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张量分析在建立力学平衡微分方程中的运用

研究问题中张量分析的必要性自然界变化和运动是有规律的，认识这些规律是自然科学的任务。而用数量来描述这些规律时，往往需要引入坐标系，才能把数学带到自然科学中去。然而，本来与坐标系选取无关的自然规律，它的数学表达形式不得不与坐标系的选择夹杂在一起，而使人对其物理实质不易辨认。

张量的引入，则恰是力图既采用坐标系又摆脱具体坐标系影响的一种尝试。使用张量，可以简化推导，使演算过程清晰，表达整齐，用张量来描述自然科学中一些规律所得的结果，在任何坐标系具有不变的形式，这将给研究工作带来极大的方便。对于物体的任一体积V，其表面积为A,如图1所示，于是有以下的平衡条件：力矢量和为零，即，或

对点的力矩矢量和为零，即，或将代入，式（1）可写成利用散度定理，上式可表示成（1）（2）（3）（4）图1对于一个任意的体积同样，式（2）可写成以下形式:由散度定理，其i固定，有于是，式（2）变成（5）（6）（7）（8）又将式（9）代入式（8）得但从力的平衡式（5）得，那么由于（9）（10）（11）（12）将式（12）代入（11）得出或对于任一体积，有其中隐含（13）（14）（15）（16）例如，考虑i=1的情况，那么式（15）给出以下非零项但，所以。利用式（16），则式（5）可以写成式（18）和式（16）可以用（x,y,z）(vonKarman)标记写成（17）（18）（19）以及

等。

同样的，对于运动情况有式中，αi为加速度分量，ρ

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