立体几何中的向量方法求空间角

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空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。现在是2页\一共有17页\编辑于星期日空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。现在是3页\一共有17页\编辑于星期日异面直线所成角的范围：

思考：结论：一、线线角：现在是4页\一共有17页\编辑于星期日

(2011·陕西卷)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.设E为BC的中点，求AE与DB夹角的余弦值．现在是5页\一共有17页\编辑于星期日易得D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，A(0，0，)，E，xyz现在是6页\一共有17页\编辑于星期日直线与平面所成角的范围：

思考：结论：二、线面角：现在是7页\一共有17页\编辑于星期日1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(

)

A．120° B．60°

C．30° D．60°或30°解析：

由题意得直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°.答案：

C练习：现在是8页\一共有17页\编辑于星期日

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，AM⊥PD于点M.求直线CD与平面ACM 所成角的正弦值．xyz现在是9页\一共有17页\编辑于星期日利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．现在是10页\一共有17页\编辑于星期日l将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中DCBA三、面面角：①方向向量法：二面角的范围：现在是11页\一共有17页\编辑于星期日

练习：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则有于是，得设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。因此ABCD所以所以库底与水坝所成二面角的余弦值为现在是12页\一共有17页\编辑于星期日ll三、面面角：二面角的范围：②法向量法【注意】法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。现在是13页\一共有17页\编辑于星期日

已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，AB＝AA1＝2，AC＝1，M、N分别是A1B1、BC的中点．求二面角M－AN－B的余弦值．xyz现在是14页\一共有17页\编辑于星期日现在是15页\一共有17页\编辑于星期日求二面角最常用的方法(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题．现在是16页\一共有17页\编辑于星期日1.异面直线所成角：

2.直线与平面所成角：

归纳小结：lDCBA