2020年上海浦东新区高考数学一模试卷

2020年上海市浦东新区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）（4分）若集合A={%10<%<3},集合B={%I%<2},则AnB=.（4分）一=.（4分）复数z满足z•i=1+i（i为虚数单位），则IzI=.TOC\o"1-5"\h\z（4分）若关于%、y的方程组为“刊?，则该方程组的增广矩阵为 .（4分）设{an}是等差数列，且a1=3,a3+a5=18,则an=.（4分）在（%+工）6的二项展开式中，常数项为 .Vx（5分）如果圆锥的底面圆半径为1,母线长为2,则该圆锥的侧面积为 ..（5分）已知集合A={-2,-1,-,，；卷，1,2,3},任取kGA，则幕函数f（%）已■二I=%k为偶函数的概率为（结果用数值表示）.（5分）在AABC中，边a、b、c满足a+b=6,ZC=120°,则边c的最小值为.（5分）若函数y=a%+2a-•：1.J存在零点，则实数a的取值范围是 ..（5分）已知数列{an},a1=1,nan+1=（n+1）an+1,若对于任意的aG[-2,2],nGN*,不等式注〈^-球/恒成立，则实数t的取值范围为.n+1「sins1+sinK2+",_|'sixiKn=0（5分）如果方程组.n. . 有实数解，则正整数n的最sins1+2sinK2-|-"，+nsirLKn=2019TOC\o"1-5"\h\z小值是 .二,选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）.（5分）若命题甲：%-1=0,命题乙：lg2%-lg%=0,则命题甲是命题乙的（ ）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.非充分也非必要条件（5分）已知函数f-1（%）为函数f（%）的反函数，且函数f（%-1）的图象经过点（1,1）,则函数f-1（%）的图象一定经过点（ ）A（0,1） B（1,0） C（1,2） D（2,1）（5分）以抛物线y2=4%的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）第1页（共15页）

B.AB.c.今专=1 D.j2=i（5分）动点A（%,y）在圆N+y2=1上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒，已知时间t=0时，点A的坐标是（唱，看），则动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ）A.[0,引 B.[3,6] C.[6,9] D.[9,12]三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）（14分）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD，平面ABCD,SD=AD=a，点E是线段SD上任意一点.（1）求证：AC±BE；（2）试确定点E的位置，使BE与平面ABCD所成角的大小为30°.（14分）已知函数f（公=2G□吕^广三吕inZx.（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在“BC中，皮•前二'若函数f（x）的图象经过点（B,2）,求"BC的面积.（14分）某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x户（x®*,xW9）从事水果销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4x%，而从事水果销售的农户平均每户年收入为匕士七万元.b-（1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为f（x）（万元），问f（x）的最大值是否可以达到2.1万元？第2页（共15页）(16分)已知曲线C：%2-y2=1,过点T(t,0)作直线l和曲线C交于A、B两点.(1)求曲线C的焦点到它的渐近线之间的距离；(2)若t=0,点A在第一象限，AH±%轴，垂足为H,连结BH，求直线BH倾斜角的取值范围；(3)过点T作另一条直线m,m和曲线C交于E、F两点，问是否存在实数t,使得瓦•而=0和।函i=i而i同时成立？如果存在，求出满足条件的实数t的取值集合，如果不存在，请说明理由.(18分)定义f(ai，a2，…，an)=1a1-a2l+\a2-a3I+…+1an」-anI(n®，n三3)为有限实数列｛an｝的波动强度.(1)求数列1,4,2,3的波动强度；(2)若数列a,b,c,d满足(a-b)(b-c)>0,判断f(a,b,c,d)Wf(a,c,b,d)是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；(3)设数列a1,a2，…，an是数列1+21,2+22,3+23,…，n+2n的一个排列，求f(a1,a2,…，an)的最大值，并说明理由.第3页(共15页)2020年上海市浦东新区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）（4分）若集合A={%10<%<3},集合B={%I%<2},则AnB=（0,2）.【解答】解：•/A={%I0<%<3},B={%I%<2},・•・AnB=（0,2）.故答案为：（0，2）.【点评】本题考查了描述法、区间的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题.（4分）1讪3—=—六―.+1【解答】解：lim=lE'p=£.故答案为：.【点评】本题考查数列极限的运算法则的应用，是基本知识的考查，基础题.（4分）复数z满足z•i=1+i（i为虚数单位），则Iz1=_71_.【解答】解：由iz=1+i得，工=^-二（1；皆=1一i,故1zI=-;2,故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的运算、复数求模，属基础题.,,, , ,（s+y=1 ，上、一，「11（4分）若关于%、y的方程组为 “__,,则该方程组的增广矩阵为一:：TOC\o"1-5"\h\z^-y=2 /IT（s+y=1【解答】解：关于%、y的方程组为 「，l^-y=2所以该方程组的增广矩阵为 ^\1-12]故答案为【点评】本题考查的知识要点：二元方程的应用，矩阵的应用，主要考查学生的运算能第4页（共15页）力和转换能力及思维能力，属于基础题型.（4分）设{an}是等差数列，且a1=3,a3+a5=18,则an=2n+1.【解答】解：•・•{an}是等差数列，且a1=3,a3+a5=18,A2a1+6d=18,・•・d=2,则Uan=3+2（n-1）=2n+1.故答案为：2n+1【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题.（4分）在（%+X）6的二项展开式中，常数项为15.Vx【解答】解：（%+土）6的二项展开式中，通项公式为Tr+1=/•富丁，令6-争=0，可得r=4,故展开式中的常数项为其=15,故答案为：15.【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式,属于基础题.（5分）如果圆锥的底面圆半径为1,母线长为2,则该圆锥的侧面积为2n.【解答】解：由圆锥的侧面积公式S=看LR=，X（2n丫）XR=-^X2nX1X2=2n.故答案为：2n【点评】考查圆锥的侧面积公式，属于基础题.（5分）已知集合A={-2,-1,-焉，卷，卷，1,2,3},任取kEA，则幕函数f（%）=%k为偶函数的概率为（结果用数值表示）.4【解答】解：集合A={-2,-1,-[■,[,）■,1,2,3},任取kEA,上O上基本事件总数n=8,幕函数f（%）=%k为偶函数包含的基本事件个数m=2,A幕函数f（%）=%k为偶函数的概率为P=-=i=4.n84故答案为：士.第5页（共15页）【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.（5分）在^ABC中，边a、b、c满足a+b=6,ZC=120°,则边c的最小值为一【解答】解：a+b=6,ZC=120°,当且仅当a=b时取等号，由余弦定理可得，c2=a2+b2-2abXcos120°,=36-ab三36-9=27,・•.c>3.3则边c的最小值3,:3.故答案为：3二区【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，还考查了余弦定理在求解最值中的应用，属于中档试题.（5分）若函数j=ax+2a-口-J存在零点，则实数a的取值范围是_［口，停］—.【解答】解：根据题意，若函数j=ax+2a-，/匚工存在零点，即方程ax+2a-口_/=0有解，则函数j=a（x+2）与j=：］_/有交点，函数j=a（x+2）,其几何意义为直线j=a（x+2）,过点（0,-2）,斜率为a的直线，函数j=口-/,变形可得x2+j』1,（j三0）,为圆x2+j』1的上半部分，如图：第6页（共15页）2-1--2L【点评】本题考查函数与方程的关系以及函数的零点，涉及直线与圆的位置关系，属于综合题.(5分)已知数列{an},a1=1，nan+1=(n+1)an+1,若对于任意的aG[-2,2],nGN*,不等式号2t■恒成立，则实数t的取值范围为(-8,-1].n+1【解答】解：数列{an},a1=1,nan+1=(n+1)an+1,n+1_4+ 1n+1n (7+1)'况n+1比1_ 1 ]n+1nn(n+I)n(n+1)'21T爱a3a2_1_1w=y??a4a3_1_1,~1T=J~TTOC\o"1-5"\h\z况1~L讥ml1 1nn-1n-lnan+l_an_1 ]n+1nn（n+1）'累加可^得智=2'pn+1 n+1A3-a-2t三2,即a・21<1,・•aG[-2,2],A2・21<1=t<-1.故答案为：（-8,-1].【点评】本题考查数列递推关系式的应用，数列与函数相结合的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.第7页（共15页）sinx1+sinK2+"，+sinKn=0(5分)如果方程组.n. . “仃有实数解，则正整数n的最gin3c1+2sinK2+",+rLSinzn=2019小值是90.【解答】解：,••442=1936,452=2025,.,.从n=89开始分析，当n=89,(sinx1+2sinx2+“，+nsinxn)max=-1-2-3 44+45X0+46+47+…+89=1980当n=90,(sinx1+2sinx2+…+nsinxn)max=-1-2-3-…-45+46+47+…+90=2025当sinx1+2sinx2+…+nsinxn=-1-2-3 42-43X0-44X0-45+46X0+47X0+48+49+…+90=2019时，nmin=90,故答案为：90【点评】考查方程组的求解，最值，属于基础题.二.选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)(5分)若命题甲：x-1=0,命题乙：lg2x-lgx=0,则命题甲是命题乙的( )A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.非充分也非必要条件【解答】解：若命题甲：x-1=0,命题乙：lg2x-lgx=0,①若命题甲：x-1=0,则x=1,lg2x-lgx=lg21-lg1=0,则命题甲：x-1=0,能推出命题乙：lg2x-lgx=0,成立；②若命题乙：lg2x-lgx=0,则Ulgx(lgx-1)=0,所以lgx=0或lgx=1,即x=1或x=10;命题乙：lg2x-lgx=0,不能推出命题甲：x-1=0成立，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断.命题甲是命题乙的充分非必要条件；故选：A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.(5分)已知函数尸1(x)为函数f(x)的反函数，且函数f(x-1)的图象经过点(1,1),则函数f-1(x)的图象一定经过点( )A．(0,1) B．(1,0) C．(1,2) D．(2,1)【解答】解：因为函数f(x-1)的图象经过点(1,1),所以f(x)的图象经过点(0,1),第8页(共15页)

所以函数f-1（x）的图象一定经过点（1,0）点，故选：B.【点评】本题考查反函数的图象的对称性，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系.15.15.（5分）以抛物线y2=4x的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）【解答】解：由抛物线y2=4x，得2p=4,p=2,，焦点坐标为F（1,0）,・•・所求椭圆的右焦点为（1，0）,即c=1,又2a=4,.二a=2,贝Ub2=a2-c2=4-1=3.椭圆的标准方程为1故选：C.【点评】本题考查抛物线与椭圆的简单性质，考查椭圆方程的求法，是基础题.已知时间t=0时，点A的坐标是则动点A的纵坐标（5分）动点A（x,y）在圆x已知时间t=0时，点A的坐标是则动点A的纵坐标的时间恰好是12秒，y关于t（单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ）A.A.[0,引 B.[3,6]C.[6,9] D.[9,12]【解答】解：•・•动点A（x,y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，故A=1，12秒旋转一周，故T=12,3=/J,时间t=0时，点A的坐标是（-^,土），故9=39；故动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数为：y=sin（二二+二二）,o6兀 7T 7T 7T由 +2knW—x+——W—+2kn,kGZ得：xG[-2+12k,2+12k],kGZ,2 6 6 2第9页（共15页）即函数y=sin(-^-xJ-)的单调增区间为[-4+12k,2+12k],kGZ・•・k=0,[-4.2],k=1,[8,14].故选：D.【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的解析式，复合函数的单调性，难度中档.三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）（14分）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD，平面ABCD,SD=AD=a，点E是线段SD上任意一点.（1）求证：AC±BE；（2）试确定点E的位置，使BE与平面ABCD所成角的大小为30°.【解答】解：（1）证明：连结BD,二•四边形ABCD为正方形•・AC±BD又：SD，平面ABCD,ACu平面ABCD•.AC±SD.・•BDnSD=D，二AC，平面SBD.又：BEu平面SED,：,AC±BE.（2）解：设DE=t,VSD，平面ABCD,•・BE与平面ABCD所成角为/EBD.+在RtAEDB中，由tanZEBD=tan30°=^^,解得t=---a._ 3J6 .1••当ED=£a时，BE与平面ABCD所成角的大小为30°.【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足角线面角的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.（14分）已知函数f（五）=2s吕2尹；匕吕.1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；第10页（共15页）

(2)在35。中，BC・BA=6,若函数f(x)的图象经过点(B,2),求"BC的面积.【解答】解：(1)f(K)=C口曰法+1卜巧立门2工=2式n(2工J-)+l，・•・f(x)的最小正周期为解f+2k冗式亏十陛口得，一^十上元＜二＜i-十kTT，kgZ，■£■ "J c-j ■二। "JTT TT•・f(x)的单调递增区间为［二-也冗，?比兀］，kGZ；3 o(2)Vf(x)的图象经过点(B，2)，，2sE⑵，2sE⑵+^-)+1=2，sin(2B+^-)q，且。<B<n解得B号•・BC-BA=y|BC||BA1=6，•.辰||BA|=12，，△ABC的面积为弓|BC||BA|psin?-=W::&【点评】本题考查了二倍角的余弦公式，两角和的正弦公式，函数y=Asin(ax+9)的最小正周期的计算公式，正弦函数的单调递增区间，向量数量积的计算公式，三角形的面积公式，考查了计算能力，属于基础题.(14分)某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x户(xGN*，xW9)从事水果销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4x%，而从事水果销售的农户平均每户年收入为(3士工)万元.(1)为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？(2)若一年后，该村平均每户的年收入为f(x)(万元)，问f(x)的最大值是否可以达到2.1万元？【解答】解：(1)根据题意，经过三年，种植户的平均收入为1.8(1+4x%)3，即1,•1喷尸)2.4，解得1日》：&1所以/＞25161，又因为xgZ，所以x三3，即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作；(2)第11页(共15页),对称轴号三1T，因而当％=5时，f(x)机以=2.12>2.1,可以达到2.1万元.“ max【点评】本题考查函数的实际应用，涉及到二次函数性质，属于中档题.(16分)已知曲线C：x2-y2=1,过点T(t,0)作直线l和曲线C交于A、B两点.(1)求曲线C的焦点到它的渐近线之间的距离；(2)若t=0,点A在第一象限，AH±x轴，垂足为H,连结BH，求直线BH倾斜角的取值范围；(3)过点T作另一条直线m，m和曲线C交于E、F两点，问是否存在实数t，使得瓦,丽=0和lABl=lEF|同时成立？如果存在，求出满足条件的实数t的取值集合，如果不存在,请说明理由.【解答】解：(1)曲线C的焦点为0),匕(；2，。)，渐近线方程产土x,由对称性，不妨计算尸2(?2，0)到直线尸x的距离，dJ'Z一二Lv2(2)设l：y=kx(0<k<1),A(x1，y1),B(-x1，-y1),H(x1，0),从而加总产.又因为点A在第一象限，所以0<k<1,从而上皿后打所以直线BH倾斜角的取值范围是S,arCtarr|),(3)当直线l：y=0,直线m：x=八处|二2,E(O, F(Q,-；-t2-l)，2.'t2-l=2=t=±；2当直线l：x=t，直线m：y=0时，t=±•.用(根据对称性，这种不讨论不扣分)不妨设l：y=k(x-t)(k£0),与双曲线联立可得(1-k2)x2+2k2tx-(1+k212)=0,由弦长公式，.=；田舟=3|吕户，第12页(共15页)将k替换成T■，可得|防|=2、:,由IA51=1EFI,可得(12-1)k2+1=12-1+k2,解得12=2,此时△=4(k212-k2+1)>0成立.因此满足条件的集合为｛-「2，.2).【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题.(18分)定义f(a1，a2，…，an)=Ia1-a2I+Ia2-%I+…+Ian」-anI(n@,n三3)为有限实数列｛an｝的波动强度.(1)求数列1,4,2,3的波动强度；(2)若数列a,b,c,d满足(a-b)(b-c)>0,判断f(a,b,c,d)Wf(a,c,b,d)是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；(3)设数列aja2,…，an是数列1+21,2+22,3+23,…，n+2n的一个排列，求f(a15a2,…，an)的最大值，并说明理由.【解答】解：(1)f(1,4,2,3)=I1-4I+I4-2I+I2-3I=6f(a,b,c, d)Wf(a,c,b, d)是正确的；解法1：f(a,b, c,d)-f(a,c, b,d)=Ia-bI+Ic -dI -Ia-cI -Ib-dI,・•a>b>c或a<b<c,AIa-bI-Ia-cI=-Ib-cI,Ic-dI-Ib -dKIb-cI所以f(a,b,c, d)-f(a,c,b, d)K0,即f(a, b, c, d) Kf (a, c, b,d)并且当b>c时，d三b可以取等号，当c>b时，若dKb可以取等号，所以等号可以取到；解法2：不妨设a>b>c,分4种情况讨论[1]若d三a,则f (a, b,c, d) -f (a, c,b, d) =(a -b) +(d-c) -(a-c)-(db)=0,Af(a,b,c,d)=f(a,c,b,d)；[2]若a>d三b,则f(a,b,c,d)-f(a,c,b,d)= (a-b)+ (d- c)-(a- c)(d-b)=0,Af(a,b,c,d)=f(a,c,b,d)；[3]若b>d三c,则f(a,b,c,d)-f(a,c,b,d)= (a-b)+ (d- c)-(a- c)(b-d)=2(d-b)<0,Af(a,b,c,d)<f(a, c,b,d)；[4]若c>d,则f(a,b,c,d)-f(a,c,b,d)=(a- b)+(c-d)-(a-c)-(b第13页(共15页)-d)=2(c-b)<0,Af(a,b,c,d)<f(a,c,b,d)；（3）设1WiWn,{bn}是单调递增数列.分n是奇、偶数情况讨论f(ai，a2，…，an)=/a1+%2a2+…+xnan，其中x1，xnG