2023届高三数学小题专练-正弦定理和余弦定理4（含解析）

一、单选题

1.在锐角△回（?中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,S为△ABC的面积，且

2s=。2-仅-c）,2,则彳h的取值范围为（）

233435

A.B.C.D.

P231245,3

TT

2.在△45C中，。也。是角4伉。的对边，已知/!=§,。=7,则以下判断错误的是（）

497r

A.△ABC的外接圆面积是深;

B.AosC+ccosg=7；

C.b+c可能等于14；

D.作A关于BC的对称点4,则|A4'|的最大值是挈.

3.在△ABC中，sin（A—3）+sinB=sinC,点。在边8c上，且CD=28。，设

sinZA8D

,则当左取最大值时，sinZACD=()

sinZBAD

A/6+yfl.

A.B.

4-4~

3+6(3-@vn

C.D.

66

、

AB7r

4.已知点P是AABC所在平面内的动点，且满足0P=0A+2目+=a>o）,射

线AP与边8C交于点。，若/84。二年，\AD\=lf则|及|的最小值为（）

A.gB.2C.2百D.4A/3

5.在△MC中，内角A、B、C的对边分别是〃、b、c,且3c边上的高为正Q,若

6

sinC=*sinB,则当％取最小值时，内角A的大小为（）

A.71

2

71_2万

C.D--

6.已知F是抛物线C：丁2=2外（〃>0）的焦点，直线/与抛物线C相交于P,。两点,

2乃d

满足/尸产。=丁，记线段PQ的中点A到抛物线。的准线的距离为小则两的最大值

为（）

A.3B.&C.BD,-

33

7.锐角△ABC中，角A,B,。所对的边分别为mb,a若片+〃=5q2,则的

取值范围是（）

1后

(z-）B.（|，1）

\23

AU.

4啦

[-4

5，3）D.[y,1）

8.在钝角AABC中，dc分别是AABC的内角AB,C所对的边，点G是AABC的重心，

若AGL8G,贝hosC的取值范围是（）

9.若。是AABC外接圆圆心，48、。是4M。的内角，若上空通+竺£祝=2M而,

smCsmB

则实数团的值为（）

A.1B.sinAC.cos>4D.tanA

222

10.已知△ABC中，AB-AC=-3AB=29cosA+sinB+sinC+sinBsinC=l,D

是边BC上一点，NC4O=3/R4D.则49=（）

A6R3石「的n

5427

11.已知。是三角形ABC的外心，若生A夙+丝A/ACj=2，〃（ACiy,且

ABAC'）

sin3+sinC=V5,则实数机的最大值为（）

92

12.已知双曲线C:?-5=1（〃>0力>0）,其左右焦点分别为耳（-疗,0）,心（近,0）,

点尸是双曲线右支上的一点，点/为的内心（内切圆的圆心），可=xPF\+y%，

若NE桃=60。，y=3x,则APK芯的内切圆的半径为（）

A4石°R4V3-V2T

33

C.izJl.D.2+—

33

13.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为。，b,c,AABC的面积为5=土,

2

则（）

〃2

A.a2^bcsinAB.------------=tanA

试卷第2页，共6页

I7

C.2+擀的最大值为石D.，的最大值1

cbhe

14.已知双曲线一3=1的左右焦点分别为再，心,点”是双曲线右支上一点，满

足=0,点N是线段片每上一点，满足耳了=/1耳",.现将AM耳心沿MN折成直

二面角F「MN-F2,若使折叠后点K，心距离最小，则几=()

12a34

A.5-B.5-5-D.5-

15.如图所示，在直三棱柱ABC-A|B|C|中，AAt=],AB=BC=⑸cosZABC=1,

P是4#上的一动点，贝IJAP+PG的最小值为()

A.75B.币C.1+6D.3

16.已知双曲线5-£=1(°>08>0)的左、右焦点分别为耳,苞，M为右支上一点，

NMf；K=120。,4用耳向的内切圆圆心为Q,直线M。交x轴于点M\MQ\=2\QN\,则

双曲线的离心率为()

54厂厂

A.-B.-C.6D..72

43

17.在AABC中，角AB,C的对边分别为a,b,c,已知c=2逐，且

247sinCcosB=asinA-Z?sinB+—/?sinC,点。满足)+而+反=0,cosNCAoJ,

28

贝UAABC的面积为

A.叵B.3非C.5&D.底

3

18.设锐角的三个内角A.5.C的对边分别为。.从。，且c=l,A=2C,则AMC

周长的取值范围为()

A.(0,2+721B.(0,3+由C.(2+&,3+我D.[2+后+石]

19.在锐角AABC中，若6sin4（变4+^^）=sinBsinC,且抬sinC+cosC=2,则

的取值范围是（）

A.（2^,4]B.（2,26]C.（0,4]D.（2,4]

20.已知非等腰AABC的内角A,8,C的对边分别是“，b,。，且“4=2c?,

a~+b

若C为最大边，则字的取值范围是（）

2c

二、填空题

21.拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明

了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三

个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点“，在△ABC中，以AB,BC,CA为

边向外构造的三个等边三角形的中心依次为O,E,F,若NBAC=30,。尸=4,利用拿

破仑定理可求得AB+AC的最大值为一.

22.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.角B为钝角.设△ABC的面

积为S,若4bS=a（b2+c2-a2）,则sinA+sinC的最大值是.

23.在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为〃，b,c.若2sinAcosB=2sinC-sinB,

b=5,ACBC=5>则AABC的面积为.

24.己知四边形ABC£>是边长为3的菱形，把加。沿AC折起，使得点。到达点P,

则三棱锥P-45c体积最大时，其外接球半径为.

25.我校高一同学发现：若。是AMC内的一点，ABOC、△AOC、的面积分别

为S.、Sg、S-则存在结论与•丽+SB・丽+Sc•元=6,这位同学利用这个结论开始

研究：若。为A/1BC内的一点且为内心，AABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、

C,且cosB=W，若的=》而+了的，则x+y的最大值为__________.

6

22

26.已知双曲线E：餐-斗•=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为K，过原点

a'b'

的直线与E的左、右两支分别交于8,A两点，直线4鸟交双曲线E于另一点C（A,

C在巴的两侧）.若因。=2恒q，且NBgC=60,则双曲线E的渐近线方程为.

27.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍

了“刈股圆方图”，亦称为“赵爽弦图“（1弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角

试卷第4页，共6页

形再加上中间的一个小正方形组成）.类比，可构造如图所示的图形，它是由三个全等

的三角形与中间一个小等边三角形组成的一个较大的等边三角形，设而=/1而+〃/

且。尸=3AF,则可推出之+〃=.

22

28.已知双曲线C:[-方=l（a>0力>0）的左、右焦点分别为"，6,过"的直线与

C的右支交于A,B两点，若/耳4工=44工小怩耳=2|入山，则C的离心率为.

29.⑴若数列｛%｝的通项公式为4=〃-7分，则该数列中的最小项的值为.

（2）若（2-d）（f++）的展开式中含有常数项，则〃的最小值等于.

（3）如图所示的数阵中，用A（m,〃）表示第m行的第〃个数，则以此规律A（8,2）为

1

3

11

66

J_J_J_

101210

J_J_J_J_

15222215

J_1J_J__1_

2137443721

（4）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为。、b、c.E^sinA:sin5:sinC=ln2:ln4:lm,

2

ECACB=me2»有下列结论：®2<r<8；®--<m<2；©Z=4,a=ln2时，△ABC

的面积为幽迨；④当2有8时，为钝角三角形.其中正确的是

8

.（填写所有正确结论的编号）

30.已知双曲线C：4-4=|<«>0,/>>0）,耳，鸟分别是双曲线C的左、右焦点，P为右

支上一点（y,#0）,在线段尸石上取“△尸耳用的周长中点“M，满足

|阴+仍用=|M用+用用，同理可在线段PF1上也取“△「/例的周长中点"N.若“PMN

的面积最大值为1,则6=.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.D

A

【分析】根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得tan],进而求得A

的各个三角函数值，再利用正弦定理边化角求得&关于C的函数表达式，根据锐角三角形的

C

条件得到0<]-c<A<p利用三角函数的性质求得取值范围即可.

【详解】解：△ABC中/=从+。2_2bccosA,S=1/?csinA,

由2s=/-(b-c)2,得bcsinA=2bc-2bccosA,sinA=2()-cosA)；

A1

即2sin-cos-=4sin2—,**sin—>0,

2222

・・・sinA=-,cosA=-

55

.b_sinB_sin(A+C)_sin4cosC+cosAsinC_43

>•——----------------------------------------------------------------------------------1—,

csinCsinCsinC5tanC5

71

ZVIBC为锐角三角形,AA+O-.•.o杉-C<A磴

2

,4

<tanA=—,

3

.343443255

_____________1___V__y____I___—_____—__

'*55tanC5535-15-3

故选：D.

2.D

【分析】对人利用正弦定理可求得的外接圆半径，即可求解AABC的外接圆面积；

对8：利用余弦定理角化边，即可求解；对C：利用正弦定理边化角，再结合两角和差的正

弦公式，即可求解；对。：利用三角形面积公式和余弦定理，及均值不等式，即可求解.

TT

【详解】解：对人=a=7,

Q_77A

•••由正弦定理可得而了一耳一,即AABC的外接圆半径/?=任，

T3

/.△ABC的外接圆面积是万R?二4x=等，故A选项正确;

答案第1页，共27页

对8：由余弦定理可得力COSC+ccosB=b,=4=7,故8选项正确;

2ab

n

对C由正弦定理可得b+c=2/?(sinB+sinC)=a+sin■—+a=14cos«,

3

共

——<a<—

33

.）+C£（7,14],故C选项正确;

对。：设A关于8C的对称点我4,A到的距离为〃,

，E|Jh=^-bc,

...1—ah,=—1b入cs.\n万—

22314

又由余弦定理可得/=〃+c2-2bccos^=b2+c2-bc..2bc-bc=bc,当且仅当Z?二c时等号成立,

所以人打哈X73即心哈

所以14rl的最大值是76，故。选项错误.

故选：D.

3.B

【分析】根据sin（A-8）+sin8=sinC,利用两角和与差的正弦公式化简得到sinB=2cosAsin8,

进而求得A,根据点。在边BC上，且8=29，得到％=上黑=黑=嗡，再由余

sinZ.BADBDBC

4c9

iur?uuur\ixir4r-2+/72+2bc7-十二+2c

弦定理结合AO=£AB+gAC两边平方，得到公o=:,/,=互4—，令[=/，得

33c+b~-becbb

--1---1

bc

1c

4A1+-+24产+2,+1

到左2=，（/）=-r-=———用导数法求得最大值时a,b,C的关系，再利用正弦

z+l-l尸一+1

t

定理求解.

【详解】因为sin（A-3）+sin8=sinC,

所以sin(A—B)+sin8=sin(4+8),即sinB=2cos/AsinB,

因为3$(0,乃)，

所以sin3w0,cosA=；,

因为A£（0,4）,

答案第2页，共27页

TT

所以A=t，

因为点。在边3C上，且CO=2BO,

.sinZABDAD3Ao

所以攵=--------=---=----,

sinABADBDBC

设AB=c,AC=b,BC=a,

则AQ=9&,

在AABC中，由余弦定理得片=c2+h2-2bccosA=c2+b2-be,

i.4-i

■.■AD=AB+BD=AB+-{BA+AC)=-AB+-AC,

所以而2=(1而+g回，

le,4o1o4

即一02公=_c2+±b2+_bccosN8AC,

9999

艮|]erk2=4c2+b2+2bc

4cb

4c2+〃+2历4c2+/+2力c石+1+2

所以二=

a2c2+h2-hccb

—I---1

bc

4/+2/+1

令\=t,得k°=f(j)=

t2-t+\

/\-6广+6，+3i./q

则/（'）="一+），令,⑺=0,解得，=号1，

当时，r（o>o,当时，r（/）<o,

所以当t=时，/«）取得最大值，此时£=土已，

2b2

所以6=（g-l）c,解得a=46-3&=型泸一c,

在AABC中，由正弦定理得一工=—解得sinC=ad=J^+&,

sinAsinea4

即sinZ.ACD="+近.

4

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理得到无=处名整=条=嘤，然后利用

sinZBADBDBC

余弦定理表示BC,利用平面向量表示AD而得解.

答案第3页，共27页

4.C

【分析】由已知得AP=/l,所以点尸在N8AC的平分线上，即为44C的

V3

可知灯曰岛+六〉结合三

角平分线，利用正弦定理得々八一2

DLJ一CD=—^—

sinBsinC

角函数的性质可求最小值.

ABAC

【详解】同表示与通共线的单位向量，同表示与正共线的单位向量,

UIIIU11U

ABAC

的分向与ZBAC的平分线一致,

(mnuuui)

uinuuruunuuruiin

QOP=OA+AOP-OA=AP=ArutiT|+ytttnnr

UMHI

所以点尸在㈤C的平分线上，即AD为N8AC的角平分线,

兀一走

在中，ZBAD=~,|AD|=1,利用正弦定理知：.AD.n

3BDrD=----xsin—=—^2―

sinB3sinB

同理，在八4。£＞中，AD.n

CD=----xsin—=——

sinC3sinC

其中B+C=?

百]

BCx2x_=2r

分析可知当8=c=g时，8C取得最小值，B|Jmi„=Y7^

6sin—

6

故选：C

5.C

【分析】根据sinC=Zsin8,由正弦定理得到左=：,根据BC边上的高为巫”，结合正弦

b6

—x—6(X6!=—Z>csinA,再由余弦定理可得h2+c2=2y/3hcsinA+2hccosA,即

262

g+>2氐inA+2cosA=4sin(A+£|,由，4sin(A+£)44再根据左取最小值时求解.

【详解】因为sinC=ZsinB,所以％=卷，因为BC边上的高为且“，

b6

答案第4页，共27页

所以=—besinA,即/=2y/3bcsinA,

262

由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA9

所以〃+H=2百besinA+2bccosA，

gp—+—=2^3sinA+2cosA=4sin|A+—\<4,

cb\6J

bc\

-+-<4,BP)l+-<4,V-4jt+l<0,

cbk

解得2-百WZK2+G，所以左的最小值为2-6，

此时sin(4+g]=l,又0<A<»,5<A+5V?>，

V6J666

所以A+[=3，・・.A=q.

623

故选：C

【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于较难题.

6.C

【分析】设|PF|=m，IQ用=〃，过点P,。分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为尸’,。',

进而得公丝雪二岁，再结合余弦定理得阳if

进而根据基本不

d2

等式求解得两3-

【详解】解：^\PF\=m,\QF\=n,

过点尸，。分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为P，Q',

则PP'=m,QQ'=n,

因为点A为线段尸。的中点，

所以根据梯形中位线定理得点A到抛物线C的准线的距离为d=IPP'MQ-='七

22

27r

因为NPFQ=7，

所以在△PFQ中，由余弦定理得|PQ『=+/-2mnCQS夸=加？+/+〃相，

d2_(m+n)2_(m+n)2_1

所以I尸4(/?t2+n2+mn)4[(加+”尸一[初i]4।mn

(m+n)2

j

又因为（〃，+"）』〃，〃,所以而存4"当且仅当*〃时等号成立,

答案第5页，共27页

1=1d

所以1电-4*（11）3,故函4N不

所以向的最大值为乎.

故选：C

【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查

运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设IP用=九|。巴=〃，进而结合抛

物线的定于与余弦定理得4=等，122

\PQ\=fn+n+mn,再求最值.

7.C

【解析】先利用基本不等式求函数的最小值，再根据三角形是锐角三角形，得到"

3a2

的范围，再求函数值域的上限.

2

2,2_a^+^

a+b

〃+从工~54（/+从）4x2而4,（当且仅

【详解】由题意得C°sc=----------=------2-----=一

2ahlab\0ah10ab5

当a=b时取等号）,

/+从>3

5

a2+b2>c2

从+3>«2,解得2<与<3,所

由于三角形是锐角三角形，所以"+c2>a2,所以

53/2

a2+c2>b2

a2+fe2

2a+-->--b--2---

5

以坐4邛,2理+与，设

2ablah5ab

"。）=|（七），

-=x,xe（

a

因为函数/（X）在（半,1）单调递减，在（1,乎）上单调递增，所以函数/（X）无限接近

中的较大者，所以f（x）f/（等）=_76

-3,

所以cosC的取值范围是

故选：C.

【点睛】本题的难点在求函数的值域的上限，解答利用了函数的思想，以2=x为自变量，先

a

求自变量的取值范围逅＜2＜逅，再利用余弦定理求得cosC的解析式，最后换元求新函

3a2

答案第6页，共27页

数的值域得解.

8.C

3

【分析】延长CG交AB于£>,由重心性质和直角三角形特点可求得CO=1c,由

cosZBDC-cosZADC,利用余弦定理可构造等量关系得到/+〃=5/,由此确定C为锐

222

角，则可假设A为钝角，得到〃+^<〃，a+c>b,a>b,由此可构造不等式组求得2的

a

取值范围，在AABC利用余弦定理可得cosC=^：+2l利用2的范围，结合C为锐角可

5\ba)a

求得cosC的取值范围.

【详解】延长CG交A3于。，如下图所示:

・・・G为△ABC的重心，・・・力为A6中点且CD=3DG,

133

-AG-LBG,:.DG=—AB,:.CD=-AB=-c；

222

~c2-b2

AD2+CD2-AC25c2—2方2

在△AQC中cosZ.ADC=,2_____

2ADCD323c2

—c

2

一522

BD2+CD2-BC2c--a'5c2-2a2

在中,cosZBDC=_2

2BDCD3c，2

,/Z.BDC+ZADC=7i,cosZ-BDC=-cosZADC,

即,一广=_'W,整理可得：/+〃2=5c2>c2,.・.C为锐角;

3c23c2

222

设A为钝角，则从+°2<〃2,6/4-C>/;,a>b,

a2+b2

a2>b2+

5

a2+b?

b2<a2+

5

答案第7页，共27页

\*a>b>090<—<如,

a3

〃2i/_2_「222+、

由余弦定理得：COSC=——

2ab5ab

又C为锐角,—<cosC<l,即cosC的取值范围为

3

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形中的取值范围问题的求解，解题关键是能够由两角

互补得到余弦值互为相反数，由余弦定理得到/+6=502,确定C为锐角，从而得到三边

之间的不等关系，求得2的范围.

a

9.B

【分析】根据三角形外心的性质、正弦定理、两角和的余弦公式，结合平面向量数量积的运

算性质和定义进行求解即可.

【详解】设AB的中点为。，48、<7所对的边为以反。，

因为。是AABC外接圆圆心，

所以

于是有荷•丽=（而+而）・丽=g而2+的•南=gc2,

由梃通+您£恁=2,〃而=*而。笆而.通=2%荷•通

sinCsinBsinCsinB

cosBcosC..cosBcosCb

=>-------c2H---------b-c•cosA=2=>---------1-------------cosA=m

sinCsinBsinCsinBc

8sBcosCsin3

=--------1------------------cosA4=m

sinCsinBsinC

cos8cosCcosA-cosCcosA+sinCsinA+cosCcosA.

=>in=-------1-----------------=--------------------------------------------------=sinA,

sinCsinCsinC

故选：B

【点睛】关键点睛：对已知向量等式同时乘以而是解题的关键.

10.B

【分析】利用正弦定理及余弦定理可得人=等，结合条件可得6=3,然后利用余弦定理可

得cosC,tanC,进而可得A£>=ACtanC,即得.

【详解】设aABC中，角A,8,。的对边为a也j

,**cos2A+sin2B+sin2C+sinBsinC=1,即sin?B+sin2C+sinBsinC=sin2A，

答案第8页，共27页

Z?2+c2+Z?c=a2>

FA"+黑-"=4,又A"),

4=，又AB-AC=-3，AB=2,

/.ABAC=2bcosA=2bx-3,即b=3,

：.a2=b2+c2+bc=31+?r+3x2=\9,

故〃=V19,

a2+b2-c219+9-44sinC=g,tanC=—,

cosC=，=----------=—

2ah6719一晒，V194

又NC4D=3N54O,A=——,

3

Z.CAD=—,AD—ACtanC=3x.

244

故选：B.

11.D

【分析】设A8=c,AC=b,ZBAO=0,ZCAO=a,由题设条件得到尻c、a、。、利的

关系：bcos0+ccosa=2m\O,

cA

由。是三角形ABC的外心可得8$。=；；^,cosa=——-,对h+c=20AO,消去AO,

2AO2AO

利用基本不等式求得m的范围.

【详解】如图所示:

设A8=c,AC=b,NBAO=9,ZCAO=a,

AC——AR/\2

由"A&40+—ACAO=2m(AO]

48AC

b,

得—AOcosO+—AOcosa=2m-AO1,

cb

化简得6cos0+ccosa=2mAO,

b

由。是三角形ABC的外心可知，0是三边中垂线交点，得cos9=-----,cosa=,

2AO-------------2AO

答案第9页，共27页

代入上式得小2，-二杀.

hQ

根据题意知，AO是三角形A8C外接圆的半径，可得sinB=73,sinC=-^-,

，/Z/lCz

代入sinB+sinC=V^"c=2"4O,

be

：.m=当且仅当'*=，"时，等号成立.

2AO2

故选：D.

12.B

【分析】依据题给条件列出关于心的内切圆半径的方程，即可求得APK鸟的内切圆半

径.

【详解】由可=3所+y%结合点/是△W心的内切圆的圆心可知\xPF\=\yPF^,

又有y=3x,所以|崩卜3|罔，

又|崩卜3|阴|=2a,可得阀卜3a，阿卜a,

再根据/6「鸟=60。，由余弦定理可得(25丫=(3.)2+a2-2-36Z-r/cos60,

解之得a=2,则S=jw||P周sinN/^P鸟=g(W+P心+耳心

即gx6x2xq=g(6+2+2>/7)%,解之得%=4石§♦

故选：B.

13.C

【分析】A、B由三角形面积公式及余弦定理判断；C由A、B分析sinA+2cosA=：+2,结

bc

合辅助角公式、正弦函数性质即可确定目标式最大值；D根据C的分析，结合基本不等式

4

可得sinA+2cosAW2,应用同角三角函数关系及三角形内角性质求得0<sinA4二，根据A

的结论即可求目标式最大值.

【详解】△A8C的面积为S=1bcsinA=幺，则c/ubcsinA,A错误；

22

由cosA=1+'——且sin4=幺，则tan4=,-----r，B错误；

2bcbeb2+c2-a2

答案第10页，共27页

ritA+c2—a''b~+c~-besinA.i人_bc..

由cosA=--------------=----------------------，贝m！J2ocosA=—i-----sinA,

2bc2bc