与子群

1）运算*是封闭的；

2）运算*是可结合的；

3）存在幺元e；

4）对于每一个元素x∈G，存在着它的逆元x-1。则称<G，*>是一个群。群论是发展比较完善的数学分支。*重点：群、子群以及它们的性质是重要的概念。第四十一页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

5.4群与子群群的实例(1)<Z,+>，<Q,+>，<R,+>是群；<Z+,+>，<N,+>不是群。(4)<Zn,>是群。(3)<P(B),>是群。(2)<Mn(R),+>是群，而<Mn(R),*>不是群。x∈P(B)，x-1=0≠x∈Zn，x-1=X。n-x。(5)<R-{0}，×>，<(S)，⊕>是群。第四十二页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

5.4群与子群例:设R＝{0°，60°，120°，180°，240°，300°}表示在平面上几何图形绕形心顺时针旋转角度的六种可能情况，设★是R上的二元运算，对于R中任意两个元素a和b，a★b表示平面图形连续旋转a和b得到的总旋转角度。验证<R，★>是一个群。第四十三页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

设<G，*>是一个群。如果G是有限集，那么称<G，*>为有限群，G中元素的个数通常称为该有限群的阶数，记为|G|；如果G是无限集，则称<G，*>为无限群。定义2：

5.4群与子群{群}{独异点}{半群}{广群}第四十四页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构群中不可能有零元。定理1：群的性质：证明:当群的阶为1时，它的唯一元素视作幺元。

设|G|>1且群<G，*>有零元θ。那么群中任何元素x∈G，都有x*θ＝θ*x＝θ≠e，所以，零元θ就不存在逆元，这与<G，*>是群相矛盾。

第四十五页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构群的性质：定理2：

设<G，*>是一个群，对于a，b∈G，必存在唯一的x∈G，使得a*x=b。第四十六页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

设<G，*>是一个群，对于任意的a，b，c∈G，如果有a*b=a*c或者b*a=c*a，则必有b=c。（消去律）定理3：群的性质第四十七页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构置换：定义3：

设S是一个非空集合，从集合S到S的一个双射称为S的一个置换。譬如，对于集合S＝{a，b，c，d}，将a映射到b，b映射到d，c映射到a，d映射到c是一个从S到S上的一个一对一映射，这个置换可以表示为

即上一行中按任何次序写出集合中的全部元素，而在下一行中写每个对应元素的象。第四十八页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

群<G，*>的运算表中的每一行或每一列都是G的元素的一个置换。定理4：置换：证明:首先，证明运算表中的任一行或任一列所含G中的一个元素不可能多于一次。用反证法，如果对应于元素a∈G的那一行中有两个元素都是c，即有

a*b1＝a*b2＝c，且b1≠b2

由消去律可得b1＝b2，这与b1≠b2矛盾。第四十九页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

群<G，*>的运算表中的每一行或每一列都是G的元素的一个置换。定理4：置换：其次，要证明G中的每一个元素都在运算表的每一行和每一列中出现。考察对应于元素a∈G的那一行，设b是G中的任一元素，由于b＝a*(a-1*b)，所以b必定出现在对应于a的那一行中。

再由运算表中没有两行(或两列)相同的事实(独异点)，便可得出：<G，*>的运算表中每一行都是G的元素的一个置换，且每一行都是不相同的。同样的结论对于列也是成立的。第五十页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构等幂元：定义4：代数系统<G，*>中，如果存在着a∈G，有a*a=a，则称a为等幂元。在群<A，*>中，除幺元e外，不可能有任何别的等幂元。定理5：证明因为e*e＝e，所以e是等幂元。

现设

a∈A，a≠e且a*a＝a

则有

a＝e*a＝(a-1*a)*a＝a-1*(a*a)＝a-1*a＝e

与假设a≠e相矛盾。第五十一页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构子群定义5：设<G，*>是一个群，S是G的非空子集，如果<S，*>也构成群，则称<S，*>是<G，*>的一个子群。例：<I，+>是一个群，设IE＝{X|X＝2n，n∈I}，证明<IE，+>是<I，+>的一个子群。第五十二页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

设<G，*>是一个群，<S，*>是<G，*>的一个子群，那么，<G，*>中的幺元e必定也是<S，*>中的幺元。定理6：子群定义6：

设<G，*>是一个群，<S，*>是<G，*>的子群，如果S={e}，或者S=G，则称<S，*>为<G，*>的平凡子群。第五十三页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

设<G，*>是一个群，B是G的非空子集，如果B是一个有限集，那么，只要运算*在B上封闭，<B，*>必定是<G，*>的子群。定理7：子群的判定第五十四页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构子群的判定定理8：

设<G，*>为群，S是G的非空子集，如果对于S中的任意元素a和b有a*b-1∈S，则<S，*>是<G，*>的子群。证明:1)首先证明，G中的幺元e也是S中的幺元。

任取S中的元素a，a∈SG，所以e＝a*a-1∈S且a*e＝e*a＝a，即e也是S中的幺元。

2)其次证明，S中的每一元素都有逆元。

对任一a∈S，因为e∈S，所以，e*a-1∈S即∈S。

3)之后证明，*在S上是封闭的。

对任意的a，b∈G，由上可知∈S

而

b＝(b-1)-1

所以

a*b＝a*(b-1)-1∈S

4）运算*在S上的可结合性是保持的。因此，<S，*>是<G，*>的子群。第五十五页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

子群的判定例：设<H，*>和<K，*>都是群<G，*>的子群，试证明<H∩K，*>也是<G，*>的子群。证明：设任意的a，b∈H∩K，因为<H，*>和<K，*>都是子群，所以b-1∈H∩K，由于*在H和K中的封闭性，所以a*b-1∈H∩K，由定理5-4.8即得<H∩K，*>是<G，*>的子群。第五十六页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

子群的判定例

设G={e,a,b,c}，G上的运算由下表给出，称为Klein四元群.

eabc

eabc

运算表特征：对称性

---运算可交换主对角线元素都是幺元

---每个元素是自己的逆元

a,b,c中任两个元素运算都等于第三个元素。eabcaecbbceacbae第五十七页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

如果群<G，*>中的运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群或称交换群。定义1：

5.5阿贝尔群和循环群*重点：循环群可由生成元生成，所以生成元是重要的元素。第五十八页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构例：设S＝{a，b，c，d}，在S上定义一个双射函数f：f(a)＝b，f(b)＝c，f(c)＝d，f(d)＝a，对于任一x∈S，构造复合函数

f(x)2

＝fof(x)＝f(f(x))

f(x)3＝fof2(x)＝f(f2(x))

f(x)4

＝fof3(x)＝f(f3(x))

如果用f表示S上的恒等映射，即

f0(x)＝xx∈S

很明显地有f4(x)＝f0(x)，记f1＝f，构造集合F＝{f0

，f1，f2

，f3}，那么<F，o>是一个阿贝尔群。

解对于F中任意两个函数的复合，可以由下表给出。第五十九页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

5.5阿贝尔群和循环群定理1：

设<G，*>是一个群，<G，*>是阿贝尔群的充要条件是对任意的a，b∈G，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。第六十页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

设<G，*>为群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群G的生成元。定义2：

5.5阿贝尔群和循环群例如群<{0°，60°，120°，180°，240°，300°}，★>是循环群？60°是生成元，因此，该群是循环群。第六十一页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

5.5阿贝尔群和循环群定理2：任何一个循环群必定是阿贝尔群。证明设<G，*>是一个循环群，它的生成元是a，那么，对于任意的x，y∈G，必有r，s∈I，使得

x＝as和y＝at

而且

x*y＝as*at

＝as+t

＝at+s

＝at*as

＝y*x

因此，<G，x>是一个阿贝尔群。第六十二页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

5.5阿贝尔群和循环群定理3：

设<G，*>是一个由元素a∈G生成的有限循环群。如果G的阶数是n，即|G|=n，则an=e，且G={a,a2,a3…an-1,an=e}其中，e是<G，*>中的幺元，n是使an=e的最小正整数（称n为元素a的阶）。第六十三页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构例：设G＝{α，β，γ，δ}，在G上定义二元运算*如下表所示。说明<G，*>是一个循环群。解由运算表5-5.2可知运算*是封闭的，α是幺元。β，γ和δ的逆元分别是β，δ和γ。可以验证运算*是可结合的。所以<G，*>是一个群。

在这个群中，由于

γ*γ＝γ2

＝β，γ3

＝δ，γ4

＝α

以及

δ*δ＝δ2

＝β，δ3

＝γ，δ4

＝α

故群<G，*>是由γ或δ生成的，因此<G，*>是一个循环群。由此：一个循环群的生成元可以不是唯一的。第六十四页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构设<G，*>是一个群，A，B∈ρ（G）且A≠，B≠，记

AB={a*b|a∈A,b∈B}

和A-1={a-1|a∈A}

分别称为A，B的积和A的逆。定义1：

5.7陪集与拉格朗日定理定义2：设<H，*>是群<G，*>的一个子群，a∈G，则集合{a}H(H{a})称为由a所确定的H在G中的左陪集（右陪集），简称为H关于a的左陪集（右陪集），记为aH(Ha)。元素a称为陪集aH(Ha)的代表元素。第六十五页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构约瑟夫·拉格朗日，全名约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-LouisLagrange1735~1813）法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日的科学成就:月球问题;方程解法;数论;幂级数;分析力学;行星问题;置换群他试图寻找五次方程的预解函数，希望这个函数是低于五次的方程的解，但未获得成功。然而，他的思想已蕴含着置换群概念，对后来阿贝尔和伽罗华起到启发性作用，最终解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题。因而也可以说拉格朗日是群论的先驱。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。被誉为“欧洲最大的数学家”。第六十六页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构设<H，*>是群<G，*>的一个子群，那么定理1：(拉格朗日定理)

5.7陪集与拉格朗日定理

（1）R={<a,b>|a∈G,b∈G且a-1*b∈H}是G中的一个等价关系。对于a∈G,若记[a]R={x|x∈G且<a,x>∈R}则[a]R=aH（2）如果G是有限群，|G|=n，|H|=m，则m整除n。第六十七页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构任何质数阶的群不可能有非平凡子群。推论1：

5.7陪集与拉格朗日定理推论2：设<G，*>是n阶有限群，那么对于任意的a∈G，a的阶必是n的因子且必有an=e，这里e是群<G，*>中的幺元。如果n为质数，则<G，*>必是循环群。第六十八页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构设<A,★>和<B,*>是两个代数系统，★和*分别是A和B上的二元（n元）运算，设f是从A到B的一个映射，使得对任意的a1、a2∈A，有

f(a1★a2)=f(a1)*f(a2)则称f为由<A，★>到<B，*>的一个同态映射，称<A，★>同态于<B，*>，记作A～B。把<f（A），*>称为<A，★>的一个同态象。其中

f(A)={x|x=f(a)a∈A}B。本节讨论两个代数系统间的联系.着重研究两个代数系统之间的同态和同构关系。

5.8同态与同构定义1：第六十九页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

设f是由<A,★>到<B,*>的一个同态，如果f是从A到B的一个满射，则f称为满同态；如果f是从A到B的一个入射，则f称为单一同态；如果f是从A到B的一个双射，则f称为同构映射，并称<A，★>和<B，*>是同构的，记作A≌B。定义2：

5.8同态与同构定义3：设<A，★>是一个代数系统，如果f是由<A，★>到<A，★>的同态，则称f为自同态。如果g是由<A，★>到<A，★>的同构，则称g为自同构。第七十页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构

设G是代数系统的集合，则G中代数系统之间的同构关系是等价关系。定理1：

5.8同态与同构第七十一页，编辑于星期六：八点三十一分。第五章

代数结构设f是从代数系统<A，★>到代数系统<B，*>的同态映射。定理2：

5.8同态与同构

(1)如果<A，★>是半群，那么在f作用下，同态象

<f(A)，*>也是半群。

(2)如果<A，★>是独异点，那么在f作用下，同态象

<f(A)，*>也是独异点。