中心极限定理教学设计

中心极限定理教学设计（共29页）-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-#概率论与数理统计教学设计课程名称经济应用数学C课时50+50=100分钟任课教师李飞专业与班级人力资源管理B1601-02市场营销B1601课型新授课课题中心极限定理学习目标知识与技能掌握棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理和列维一林德伯格中心极限定理（独立同分布中心极限定理）的结论和应用条件，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率；过程与方法.中心极限定理产生的历史背景。.中心极限定理的提法..林德伯格——勒维中心极限定理.隶莫弗——拉普拉斯定理.林德贝格中心极限定理.李雅普诺夫中心极限定理.中心极限定理在管理中的应用情感态度与价值观.培养学生能够自觉地用极限定理的视角观察生活，将统计方法用于分析和探讨生活中的实际问题，提高认知能力和水平..中心极限定理名称的得来是由于随机变量和的分布收敛于正态分布的极限定理的研究在长达两个世纪的时间内成了概率论研究的中心课题，因此也得到了中心极限定理的名称..让学生懂得，量变与质变的辩证关系。.教学分析教学内容.中心极限定理产生的历史背景。.中心极限定理的提法..林德伯格——勒维中心极限定理.隶莫弗——拉普拉斯定理.林德贝格中心极限定理.李雅普诺夫中心极限定理.中心极限定理在管理中的应用

教学重点.隶莫弗——拉普拉斯定理；.李雅普诺夫中心极限定理；教学难点.隶莫弗——拉普拉斯定理；.李雅普诺夫中心极限定理；教学方法与策略课堂教学设计思路本课从随机变量序列的各种收敛与它们间的关系谈起，通过对概率论的经典定理一中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质一平均结果的稳定性.经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示的理论依据.同样中心极限定理的内容也从独立同分布与独立不同分布两个角度来进行讨论;最后给出了一些中心极限定理在数理统计、管理决策、近似计算、以及保险业等方面的应用，来进一步地阐明了中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值.板书设计

教学进程教学意图教学内容教学环节1.极大似然估计的原理与思想（10分钟）中心极限定理的提法概率统计学是一门研究随机现象统计规律性［1］的数学学科，它的应用十分广泛，涉及自然科学、社会经济学科、工程技术及军事科学、农医学科、企业管理部门等.而大数定律和中心极限定理是概率论中最重要的内容之一，甚至可以说概率论的真正历史开始于极限定理的研究，在这以前概率论还仅局限于古典概率的直接计算，而且主要是赌博中的概率计算⑵.极限定理最早的成果有:伯努利大数定律，棣莫佛一拉普拉斯定理和泊松定理，这些定理开辟了概率论中的重要研究方向一大数定律、中心极限定理及以正态分布和泊松分布为代表的无穷可分分布的研究.概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景.在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的.中心极限定理就是从数学上证明了这一现象.最早的中心极限定理是讨论n重伯努利试验中，某事件A出现的次数渐近于正态分布的问题.1716年前后，棣莫佛对n重伯努利试验中每次试验事件A出现的概率为1/2的情况进行了讨论，随后，拉普拉斯和李亚普诺夫等进行了推广和改进.自莱维在1919-1925年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等.无论是在概率论的发展史上还是在现代概率论中，极限定理的研究都占特别重要的地位，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美.长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展.同时新的极限理论问题也时间：10分钟中心极限定理的名称最早是由仆里耶（1920年）提出来的，中心极限定理的一般形式最早是由切比雪夫（1821年一1894年）提出来的下面我们介绍四个主要定理：1）林德伯格一勒维定理2）棣莫弗一拉普拉斯定理2）林德伯格定理3）李雅普诺夫定理.其中

在实际中不断产生.这样中心极限定理在概率论中占有重要的地位，同时极限定理的研究引起了现代概律论的发展，并且在统计分析和近似计算等方面具有一定的应用，所以中心极限定理的研究具有一定的理论和实际意义.直观上，如果一随机变量决定于大量（乃至无穷多个）随机.因素的总合，其中每个随机因素的单独作用微不足道，而且各因素的作用相对均匀，那么它就服从（或近似地服从）正态分布，下面我们将按严格的数学形式来表述这一直观.在许多情形下，一随机变量X可以表示为或近似地表示为大量独立随机变量之和，X=己+己+•芯 M12 n （a）这里，每个白直观上表示一种随机因素的效应，i假如式（a）包含了决定X的充分多的随机因素的效应（即n充分大，则Z匕的分布就近似于X的分布.中ii=1心极限定理就是要说明，在什么条件下大量独立随机变量之和近似地服从正态分布，即，在什么条件下，当nT0时，独立随机变量之和的极限分布是正态分布的.林德伯格定理是最一般的，其它情形可以看作它的推论.

累计10分钟引入中心极限定理的基本思想累计20分钟中心极限定理有多种不同的形式，它们的结论相同，区别仅在于加在各被加项己，己，…上的条件不1 2同.独立同分布随机变量列的中心极限定理，是中心极限定理最简单又最常用(特别在数理统计中)的一种形式，通常称做林德伯格--—勒维定理.历史上最早的中心极限定理一棣莫弗-拉普拉斯(积分)定理是它的特殊情形.设5(k=1,2,…)的方差D己，大于0，令ka=E匕,b2=Dg,B2=Eb2k k kn kk=1我们说，随机变数列也｝服从中心极限定理，如k果关于xeR均匀的有1limP<—2E(己—a)<x>=/fxe-三出.n-s〔B一kk 1市田nk=1(2)表示：随机变量数(Z&-a)的分布B kknk=1函数关于%均匀的趋于正态分布N(0,1)的分布函数.时间：5分钟用足球比赛事件引入达到以下目的：①吸引学生注意力，使学生尽快进入上课状态；②帮助学生深入浅出的理解极大似然估计的基本思想.教学意图教学内容教学环节独立同分布的两个定理：林德伯格——勒维中心极限定理时间20分钟提问：如何

林德伯格—--勒维中心设X,X，…,X，…相互独立，服从同一分布，具1 2 n有数学期望和方差：E(X)=%Var(x)=O2>0.记i iX+X+…+X—n|lxY*=-1 2 ———n n o册则对任意实数y，有一… 、一、 1h也，limp(Y*<y)=0(y)= Jye2dt.n.+<» n \/2兀-<»证明为证(1)式，只须证Y*｝的分布函数列n若收敛于标准正态分布.又由定理4.3.4现只须证1」的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函n数.为此设X-的的特征函数为①(t),则Y*的特征n n函数为,、「，t、In①(t户叭丁)Yn” L0vn」又因为E(X-N)=0,Var(X-N)=o2,所以n n有0(0)=0 ,①〃(0)=-O2于是特征函数①(t)有展开式. .. 12①(t)=w(0)+6(0)t+①(0)—+o(12)2=1-—O212+O(12)从而有度量样本值出现的可能性？

lim①(t)=limY*nf+8Yn nf+81-:+。(上)2n n2n t2.—=e2,t2而e-2正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证.例1某汽车销售点每天出售的汽车辆数服从参数为入-2的泊松分布.若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的，求一年中售出700辆以上汽车的概率.解：设1某汽车销售点每天出售的汽车辆数，则Y=1+1+…+x ，为一年的总销量.由1 2 365E(1)=Var(1)=2 , 知i iE(Y)=Var(Y)=365x2=730.利用林德贝格一-勒维中心极限定理可得，700-730累计40分钟P(Y>700)=1-P(Y<700)氏1-①(—)=1—(J730这表明一年中售出700辆以上汽车的概率为0.8665D(-111)=0.8665

隶莫弗——拉普拉斯定理(10分钟)100x0.2〈0.2x0.8教学意图教学内容教学环节隶莫弗拉普拉斯定理在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中出现的概率为P(0<p<1)，N为n次试验中事件A出现的n次数，且记V*」-npy* n -nqnpq且对任意实数y，有一, 、一、if卫，limp(Y*<y)=0(y)= —Jye2dt.n.+<» n J2兀-<»此定理由定理1马上就得出，也就是说定理2是定理1的推论.例2某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%,以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.⑴写出X的分布列；(2)求被盗户不少于14户且不多于30户的概率近似值.解：⑴X服从n=100,p=0.2的二项分布b(100,2),即一(nY___ _一p(x=k)= 0.2k0.8100-k,k=1,2,…,n(k)⑵利用隶莫弗——拉普拉斯中心极限定理,有p(14<x<30)=p(13.5<x<30.5)六①(30.5-100x0，100x0.2x0时间10分钟主要依据上边的例题，归纳总结离散型总体下似然函数的构建..2、~13.5-=)-0(^=).8 或00：

累计50分钟二①(2.625)—①(—1.625)=①(2.625)-1+①(1.62这表明被盗户不少于14户且不多于30户的概率近似值为0.9437.j)=0.99565-课间休息10分钟3.极大似然估计法应用(15分钟)教学意图教学内容教学环节林德贝格中心极限定理对于独立同分布随机变量序列己,己，…只要它们1 2的方差有穷，中心极限定理就成立.而在实际问题中说诸己具有独立性是常见的，但是很难说诸己是“同i i分布”的随机变量，正如前面提到的测量误差Y的产n生是由大量“微小的”相互独立的随机因素叠加而成的，即Y=£匕则，间具有独立性，但不一定同分n i ii=1布，所以我们有必要讨论独立不同分布随机变量和的极限分布问题，目的是给出极限分布为正态分布的条件.林德伯格(Lideberg)于1922年找到了独立随机变量服从中心极限定理的最一般的条件，通常称做林德伯格条件.3.1林德贝格中心极限定理设独立随机变量序列｛X｝满足林德贝格条n件，则对任意的X，有limPJ—X(X-从)<J=^L=fXe-；dt.n-8 1BAii 1 5-8ni=1为证此，先证下列三个不等式：对任意实数〃,有eia-1<a ；时间5分钟通过指数分布(连续型)参数的极大似然估计，进一步巩固极大似然估计的方法与步骤，同时体现极大似然估计法在工作生活中有着很广泛、很重要的应用.1+0.948=0.9437累计15分钟⑷eia—1—iaV—2!⑸I•,a2,a2eia一1一ia+—< 2 3!实际上，对a=0上三式明显.设a>0，贝IJeia-1=Jaeixdx<a；eia一1-ia=|Ja(eix_1)dx<|Jaxdx=a2!；eia—1—ia+ =|Ja(eix—1—ix)dx<Ja>eix—1—ixdx<Jax!dx=a3!利用eia=cosa+isina,可见(4)(5)(6)方都是a的偶函数，故他们对a<0也成立.李雅普诺夫中心极限定理如对独立随机变数列七J,存在常数。＞0,使当nf8时有Ze肉+a2”-0 (25)B2+o k knk=1时间15分钟

李雅普诺夫中心极限定理则(2)对X均匀的成立.证.只要验证林德贝格条件满足，由(25)—Zj (x-a)2dF(x)B211X-心B kknk=1 kn< 1 Zj X-a2+。dF(x)B2(TBk一lx-魄LB1 k kn k=1 kn1 1V .2+。 一< 乙Em+a—0,(n-8)T。B2+。 k k1nk=1例3一份考卷由99个题目组成,并按由易到难顺序排列.某学生答对第1题的概率为0.99;答对第2题的概率为0.98;一般地，他答对第i题的概率为1-i/100,i=1,2,….加入该学生回答各题目是相互独立的，并且要正确回答其中60个题目以上(包括60个)才算通过考试.试计算该学生通过考试的可能性多大？解设V [1,若学生答对第题；X.=i 0,若学生答错第题.于是X相互独立，且服从不同的二点分布：ip(X=1)=p=1-i/100,p(X=0)=1-p=i/100,i i i i 'i=1,2,口,99

而我们要求的是p（艺X>60）.ii=1为使用中心极限定理，我们可以设想从X100开始的随机变量都与X同分布.且相互独立.下面我99们用5=1来验证随机变量序列｛X｝满足李雅普诺夫nB=2varB=2var(X)='i=12p(1一p)-+s,(n-+s)iii=1TOC\o"1-5"\h\zE(IX一P13)=P3(1-P)+P(1-P)3工P(1-P)，

ii i ii i i i于是\o"CurrentDocument"!£e（X-P3）< --0\o"CurrentDocument"B3..iiV,一 、12…=1 2P（1一P）ii\o"CurrentDocument"Li=1 」（n—+8），即｛X｝满足李雅普诺夫条件（25），所以可以使n用中心极限定理.又因为TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"E(2X)=2P=2(1--i-)=49.5

ii 100i=1 i=1 i=1B2=2Var(X)=2(1--)(—)=16.66599 i 100100\o"CurrentDocument"i=1 i=1所以该学生通过考试的可能性为

累计30分钟一 |艺X—49.5尸丫>附 ' >60—495p(\X>60)=p<i >i J16.665 J16.665iT l-1—①(2.5735)=0.005.由此看出：此学生通过考试的可能性很小只有千分之五.[、，大约中心极限定理在商业管理中的应用(20分钟)教学意图教学环节水房拥挤问题假设某高校有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向学校后勤集团公司提议增设水龙头.假设后勤集团公司经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1%的时间要占用一个水龙头，现有水龙头数量为45个，现在总务处遇到的问题是：(1)未新装水龙头前，拥挤的概率是多少(2)需至少要装多少个水龙头，才能以95%以上的概率保证不拥挤解：(1)设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X,则X〜B(5000,时间10分钟提问，请学生思考.0.01)拥挤的概率是p&>45)=1-p(0<^<45)=1—XCkx0.01kx0.(5000k=0直接计算相当麻烦，我们利用隶莫佛-拉普拉斯定理.已知n=5000,p=0.01,q=0.99,np=50,、/npq=7.04.故P(0&工&45)氏①145-501-①]0-^01=①(-17.04) 17.04)从而p&>45)=1-0.2389=0.7611.怪不得同学们有不少的抱怨.拥挤的概率竟达到76.11%.(2)欲求m,使得P(0<]<45)>0.95即/m-501/0-50Vnnc①一①>0.9517.04) 17.04)由 于①(£z1=①17.09)氏017.04)即①(m-50]>0.9517.04)查标准正态分布表，得995000-k0.71)-①(-7.1)=0.2389.m一50r/… >1.6457.04即 m>61.6故需要装62个水龙头.问题的变形：(3)需至少安装多少个水龙头，才能以99%以上的概率保证不拥挤？解：欲求m，使得P(0&工&45)>0.99即①1m-50_]—①(0-50]>0.99(7.04) 17.04)由 于①]£z121=①(-7.09)氏0.76(7.04)即①(m-50]>0.9917.04)查标准正态分布表，得m-50>2,3257.04即 m>66.4故需要装67个水龙头.(4)若条件中已有水龙头数量改为55个，其余的条件不变,1,2两问题结果如何？解 ： ( 1 )p化>55)=1-①J；,：0)=1-①(0.71)=0.2389.

(2)同上.(5)若条件中的每个学生占用由1%提高到1.5%，其余的条件不变，则(1)，(2)两问题结果如何解：(1)设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为x，则X〜B(5000,0.015),已知n=5000,p=0.015,q=0.985,np=75,i，npq=8.60.拥 挤 的 概 率 是P&>45)=1-①145-75]=1-①(-3.49)氏1.18.60)拥挤的概率竟达到100%.(2)欲求m,使得P(0<^<45)>0.95即Jm-75) (00-75)、八”①一①>0.9518.60) 18.60)― J0-751八由于 ① 六0(8.60)即①]m一及]>0.95(8.60)m—75一一一查标准正态分布表，得 >1.6458.60即 m>89.14故需要装90个水龙头.

累计40分钟盈利问题保险的概10006000X~4000=P'盈利问题⑸：假设一家保险公司有10000个人参加每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡率为0.006,死亡时，家属可向保险公司领得元，问(1)保险公司亏本的概率有多少？(2)保险公司一年的利润不少于40000元，10元，80000元的概率各为多少？解：设X为一年内死亡的人数，则B(10000,1.06),即由德莫佛一拉普拉斯中心极限定理⑴网保险金亏本)二产］发:1判=1-产｛£r1^-10000x0.06 120-10C二1一F《广 >「时间10分钟01…，10。口