用向量坐标法求夹角与距离

用向量坐标法求夹角与距离第1页，共18页，2023年，2月20日，星期六已知：则：①②③④⑤当时⑥一、复习向量的直角坐标运算：

第2页，共18页，2023年，2月20日，星期六已知：则：⑦⑧⑨AB的中点第3页，共18页，2023年，2月20日，星期六二、讲解新知识：

①②③④第4页，共18页，2023年，2月20日，星期六⑧求平面法向量的方法：待定系数法。

⑤⑥平面α的法向量：若，则称叫做平面α的法向量。⑦第5页，共18页，2023年，2月20日，星期六棱长为4的正方体中，点E在线段上，点F在线段上，且⑴求BE与DF的夹角θ

解：⑴[方法1]：

在线段AB上取中点G，则GE//DF，∴∠GEB为所求的角，

GH在△GEB中：GB=2，

∴

∴∠GEB=arccos

第6页，共18页，2023年，2月20日，星期六棱长为4的正方体中，点E在线段上，点F在线段上，且⑴求BE与DF的夹角θ

xzy解：⑴[方法2]：如图建立空间直角坐标系o-xyz,（分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴）∵AB=4∴B(4,4,0),D(0,0,0),E(4,3,4),F(0,1,4)

∴

∴

∴

第7页，共18页，2023年，2月20日，星期六棱长为4的正方体中，点E在线段上，点F在线段上，且⑵求A到EF的距离d

xzy⑵解∵A(4,0,0),E(4,3,4),F(0,1,4)∴

∴

∴

∴

第8页，共18页，2023年，2月20日，星期六棱长为4的正方体中，点E在线段上，点F在线段上，且⑶求A到平面BEF的距离mxzy⑷求AF与平面BEF的夹角φ。

⑶解∵B(4,4,0),E(4,3,4),F(0,1,4)

设平面BEF的一个法向量为

∴

令y=4得

又∵

∴

∴

⑷由⑶得:

∴

∴

又∵

第9页，共18页，2023年，2月20日，星期六已知：△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着平面ABC的法向量平移到△的位置，且，D是的中点，E是的中点

⑴求BD与AE的夹角θ

F解：⑴[方法1]：

在线段BC上取中点F，则ED//FB且ED=FB∴∠AEF或其补角中最小的为所求的角，

∵

∴∴∴第10页，共18页，2023年，2月20日，星期六已知：△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着平面ABC的法向量平移到△的位置，且，D是的中点，E是的中点

xzy⑴求BD与AE的夹角θ

⑴[方法2]：

如图建立空间直角坐标系o-xyz,（分别以CA、CB、CC1为x、y、z轴）

∴A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,0),D(1.5,1.5,1),E(1.5,0,1)

∵

∴

∴

∴

第11页，共18页，2023年，2月20日，星期六已知：△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着平面ABC的法向量平移到△的位置，且，D是的中点，E是的中点

xzy⑵求A到BE的距离d⑵解∵A(3,0,0),B(0,3,0),E(1.5,0,1)∴

∴

∴

∴

第12页，共18页，2023年，2月20日，星期六已知：△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着平面ABC的法向量平移到△的位置，且，D是的中点，E是的中点

xzy⑶求A到平面BDE的距离

m⑶解∵DE//BC∴平面BDE也就是平面BCE，

设平面BCE的一个法向量为

∵A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,0),E(1.5,0,1)

∴

∴

∴

令x=2得

∴

且第13页，共18页，2023年，2月20日，星期六已知：△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着平面ABC的法向量平移到△的位置，且，D是的中点，E是的中点

xzy⑷求AB与平面BDE的夹角φ

⑷解：由⑶得:⑶求A到平面BDE的距离

m又∵

∴

∴

∴

第14页，共18页，2023年，2月20日，星期六四、小结1、用用向量坐标法解题的步骤：①建立o-xyz直角坐标系，②求相应点的坐标，③求相应向量的坐标，④应用向量性质与公式求解或证明。

2、求异面直线AB与CD的夹角θ：

3、求点A到直线BC的距离d：

①

②

第15页，共18页，2023年，2月20日，星期六4、求点P到平面ABC的距离d：①求平面ABC的一个法向量：（方法：待定系数法）

②求（A是平面ABC中的任一点），

③

5、求AP与平面ABC的夹角θ：

由4得：

6、数学思想：①立体图形平面化，②几何问题代数化

第16页，共18页，2023年，2月20日，星期六六、作业（金榜第49页第10（2）题）（用向量坐标法解曾解过的题目）已知：棱长为a的正方体中，点M是的中点，点N是的中点