2017届辽宁省鞍山市高三下学期第一次质量检测数学（文）试题（解析版）

2017届辽宁省鞍山市高三下学期第一次质量检测数学（文）试题一、选择题1．已知全集，集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为，所以，又因为，所以，故选B.2．若复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】,化为，复数在复平面内所对应的点在第三象限，故选C.3．下列四个函数中，在区间上是减函数的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】A.在上是增函数，在上是增函数，故错；B.在上是减函数，在上是减函数，故对；C.在上是增函数，在上是增函数，故错；D.在上是增函数，在上是增函数，故错；故选B.4．已知向量，满足，，，则向量，的夹角为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】设向量，的夹角为，因为，，，，所以①②，由①②可得，，故选D.5．在明朝程大位所著《算法统宗》中，有这样的一首歌谣，叫做浮屠增级歌．“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，它一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，全塔总共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？据此，你算出顶层悬挂的红灯的盏数为（）A.5B.4C.3D.4【答案】C【解析】则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以为首项，以为公比的等比数列，，解得，所以顶层有盏灯，故选C.6．执行下图程序框图，如果输入的，均为2，则输出的（）A.7B.6C.5D.4【答案】A【解析】若，则第一次循环，成立，则；第二次循环，成立，则，此时不成立，输出，故选A.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7．已知函数，则函数满足（）A.最小正周期为B.图象关于点对称C.在区间上为减函数D.图象关于直线对称【答案】D【解析】试题分析：，所以函数最小正周期为，将代入，为故直线为函数的对称轴，选D.【考点】三角函数图象与性质.8．一空间几何体的三视图如下图所示，该几何体的体积为，则正视图与侧视图中的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是由圆柱和一个四棱锥的组合体，根据组合体的体积的值得到等式，解得，综上所述，故选B.9．已知（且）恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（）A.B.8C.D.4【答案】A【解析】因为（且）恒过定点，所以在直线上，可得，，的最小值为，故选A.10．已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为点到抛物线焦点距离等于点到抛物线的准线的距离，所以到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小等价于到点的距离与点到抛物线准线距离之和取得最小，如图，由几何性质可得，从向准线作垂线，其与抛物线交点就是所求点，将代入，可得，点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为，故选D.【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将到焦点的距离转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的.11．已知函数的定义域为，当时，若，，，则有的值（）A.恒小于零B.恒等于零C.恒大于零D.可能大于零，也可能小于零【答案】C【解析】因为，所以，由于在上递增，在上递减，所以在上递增，由得，同理可得，三式相加，化简可得，>0，则有的值恒大于零，故选C.12．过双曲线（，）的右焦点作圆的切线，切点为.直线交抛物线于点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】如图，由得是的中点，设抛物线的焦点为，则为，也是双曲线的焦点，连接分别是和的中点，为的中位线，于是可得，设，则由抛物线定义得，于是有代入抛物线方程，过点作轴的垂线，由抛物线定义知点到该垂线的距离为，由勾股定理得，即，变形可得，两边同除以，有，所以（负值已经舍去），故选B.【方法点晴】本题主要考查利用抛物线及双曲线的定义、双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.二、填空题13．若，满足约束条件，则的最小值为__________．【答案】【解析】画出约束条件表示的可行域，如图，由得，，由图可知当直线过时有最小值，故答案为.14．已知三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上，且、、两两互相垂直，则三棱锥的侧面积的最大值为__________．【答案】8【解析】两两垂直，又因为三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上，所以以为棱的长方体的对角线即为球的一条直径，，则由基本不等式可得，，即，则三棱锥的侧面积，则三棱锥的侧面积的最大值为，故答案为.15．已知等差数列中，，，设为数列的前项和，则__________．【答案】【解析】由题意得：，，故答案为.16．给出下列四个命题：①“若，则或”是假命题；②已知在中，“”是“”成立的充要条件；③若函数，对任意的都有＜0，则实数的取值范围是；④若实数,，则满足的概率为.其中正确的命题的序号是__________（请把正确命题的序号填在横线上）．【答案】②④【解析】因为“若，则或”的逆否命题“若且，则”是真命题，所以①是错误；因为，所以②正确；若函数，对任意的都有可得函数为减函数，即，，因此③错误；根据几何概型概率公式可得实数,，则满足的概率为，④正确，故答案为②④.【方法点睛】本题通过判断命题的真假综合考查四种命题及其关系以及充分条件与必要条件、分段函数的解析式及单调性，属于难题，判断命题的真假应注意以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假；(3)判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除.三、解答题17．已知锐角的内角、、的对边分别为、、，且，，的面积为，又，记.（Ⅰ）求，，的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由已知利用三角形面积公式可求的值，结合为锐角，可求，再由余弦定理可解得，从而由余弦定理即可求得的值；（2）由已知可求，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角差的余弦函数公式可求，利用二倍角的余弦函数公式即可解得的值.试题解析：（1）由的面积为，有，即，得，又为锐角，故再由余弦定理：，得，.（2）由，知，由为正三角形，即，且，所以，所以.18．上周某校高三年级学生参加了数学测试，年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间（满分100分，成绩不低于40分），现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；（Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率.【答案】（1）65分（2）【解析】试题分析：（1）个矩形中点横坐标与纵坐标的积求和即可求平均数，最高矩形中点横坐标即为众数；（2）用列举法求出从成绩大于等于分的学生中随机选名学生的事件个数，查出至少有名学生成绩在的事件个数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解.试题解析：（1）因各组的频率之和为1，所以成绩在区间内的频率为，所以平均分分，众数的估计值是65分（2）设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间内”，由题意可知成绩在区间内的学生所选取的有：，记这4名学生分别为，，，，成绩在区间内的学生有（人），记这2名学生分别为，，则从这6人中任选2人的基本事件事件空间为：共15种，事件“至少有1名学生的成绩在区间内”的可能结果为：，共九种，所以.故所求事件的概率为：.【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及根据直方图求平均数和众数，属于中档题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.19．如图，在四棱锥中，底面的平行四边形，，，面，为的中点.（Ⅰ）求证：（Ⅱ）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）由余弦定理结合勾股定理可得，再由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结果；（2）根据“等积变换”可得，进而直接用棱锥的体积公式求解.试题解析：（1）证明：因为面，又平面所以，又因为，，在中，由余弦定理有：所以，即：，又因为，又平面，平面，所以平面，又平面，所以.（2）由已知有：，所以，,因为面且为的中点，所以点到平面的距离为，所以20．已知函数，.（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；（Ⅱ）令，求函数的极值；（Ⅲ）若，正实数，满足，证明：.【答案】（1）0；（2）详见解析；（3）证明详见解析.【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率，所以先求导数得，即，又，再根据点斜式得切线方程（2）先求导数，再分类讨论导函数在定义区间上符号变化规律，确定极值取法：当时，，函数无极值点．当时，一个零点，导函数在其左右符号变化，先增后减，所以有极大值，无极小值（3）先化简为，转化为关于函数关系式：，研究函数，其中，得，因此，解不等式得试题解析：（1）当时，，则，所以切点为，又，则切线斜率，故切线方程为，即．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2），则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分当时，∵，∴．∴在上是递增函数，函数无极值点．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当时，，令得，∴当时，；当时，，因此在上是增函数，在上是减函数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴时，有极大值，综上，当时，函数无极值；当时，函数有极大值，无极小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）证明：当时，，由，即，从而，令，则由得：，可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴，∴，∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分【考点】导数几何意义，利用导数求函数极值，利用导数证不等式【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.21．过椭圆：上一点向轴作垂线，垂足为右焦点，、分别为椭圆的左顶点和上顶点，且，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动直线与椭圆交于、两点，且以为直径的圆恒过坐标原点.问是否存在一个定圆与动直线总相切.若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在【解析】试题分析：（1）由得，解得，，，结合，即可求椭圆的方程；（2）先求得直线的斜率不存在及斜率为零时圆的方程，由此可得两圆所过公共点为原点，当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为代入椭圆方程消掉得的二次方程，设，由韦达定理、向量数量积可得的表达式，再根据线圆相切可得的关系式，代入上述表达式可求得，由此可得结论.试题解析：（1）由题意得，所以，.由得，解得，，由，得，，椭圆的方程为.（2）假设存在这样的圆.设，.由已知，以为直径的圆恒过原点，即，所以.当直线垂直于轴时，，，所以，又，解得，不妨设，或，，即直线的方程为或，此时原点到直线的距离为.当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，解消去得方程：，因为直线与椭圆交于，两点，所以方程的判别式，即，且，.由，得，所以，整理得（满足）.所以原点到直线的距离.综上所述，原点到直线的距离为定值，即存在定圆总与直线相切.【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题以及存在性上问题，属于难题.存在性问题解题思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.①当条件和结论不唯一时要分类讨论.