立体表面交线的投影

立体表面交线的投影第1页/共90页1、平面立体截切的基本形式

平面立体的截交线是一个由直线组成的平面封闭多边形，其形状取决于平面立体的形状及截平面在平面立体上的截切位置。截交线的每条边都是截平面与棱面的交线(共有性)。多边形的各个顶点是截平面与平面立体的棱线或底边的交点。截交线的性质：求截交线的实质：是求两平面的交线二、平面切割体的投影第2页/共90页2、正六棱柱被截切后的投影作图方法:1)求棱线与截平面的共有点2)连线3)根据可见性处理轮廓线1״2״1׳2׳2׳2׳2׳7׳7״5׳6׳5״6״12345673׳4׳3״4״第3页/共90页第4页/共90页3、正四棱锥被截切后的投影321(4)1●2●4●3●1●2●4●★空间分析3●★投影分析★求截交线★分析棱线的投影第5页/共90页第6页/共90页例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。121(2)Ⅰ、Ⅱ两点分别同时位于三个面上。三面共点：2●1●

注意：

要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。第7页/共90页第8页/共90页例2：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。6´2´(5´)1´3´4´1234561″2″3″4″6″(5″)123456第9页/共90页第10页/共90页ⅡⅠBB1AA1YHYW第11页/共90页3’4’7’8’例3.求正四棱柱被截切后的V、H投影。

1”(2”)3”(4”)5”(6”)7”(8”)9”1’2’5’6’9’12569’(7)(8)3’4’第12页/共90页第13页/共90页例4.求正三棱锥被截切后的V、H投影。

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例5:求九棱柱被正垂面截切后的俯视图。1″2″

3″4″5″6″7″8″9″1´(9´)

2´(8´)5´3´(4´6´

7´)123456789第15页/共90页用截交线的类似性检查第16页/共90页一、回转体截切的基本形式截平面截平面截交线截交线§5-2回转体截切的投影第17页/共90页截交线的性质：截交线是截平面与回转体表面的共有线。截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置。截交线都是封闭的平面曲线。

(特殊情况为平面折线)第18页/共90页2、求截交线的一般步骤⑴空间及投影分析

①确定截交线的形状②明确截交线的投影特性(积聚性、类似性等)

⑵画截交线的投影:

当截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为：☆顺次光滑地连接各点，并判断可见性。☆先取特殊点，后取中间点。

分析截平面与回转体轴线的相对位置明确回转体的形状关键在分析截平面与投影面的相对位置

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截交线的求法

方法：第20页/共90页

截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。垂直圆椭圆平行两平行直线倾斜PVPPVPPVP二、圆柱体的截切第21页/共90页垂直圆椭圆平行两平行直线倾斜圆柱体的切割第22页/共90页例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。平面与圆柱相交

由于平面与圆柱的轴线斜交，因此截交线为一椭圆。截交线的正面投影重影为一直线，水平投影与圆柱面的投影重影为圆。侧面投影可根据圆柱表面取点的方法求出。具体步骤如下：（1）先作出截交线上的特殊点。（2）再作出适当数量的一般点。（3）将这些点的投影依次光滑的连接起来。1’15’5373’(7)’1”5”3”7”22’2”4684’4”（4）补全侧面投影中的转向轮廓线。8”6”ⅠⅢⅤⅦⅡⅣⅥⅧ第23页/共90页

比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。平面与圆柱相交﹥45°﹤45°=45°第24页/共90页例2、补画被挖切后立体的投影。平面与圆柱相交分析：该立体是在圆柱筒的上部开出一个方槽后形成的。构成方槽的平面为垂直于轴线的水平P和两个平行于轴线的侧平面Q。它们与圆柱体和孔的表面都有交线，平面P与圆柱的交线为圆弧，平面Q与圆柱的交线为直线，平面Ｐ和Q彼此相交于直线段。第25页/共90页（1）先作出完整基本形体的三面投影图。平面与圆柱相交（2）然后作出槽口三面投影图。（3）作出穿孔的三面投影图。QP作图步骤如下：第26页/共90页第27页/共90页例3：求左视图★空间及投影分析★利用积聚性求截交线★分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置●●解题步骤：

同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。●●第28页/共90页第29页/共90页例4：求左视图●●●●第30页/共90页第31页/共90页例5:补画出立体的左视图2.作左切面上的投影

1.作圆柱的左视图3.作下部通槽的投影4.判别可见性第32页/共90页5.整理并擦除多余的线,完成作图.第33页/共90页g'1'（2'）34b（d‘c’f'）e'4'（3'）2b'12''1''b''g''f'e'cdaega'Yc''d''fa'例6求圆柱截交线分析：2.截平面数量及相对位置3.截交线的形状1.分析形体特征Y作图:1.求特殊点2.求一般点3判断可见性4.检查bagfedc1432第34页/共90页bagfedc1432第35页/共90页

根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。过锥顶两相交直线PV圆PVθθ=90°PV椭圆αθθ＞α抛物线PVθαθ=α双曲线PVαθ=0°＜α三、圆锥体的截割第36页/共90页纬圆法(辅助平面法)素线法圆锥上的截交线求共有点的方法第37页/共90页例1:圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三视图★找特殊点如何找椭圆另一根轴的端点？★补充中间点★光滑连接各点★分析轮廓线的投影第38页/共90页第39页/共90页平面与圆锥相交例2:圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。342153’2’(4’)1’(5’)4”3”2”1”（1）先求特殊点。（2）再求一般点。（3）依次光滑连接各点。5”具体步骤如下：第40页/共90页例3:求圆锥被截切后的正面投影.分析:截交线的正面投影为双曲线.作图:1、求特殊点。最高点最低点2、求一般点。3、连线。第41页/共90页四、球体的截切

平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。第42页/共90页（1）先求特殊点。（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。（3）依次连接各点的水平投影。平面与球相交11’23’(4’)432’655’6’例1、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。具体步骤如下：第43页/共90页例2：求半球体截切后的俯视图和左视图。水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。判断可见性第44页/共90页第45页/共90页例3:求圆球被截切后的水平投影和侧面投影分析:

球面被侧平面截切，侧面投影为圆；球面被水平面截切，水平面投影为圆。轮廓线要不要?轮廓线怎样处理?第46页/共90页分析:

球面被侧平面截切，侧面投影为圆；球面被水平面截切，水平面投影为圆。第47页/共90页●●(四)复合回转体的截切●●●●●●1.分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系.例：求作顶尖的俯视图2.分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。●●●●●●●●第48页/共90页第49页/共90页

平面体与回转体相贯回转体与回转体相贯多体相贯1、相贯的形式

两相交的立体叫作相贯体，其表面产生的交线叫做相贯线。一、相贯线的几何性质及其求法§5-3回转体与回转体相贯的投影第50页/共90页

立体表面相交有三种形式,一种是立体的外表面相交;一种是外表面与内表面相交;一种是内表面与内表面相交.实实相贯实虚相贯虚虚相贯第51页/共90页2、相贯线的主要性质

其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。★共有性★表面性相贯线位于两立体的表面上。相贯线是两立体表面的共有线（同时也是分界线）。★封闭性

相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组成）或空间曲线。第52页/共90页3、相贯线的求法表面取点法辅助切平面法

一般是根据立体或给出的投影，分析两回转面的形状、大小极其轴线的相对位置，判断相贯线的形状特点和各投影的特点，从而选择适当的方法作图。利用投影的积聚性直接找点。

根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。第53页/共90页

如果两回转体相交，其中有一个是轴线垂直于投影面的圆柱，则相贯线在该投影面上的投影积聚在圆柱面上。利用回转体表面取点的方法可以作出相贯线的其余投影。

按已知曲面立体表面上点的投影求其它投影的方法，称为表面取点法。二、利用表面取点法求作相贯线第54页/共90页例1：垂直相交圆柱的相贯线分析：直立圆柱的水平投影有积聚性，水平圆柱的侧面投影有积聚性，

相贯线的两面投影分别落在这两个有积聚性的圆上，故只需求正面投影。作图：1、求特殊点。2、求一般点。3、判别可见性。第55页/共90页3`1`2`1″3``13外表面和外表面相交13例1：求垂直相交圆柱的相贯线最左最高点最前最低点最左最高点投影最右最高点投影最前最低点投影最后最低点投影244``相贯线(1)求特殊点。

最左点和最右点最前点和最后点(2″)(4′)第56页/共90页3`1`2`5`1``5``3``153yy6y辅助素线相贯线外表面和外表面相交135例1：求垂直相交圆柱的相贯线（2）求一般点。在相贯线水平投影上任取一点。（3）判别可见性，按顺序光滑连接。(4′)426′（6″)(2″)4″第57页/共90页两圆柱相交的三种形式—相贯线的画法外表面和内表面相交外表面和内表面相交第58页/共90页内表面和内表面相交挖孔后切割后第59页/共90页水平圆柱较大两圆柱直径相等水平直径较小上下两条空间曲线两个互相垂直的椭圆左右两条空间曲线垂直相交两圆柱直径相对变化时的相贯线

两圆柱相交时，相贯线的形状和位置取决于它们直径的相对大小和轴线的相对位置。这里特别指出的是，当相贯线（也可不垂直）的两圆柱面直径相等，即公切一个球时，相贯线是相互垂直的两椭圆，且椭圆所在的平面垂直于两条轴线所确定的平面。

第60页/共90页当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。相贯线总向大圆柱的轴线弯曲相贯线的投影为过轴心的两条相交直线第61页/共90页例2：补全主视图

投影分析：由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在矩形上。

空间分析：四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，截交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，截交线为两段圆弧。第62页/共90页第63页/共90页

圆柱与半球的相贯线辅助平面P

用辅助平面法求相贯线投影的基本原理是：作一辅助平面P，使它与回转体都相交，求出P平面与两回转体的截交线，作出两回转体表面截交线的交点，即为两回转体表面的共有点，亦即相贯线上的点。

为了简化作图，选择什么位置的平面作为辅助平面是很重要的。选择辅助平面时应遵守下述原则:所选择的辅助平面与两相交立体表面所产生的截交线的投影，应该是简单易画的圆或直线。三、用辅助切平面法求相贯线第64页/共90页辅助平面法：

根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。作图方法：

假想用辅助平面截切两回转体，分别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线上的点。辅助平面的选择原则：

使辅助平面与两回转体表面的截交线的投影简单易画，例如直线或圆。一般选择投影面平行面。第65页/共90页例1、求圆柱与半球相贯线的投影

相贯线的侧面投影积聚在圆柱的表面上。水平圆柱与半球的公共对称面平行于V面，故相贯线是一条前后对称的空间曲线。第66页/共90页作图步骤：1）求特殊点：4’141”4”1’2）求一般点：PvPw2”6”26QvQw3”5”352’(6’)3）判断可见性，依次光滑连接各点：4）补画水平转向轮廓线。3’(5’)ⅣⅠ第67页/共90页例3.求圆柱与圆锥的相贯线。(1)利用圆柱的积聚性投影求相贯线上特殊位置点的投影.(2)利用辅助平面法求相贯线上一般位置各点的投影。(3)判别可见性后,按虚实依次将各点的投影连接为光滑曲线并擦去被相贯掉的轮廓线，加深其余图线。解题步骤：易多线易漏线立体图第68页/共90页第69页/共90页第70页/共90页第71页/共90页四、两回转体相贯线的特殊情况1、两圆锥共锥顶相交或两圆柱轴线平行相交时，其相贯线为直线。第72页/共90页2、任何回转体过球心与球相交时，其相贯线为平面圆。如该圆垂直某投影面，则投影为直线。第73页/共90页3、两等径回转体相交或两回转体同时公切于一球相交时，相贯线为平面曲线(椭圆)。若平面曲线与投影面垂直，则其投影也为直线。第74页/共90页五、影响相贯线形状的因素：①两相交立体的表面性质②两回转体的相对位置③两回转体的尺寸变化轴线正交轴线斜交轴线偏交表面性质和相对位置对相贯线的形状的影响轴线正交时表面性质相同而尺寸不同对相贯线的形状的影响第75页/共90页轴线正交时表面性质相同而尺寸不同对相贯线的形状的影响第76页/共90页