江西省抚州市七校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题及参考答案_第1页
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文档简介

抚州市重点中学2022-2023学年度下学期期中联考高二数学试卷本试卷满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在两个变量与的回归模型中,分别选择了4个不同的模型,它们的样本相关系数如表所示,其中线性相关性最强的模型是()模型模型1模型2模型3模型4相关系数0.480.150.960.30A.模型1B.模型2C.模型3D.模型42.在等比数列中,若,则()A.9B.4C.3D.23.有10件产品,其中3件是次品,从中任取两件,若表示取得次品的件数,则()A.B.C.D.4.胡夫金字塔的形状为正四棱锥,1859年英国作家约翰-泰勒(JohnTaylor,1781-1846)在其《大金字塔》一书中提出:埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例,泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载:胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方,如图,若,则由勾股定理得,即,因此可求得为黄金数.已知正四棱锥型金字塔的底面边长约为856英尺,顶点的投影在底面中心为的中点,根据以上信息,的长度(单位:英尺)约为()A.481.4B.512.4C.611.6D.692.55.我国成功举办2022年第24届冬季奥林匹克运动会,其中高山滑雪运动给了我们速度与激情的完美展现.已知某选手高山滑雪的速度(单位:)服从正态分布,若在内的概率为0.7,则该选手的速度不低于的概率为()A.0.05B.0.1C.0.15D.0.26.某实验测试的规则是:每位学生最多可做实验3次,一旦实验成功,则停止实验,否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为,实验次数为随机变量,若的数学期望,则的取值范围是()A.B.C.D.7.已知直三棱柱的底面为等腰直角三角形,分别为的中点,为上一点,,则异面直线与所成角的余弦值为()A.B.C.D.8.19世纪的法国数学家卢卡斯以研究斐波纳契数列而著名,以他的名字命名的卢卡斯数列满足,若其前项和为,则()A.B.C.D.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知随机变量服从两点分布,若,则下列结论正确的是()A.B.C.D.10.某校对男女学生是否喜欢锻炼做了一次调查,其中被调查的男、女生人数相同,男生喜欢锻炼的人数占男生总人数的,女生喜欢锻炼的人数占女生总人数的.若至少有的把握判断是否喜欢锻炼与学生性别有关,则被调查的学生中男生的总人数可能为()附(其中.当时,有的把握判断变量有关联;当时,有的把握判断变量有关联.A.35B.40C.45D.5011.已知等差数列的公差为,等比数列的公比为,则下列选项正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则公差D.若,则公比12.已知抛物线的焦点为,其准线与轴交于点,过的直线与在第一象限内自下而上依次交于两点,过作于,则()A.的方程为B.当三点共线时,C.D.当时,三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若随机变量,且,则__________.14.根据某市有关统计显示,该市对外贸易近几年持续繁荣,2018年至2021年每年进口总额(单位:千亿元)与出口总额(单位:千亿元)之间的一组数据如下:2018年2019年2020年2021年1.82.22.63.02.02.83.24.0若由表中数据得关于的线性回归方程为,若计划2023年出口总额达到5千亿元,则预计该年进口总额约为千亿元.__________.15.无穷数列满足:只要,必有,则称为“和谐递进数列”.若为“和谐递进数列”,且,则__________,为数列的前项和,则__________.16.如图所示圆锥,为母线的中点,点为底面圆心,为底面圆的直径,且的长度成等比数列,一个平面过,与圆锥面相交的曲线为椭圆,若该椭圆的短轴与圆锥底面平行,则该椭圆的离心率为__________.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知正项等差数列的前项和为,__________,.从①;②,且成等比数列这两个条件中任选一个,填在上面的横线上,并完成下面的问题.(1)求数列的通项公式;(2)记数列的前项和为,证明:.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(12分)贵妃芒,又名红金龙,是产于海南的一种水果.该芒果按照等级可分为四类:等级、等级、等级和等级.某采购商打算订购一批该芒果销往省外,并从采购的这批芒果中随机抽取100箱,利用芒果的等级分类标准得到的数据如下表(将样本频率作为概率):等级箱数40302010(1)从这100箱芒果中有放回地随机抽取4箱,记这4箱中等级的箱数为,求概率2)以及的数学期望;(2)利用样本估计总体,果园老板提出两种方案供采购商参考.方案一:不分等级出售,价格为30元/箱;方案二:分等级出售,芒果价格如下表.等级价格/(元/箱)38322616从采购商的角度考虑,应该采用哪种方案?19.(12分)如图,已知菱形的边长为是平面外一点,在平面四边形中,交于点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)已知数列满足(1)记,证明:数列为等差数列;(2)若把满足的项称为数列中的重复项,求数列的前100项中所有重复项的和.21.(12分)某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解,组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中,甲箱有5个选择题和3个填空题,乙箱中有4个选择题和3个填空题,比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答,答完后题目不放回纸箱中,再抽取第二题作答,两题答题结束后,再将这两个题目放回原纸箱中.(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目,求第2题抽到的是填空题的概率;(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目,答题结束后错将题目放入了乙箱中,接着第三支部答题,第三支部抽取第一题时,从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题,求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.22.(12分)已知双曲线,焦距为,一条渐近线的斜率为.(1)求的方程;(2)已知为坐标原点,为上的一个动点,过作垂直于渐近线,垂足分别为,设四边形的面积为.过作分别平行于渐近线,且与渐近线交于两点,设四边形面积为,求的取值范围.答案解析一、选择题1.C样本相关系数的绝对值越接近1,说明与的线性相关性越强.故选C项.2.B由题意可知,所以.故选B项.3.C由题意知的可能取值为服从超几何分布,所以,所以.故选C项.4.D由题意得,又,所以.故选D项.5.C由题意可得,且0.7,所以或,所以或0.15,即该选手的速度不低于的概率为0.15.故选C项.6.A的可能取值为,由,解得0.6或,又,所以.故选A项.7.A由条件可知,则,如图,取的中点,连接,则,取的中点,连接,则,所以,则或其补角为异面直线与所成的角.连接,则,又,则,在等腰直角三角形中,,所以,在正方形中,,易知,则,在中,.故选A项.8.D由,又,所以,又,所以,故.故选D项.二、多选题9.AD因为随机变量X服从两点分布且P(X=,所以,故A项正确;,故B项错误;,故C项错误;,故D项正确.故选AD项.10.CD由题意知被调查的男女生人数相同,设男生总人数为,由题意可列出如下列联表(单位:人):性别喜欢锻炼情况男生女生总计喜欢不喜欢总计.因为至少有的把握判断是否喜欢锻炼与学生性别有关,所以,解得,则,又,所以选项中被调查学生中男生总人数可能为45或50.故选CD项.11.ACA项,由,解得,所以,故A项正确;B项,,故B项错误;C项,,又,解得,故C项正确;因为,所以,所以0,即,解得或,故D项错误.故选AC项.12.BC由题意可知,所以,所以的方程为,A项错误;设的方程为,联立得,则,所以,由题意可知,,当三点共线时,,则,解得,则,代入的方程可知,,根据拋物线的定义可知,所以,B项正确;由定义可知,,因为,所以,C项正确;当时,则,解得(负值舍去),,则,由,则,所以,①假设,则,则,显然不符合①,D项错误.故选项.三、填空题13.1因为随机变量,且,所以,解得,所以,所以.14.3.65由题表得,所以回归直线过点.由0.84,得,由,解得,所以若计划2023年出口总额达到5千亿元,则预计该年进口总额约为3.65千亿元.15.14718因为,且,所以.又,所以,即,所以数列是以3为一个周期的数列,所以.16.设,则,所以,所以为等腰直角三角形.易知为椭圆的长轴,则.如图①,设椭圆的中心为,过点作于点.作出轴截面的平面图,如图②,连接.因为为的中点,为直角三角形,所以.设,则.设,因为,所以,所以.过直线作平行于底面的截面,截面圆如图③,过作的垂线交截面圆于两点,此时为椭圆的短轴.连接,易得,所以,所以,则,所以,所以.四、解答题17.(1)解:若选①.设等差数列的公差为,由,得.又,所以,所以.若选②.设等差数列的公差为.因为,且成等比数列,所以,即,解得或(舍去),所以.(2)证明:因为,所以,所以,且,所以是首项为,公比为的等比数列,所以.18.解:(1)依题意从这100箱中随机抽取1箱是等级的概率,所以,所以,(2)设方案二中芒果的价格为元/箱,则.因为,所以从采购商的角度考虑,应该采用方案一.19.(1)证明:在中,由余弦定理得所以,所以为等边三角形.所以,则.又平面,所以平面.(2)解:由(1)知,平面,取的中点,连接,又,所以为等边三角形,所以,又平面,所以,,即两两互相垂直.以为坐标原点,的方向分别为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以.设平面的法向量为,则得令,得.又平面的一个法向量为,所以,又二面角为钝二面角,所以二面角的余弦值为.20.(1)证明:由,得,又.故,得4,故,所以数列是以6为首项,4为公差的等差数列.(2)解:设,得,又.故,得,故,所以数列是以2为首项,2为公差的等差数列,所以,由题意,数列的前100项中的重复项为数列的前50项与数列的前50项中的公共项,设数列与数列的公共项所成数列为,则数列是以6为首项,4为公差的等差数列,所以,又,当时,,所以数列的前50项与数列的前50项中有24个公共项,数列的前24项和为1248,所以数列的前100项中所有重复项的和为.21.解:(1)设表示“第次从乙箱中取到填空题”,1,2,由全概率

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