任意项级数绝对与条件收敛

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8.4任意项级数绝对收敛与条件收敛一、任意项级数二、绝对收敛与条件收敛正项级数

及其敛散性复习1.比较法2.比值法3.根值法判定正项级数当一般项中出现幂、阶乘、多个因子乘积与商的形式采用比值法来判定；当一般项中出现n次幂的形式时，则采用根值法来判定；这两种判别法在级数审敛时往往作为首选方法，而当它们失效时，可考虑比较法或定义时，例判定敛散性.任意项级数交错级数

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8.4任意项级数绝对收敛与条件收敛一、任意项级数二、绝对收敛与条件收敛所谓任意数项级数是指级数的各项可以是正数、例（1）（2）均为任意项级数。一、任意项级数及其敛散性负数或零.下面先来讨论一种特殊的级数——交错级数。然后再讨论任意数项级数。除了正项级数外，交错级数也是一类特征明显的级数.在上例(1)中，此级数的各项是正、负相间的，就是一个交错级数.（1）二、交错级数及其敛散性定义:即为交错级数.例（1）（2）均为交错级数.二、交错级数及其敛散性正、负项相间的级数称为交错级数.

定理(莱布尼茨定理)则交错级数必定收敛,满足：若交错级数且其和对于交错级数，有下面的判别法二、交错级数及其敛散性证明先考察交错级数前2n项的部分和因括号中的值皆非负,有由知为单调增加数列.故数列有界，且由数列极限存在定理知极限存在，证明又设为先考察交错级数前2n项的部分和二、交错级数及其敛散性最后，且其和收敛，因此再考察交错级数二、交错级数及其敛散性

定理(莱布尼茨定理)则交错级数必定收敛,满足：若交错级数且其和对于交错级数，有下面的判别法二、交错级数及其敛散性例1

判定敛散性.解由莱布尼茨定理可知该交错级数收敛.因为所给级数为交错级数，且二、交错级数及其敛散性例2

判定交错级数的敛散性。解由莱布尼茨定理可知该交错级数收敛.因二、交错级数及其敛散性（交错P-级数）故级数发散。综合可得交错P-级数，注可通过验证当x充分大解原级数收敛.为了把任意项级数与正项级数联系起来.下面引入级数的绝对收敛和条件收敛的概念.三、绝对收敛与条件收敛在数学上，一般任意项级数的敛散性问题，都需要把它归结为一个正项级数的敛散性问题来处理.通常对于任意项级数如果对其每一项均取绝对值,.称该级数为级数对应的绝对值级数.绝对值级数:则可得正项级数

定义如果

收敛，则称

绝对收敛.则称

条件收敛.如果例根据上述定义,对于一般任意项级数,我们应当判别它是绝对收敛、条件收敛还是发散的。三、绝对收敛与条件收敛定理

若

收敛，则

必定收敛.证由比较判别法知，收敛.一般地,可以利用绝对值级数这两个级数的收敛性有一定的关系.即绝对收敛的级数必定收敛又故三、绝对收敛与条件收敛若级数绝对收敛,则该级数必定收敛.反之，若级数收敛，则未必绝对收敛.说明任意项级数正项级数若级数发散，则逆否，定理

若

收敛，则

必定收敛.则可推出级数

收敛,即若级数收敛,且为绝对收敛.

但值得注意的是：则可推出级数

收敛,即若级数收敛,且为绝对收敛.

(2)正项级数的比值判别法与根值判别法对判别任意项级数的收敛与发散均适用,即若级数收敛,

则可级数

收敛,且为绝对收敛.

任意项级数正项级数因为在比值法中，则对一切充分大的数n，(2)正项级数的比值判别法与根值判别法对判别任意项级数的收敛与发散均适用,即若级数收敛,则可级数

收敛,且为绝对收敛.

则若收敛，若发散，或定义但若用正项级数的比值判别法判定出

例4判定级数的收敛性.如果它收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？解为的p-级数，其通项从而知收敛，此级数为交错级数，为收敛级数.且为绝对收敛.故收敛，任意项级数的敛散性

例5判定级数的收敛性(其中p>0),如果其收敛,是绝对收敛,还是条件收敛?解当p>1时，因此绝对收敛.由知交错级数故为条件收敛.则记收敛，由莱布尼茨定理，收敛任意项级数的敛散性

例6判定级数的收敛性.解从而知收敛，且为条件收敛.即级数非绝对收敛.由由莱布尼茨定理，任意项级数的敛散性解这是一个交错级数，利用比值判别法，因为例7任意项级数的敛散性

例8讨论级数的敛散性.因为x为任意实数，由于

所以，解所以级数为任意项级数级数发散；级数绝对收敛；级数发散；任意项级数的敛散性级数发散任意项级数正项级数比值判别法根值判别法判别任意项级数敛散性的过程敛散性质与定义绝对收敛莱布尼茨法收敛条件收敛比较判别法判别法不适用作业：P3458(1,2)第九章微分方程1.若任意项级数发散，是否必