#等差数列与等比数列解答题综合训练

等差等比数列的综合问题(第1课时).设等比数列｛a｝的公比为q,前n项和为S，若S，S，S成等差数列，求q的值.n n n+1 nn+2TOC\o"1-5"\h\z.已知数列｛a｝是等比数列，a=e,如果a,a是关于％的方程：n_ 4 2 7ex2+kx+1=0,(k>21)两个实根，(e是自然对数的底数)⑴求｛a｝的通项公式；n⑵设b=lna，S是数列｛b｝的前n项的和，当S=n时，求n的值；n nn n n⑶对于⑵中的｛b｝，设c=bbb，而T是数列｛c｝的前n项和，求T的最大n nnn+1n+2 n n n值及相应的n的值..设数列1｝的前n项和S=3n2—1n，数列名｝为等比数列，且a=b,b(a-a)=bn n2 2 n 1 12 2 1 1⑴求数列1｝、b｝的通项公式;n n⑵设C=ab，求数列卷｝的前n项和T.nnn n n—x+—上.数列%｝满足2 2 nk，求使不等式T>—对一切

n57.已知数列^a—x+—上.数列%｝满足2 2 nk，求使不等式T>—对一切

n57b-2b+b=04en)且b=11，前9项和为153.n+2 n+1 n 3⑴求数列右》、b｝的通项公式;n n3⑵设cn=茴——J1gb—d，数歹u的刖n项和为Tnn nneN*都成立的最大正整数k的值；⑶设f。)=[a,卜=2l~1,leN)'问是否存在men*，使得fm+15)=5fm)成[bn=21,leN*/n立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由..对于函数f(x)，若存在xe尺/使/(x)=x成立，则称x为f(x)的不动点.如果函数TOC\o"1-5"\h\z0 0 0 0…、x2+a_ ।〜 1f(x)= (b,ceN)有且只有两个不动点0,2,且f(-2)<--,bx-c 2(1)求函数f(x)的解析式；一 (2)已知各项不为零的数列｛a｝满足4S•f(一)=1，求数列通项a；nna nn(3)如果数列｛a｝满足a=4,a=f(a)，求证：当n>2时，恒有a<3成立.n 1 n+1 n n6.已知数列｛a｝的前n项和为S且满足a+2S•S=0(n>2),a=-.n n nnn-1 12,r1. ,(I)判断｛不｝是否是等差数列，并说明理由;Sn(II)求数列｛a｝的通项a；n n

b(III)若b=2(1-n)a，求f(n)=———弋一的最大值及取得最大值时n的值n n (n+5)bn+1等差等比数列的综合问题(第2课时).已知正项数列｛an｝，其前n项和Sn满足10s“=a2+5为+6,且a1,%a4成等比数列，TOC\o"1-5"\h\z求数列{a}的通项a.n n.设数列卜满足a+3a9+32a.+…+3n-ia=n,neN*.(I)求数列精通项;n 1 2 3 n3 n(II)设bn=an，求数列”的前n项和Sn.n{a}a=1,a=3,a=3a-2a(neN*)..已知数列n满足1 ,2 ,n+2 n+1 n' ){{a-a}一 ….{a}一一(I)证明：数列n+1 n是等比数列； (II)求数列Un的通项公式;(I)若数列{“满足4J4b2-1-4bn"=(an+1)bn(neN*)，证明{“是等差数列。一3c।1入「a—a+—b+1TOC\o"1-5"\h\zn4n-1 4n-1“ 1 3〃i{a}{a}{b}a=28.已知数列 n,n满足1n4n-1 4n-1Sn•9.已知数列｛a｝中，n⑴设数列b=an(I)令'〃=an+bn,求数列｛cSn•9.已知数列｛a｝中，n⑴设数列b=anS是其前n项和，并且S=4a+2(n=1,2,),a=1n n+1 nj1 1-2a(n=1,2,……)，求证：数列{bj是等比数列；n+1n n ...｛c｝是等差数列;｛c｝是等差数列;n⑵设数列Cn=2,(n=1，2,……)，求证：数列⑶求数列｛⑶求数列｛a｝的通项公式及前n项和。n11.已知数列｛aj的前n项为A=2n2+5n+1(neN),数列也｝的前n项和满足n n n3 3B=—b--(neN)n2n2(I)求数列｛a｝的通项公式；n(II)将数列｛a｝与｛b｝的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列｛c｝的通n n n项公式;

12.已知各项均为正数的数列｛a｝前项和为S,(p-1)S=p2—a,neN*,p>0且n n n np丰1，数列名卜满足b=2loga.n n pn(I)求a和b；nn1 1 —(II)若p=，设数列｛f｝的前n项和为T，求T.2 a nnn+3=+3=&不合要求;TOC\o"1-5"\h\z1解：若q=1则(n+1)a+(n+2)a=2na,a丰0,「.2n1 1 1 1,a 、a a・.・z,、若q丰1，贝U「(1-qn+1)+「(1-qn+2)=2•「(1-qn).1-q 1-q 1-q「.qn+1+qn+2=2qn /.q2+q-2=0,/.q=-2. 综上，q=一2.2.解⑴：由于a2,a7是已知方程的两根,所以,有：a2a7二,即：又a=e,得aq3=e两式联立得：q=e-3,a=aqn-4=e13-3n4 1 n4故｛a｝的通项公式为：a=e13-3nn n⑵b=Ina=lne13-3n=13-3n,所以，数列｛b｝是等差数列，由前n项和公式得：n n n((10+13-3n)nS= =n，得23-3n=2，所以有：n=7n 2⑶由于b=13-3n得：b>b>b>b>0>b>b>…n 1 2 3 4 5 6又因为c=bbb，所以c=bbb>0,c=bbb>0,而c=bbb<0nnn+1n+2 1 123 2 234 3 345c=bbb>0,c=bbb<0且当n>5时，都有c<0，但c=-84 456 5 567 n 3c=10即：|c|<^|所以，只有当n=4时，T的值最大，4 13 41 n止匕时T =280+28-8+10=310n\max)一. 3 13.解⑴：由S=—n2—n得a=S=1n2 2 1 1n-2时,an= Sn-1=|n2-2n-[3(n-1)2-3n-1)]=3n-2对于n=1也成立，故。的通项a=3n-2—a=4—1=3b=a=1由b(a—a)=b1 1 1 2 2 1 1得%｝的公比q=匕=：故b的通项b=(1)n-1n b3nn31解⑵:T=C+C+C+…+C解⑵:n12 3 n=1+4•1+7•(1)2+10•(1)3+...+(3n-5)•(1)n-2+(3n-2N1)n-1

aI-r I/\/ixky\/i i\J,rJ/\/ i\JjrJ八/3、勺/ 、勺/ 、 /、勺/ 、 /、勺/得3T=3+4,C3)2+7•(3)3+…+(3n—5)•(3)n-1+(3n—2)(3)n两式相减得1、c/1、° /1、，一)2+(—)3+•••+(一)n-1一(3n—2)(3n—(3n-2)(1

k3n-14..解⑴:由已知得:11・•・Sn1 11=—n2+—n当n>2时,4..解⑴:由已知得:11・•・Sn1 11=—n2+—n当n>2时,11=—n2+—nn-1 2--(n-1)2——(n-1)=n+5当n=1时，由b-2bn+2 1n+1=S=6也符合上式. a=n+5=0IeN*）知b｝是等差数列出｝的前9项和为153,可得:n9a+b)

1 9-

2=153,求得b5=17又b=113%%｝的公差d="5."3=3n 23・•.b=3n+2n:・Tn二1(1-111 1—+———+...+ -5 2n-1 2:・Tn二1(1-111 1—+———+...+ -5 2n-1 2n+1J二1(1-•/n增大，T增大n・•.T>T=1k — —>—对一切neN*都成立，只要T=57 1⑶当m是奇数时，f(m+15)=bn1k>-357则有3(m+15)+2=5(m+5),当m是偶数时，f(m+15)=am+15+15)+2,f(m)=ak=18max=m+5m解得：m=11=m+20,f(m)=b=3m+2m+15则有m+20=5(3m+2)，解得：m=5电N*.所以m=11.5.解：•••10Sn=an2+5an+6,① 二1021=2/+5al+6,解之得a1=2或a1=3.又103_1=£：12+5£_：+6伸三2),②由①一②得［OanKa—_ae/H/an—"_),即(£+£_‘(£—”「一5二0Van+an_1>0,Aan—an_1=5(nN2).当a1=3时,a3=13,a；=73：a1,a3,a15不成等比数列，a1W3;当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1al5,/.a1=2，Aan=5n—3，n6,解：⑴a+3a+32a+...3n-1a=—,1 2 3 n3a+3a+32a+...3n-2an-1 3(n>2),「nn-11z3及-1a——— = —(n>2).-333a=—(n>2).n3n验证〃=1时也满足上式，a=L(nwN*).n3n(II)b=n，3〃,nS=1,3+2,32+3,33+…・3〃n3S=1-32+2-33+3-34+...n-3〃+in—2s—3+32+33+3〃—n•3〃+inS——,3"+l——•3n+l+—•

〃2 4 47.(I)证明：an+2=3an+i~2anJa-a-2(〃—a),n+2 n+1 n+1na—l,a—3,1 2d—d z-=2(ngN*).a-an+1n〃+i-"J是以"2—%=2为首项，2为公比的等比数歹u。(II)解：由⑴得，(相N*),a=(a—(2)+(a—ci)+...+(a—4)+1nnn-1 n-1 n-2 2 1 1—2n-1+2〃-2+...+2+1=2n-l(ngN*).(in)证明：Q+1)%••TOC\o"1-5"\h\z「•4(4+%+•••+?)=2叫， 一/.2[(/?+b+...+Z?)-n]=nb,12 n n2[(Z?+b+...+Z?+b)—(〃+l)]=(〃+l)h.1 2 nn+1 n+1的G衿2sT)=(〃+1)A-nb,②—①，Wn+1 n+1n

口口(n-1)b-nb+2=0.即 n+1 nnb-(n+1)b+2=0.n+1nb④一③，得n+nb④一③，得n+2-2nb+nbn+1 n=0,=0,n+2 n+=0,n+2 n+1 n+1 n・{b}'n)是等差数列。-b(neN*),a+b=(a +b )+2(n>2)8.(I)解：由题设得nnn-1 n-1，即cn=cn-1+2，所以数列｛°n｝是公差为2的等差数列，又c1=3,其通项公式为cn=3+2(n-1)=2n+1a-b(II)解：由题设得nnd=1a-b(II)解：由题设得nnd=1d(n>2)n2n-1=1(a -b)(n>2)2 n-1 n-1令dn=an-bn，则易知｛dn｝是首项bn=11公比为2的等比数列通项公式为a+b=2n+1,nn< ,1a-b= 由于〔nn 2n-1解得1n2S=—+—+n+1TOC\o"1-5"\h\z求和得n2n 2 。9.(1)由S=4a+2,S=4a +2,两式相减，得S-S=4(a-a)，即n+1 n n+2 n+1 n+2 n+1 n+1 na=4a-4a.(根据b的构造，如何把该式表示成b 与b的关系是证明的关键，注n+2 n+1 n n n+1 n意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b ①n+2 n+1 n+1 n n n+1 n n+1 n已知$2=42]+2,2]=1,a】+a2=4a1+2,解得a?=5,b1=a2-2a1=3 ②由①和②得，数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列，故bn=3・2n-1.n 1 n

⑵因为％N),所以c

kJL —— ，1l+1--1L--⑵因为％N),所以c

kJL —— ，1l+1--1L--；11l+1 1-11Lan+lan鼻11+1—2%L211+13•2*t211+1al1 1 3故数列｛4｝是首项为不，公差是£的等差数歹山u u⑶因为入京，又1=严-“所以声=^一7%=•2n-2当nN2时，S=4a.2=2nr(3n-4)+2；当n=1时，S1=a1=1也适合上式.综上可知，所求的求和公式为Sn=2n-1(3n-4)+2.10.解：(I)数列｛1｝是等差数列.三210.解：(I)数列｛1｝是等差数列.三2时an=Sn-S)n-1+2S^n-10,若s=0,贝Ua=0,二a=0与a=」矛盾!1 12・•.SnW01 +2=0即 —=2又-——-=2.SSn-1 nSSnn-1二｛(｝是首项为2,二｛(｝是首项为2,公差为2的等差数列且S-=2+2(n-1)=2n・•・s=

n(II)n三2时，n-1 2n 2(n-1) 2n(1-n)2(n=1),2(n>2)(O)Vn+1三2(O)Vn+1三2,b=2(1-n-D・an+1=-2n2(n+1)(—n) n+1•bn+2二•f(n)=(n+5)1 (n+1)2+5(n+1)+4(n+1)+・•・•・f(n)W1.••当且仅当n=1时取等.•.当n=1时，f(n)有最大值是1.11.(I)A=2(n-1)2+5(n-1)+1=2n2-2(n>2),，a=A-A=4n+3n-1 nn n-18(n=1)4n+3(n>2,neN)55分(II)由B(II)由B=nb/,—n

b—b——,令n=1得b=3,当n>2时,b=B2n2 1 nn3、 、一Bn-1，即bn=2(bn-bn-J设数列｝中的第y项与数列弘｝中的第n项相同，则有4y+3=3nn3n-3 、，由此y=---eN

4・•・必有n为奇数2k+1(keN)3、 、一Bn-1，即bn=2(bn-bn-J设数列｝中的第y项与数列弘｝中的第n项相同，则有4y+3=3nn3n-3 、，由此y=---eN

4・•・必有n为奇数2k+1(keN),C｝的通项公式为c=32n+112.⑴由n-1=p2-a②

n-1①②，得a—n—an-1是以1 为首项，1为公比的等比数列P=p(1)n-1=p2-nP(11)由(=2logp2-n=4-2n,Ap2-nn又由条件得-2-4 + + + 2-1 20 2 2220 -2 -4 +—+ + +23-6202n-24-2n + 2 22 23 24, 2 -2 -24+—+——+——2021 222n-1-2-2+——+——23 24 +2n-2 2n-1x( —+—+—+2222n-12n-1= - = = ,2n-1 2n-1 2n-1 2n-2AT=——n2n-3x2+a ，一.， „13.解：设 =x得：(1-b)x2+cx+a=0,由违达定理得:bx-c2+0=-1-b'a=0x2 一，_、 -2 17 1c,代入表达式于(x)= ，由于(-2)=-——<--,b=1+ c 1+c22 (1+-)x-c2 2得c<3,又ceN,beN,若c=0,b=1,则/(x)=x不止有两个不动点，x2/.c=2,b=2,于是f(x)= ,(x丰1).2(x-1)(—)2一a2,n(A)(2)由题设得4S•—an——=1得：2S一a2,n(A)2(--1)

anTOC\o"1-5"\h\z且a丰1,以n-1代n得:2S =a-a2 (B)n n-1 n-1 n-1由(A)-(B)得：2a=(a-a)-(a2-a2)即(a+a)(a-a+1)=0,nn n-1 n n-1 n n-1 n n-1n n-1 n n-1 111解得a=0(舍去)或a=-1；由a=-1,若n n-1 n n-1 111解得a=0(舍去)或a=-1；由a=-1,若a=-a得a=1,这与a丰1矛1 1 1 n n-1 2 n盾，・•.a-a=-1,即｛a｝是以-1为首项，-1为公差的等差数列，nn-1 n・二a二n； 10分na2(3)证法(一)：运用反证法，假设a>3(n>2),则由(1)知a=f(a)=>n「n n+1 n 2a—2na-n+1anTOC\o"1-5"\h\za-n+1an n =•(1+ )<(1+—)=—<1,即a<a(n>2,ngN)2(a-1)2a-1 2 2 4 n+1 nn n・•・ana2