必修五同步讲义教师版

第一章、解三角 正弦定 知识要 要点一：正弦定理的定 要点二：正弦定理与外接 要点三：正弦定理的证 能力拓 拓展一：已知三角形的两角与一边，解三角 拓展二：已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角 试题分 分类一：解三角形之求 分类二：解三角形之求 分类三：正弦定理求三角形解的个 分类四：正弦定理的变 余弦定 知识要 要点一：余弦定理的定 要点二：余弦定理的证 要点三：已知三边求 要点四：已知两边一角解三角 能力拓 拓展一：判断三角形形 拓展二：利用余弦定理求边范 试题分 分类一：已知三边求角、已知两边（三边关系）和一角求解第三 分类二：判断三角形形 分类三：综合应 解三角形应用问 知识要 要点一：正弦定理的应用问 要点二：余弦定理的应用问 要点三：三角形的面积能力拓 拓展一：利用正余弦定理证明三角形的形 拓展二：利用正余弦定理判断三角形的形 拓展三：正余弦定理与向量的综合应 试题分 分类一：利用正余弦定理判断三角形的形 分类二：利用正余弦定理证明三角恒等 分类三：利用正余弦定理解决三角形的面积问 解三角形综合应 知识要 要点一：正余弦定理的混合应 要点二：实际应用问 能力拓 拓展一：正余弦定理与向量的综合应 拓展二：正余弦定理的综合应 试题分 分类一：利用正余弦定理求解三角 分类二：有关测量距离的实际应用问 分类三：有关测量高度的实际应用问 分类四：有关测量角度的实际应用问 第二章、数 数 知识要 要点一：数 要点二：数列的递推及前n项 能力拓 拓展一 拓展二 试题分 分类一：求数列的通项等差数 知识要 要点一 要点二 能力拓 拓展一 拓展二 试题分 分类一：等差数列概念和通项分类二:等差数列前N项 等比数 知识要 要点一：等比数列的定 要点二：等比中 要点三：等比数列的通项要点四：等比数列的前n项和要点五：等比数列的性 能力拓 拓展一：等比数列中的函数关 拓展二：等比数列前n项和的性 试题分 分类一：等比数列定义及的考 分类二：等比数列性 数列综 知识要 要点一：等差等比数列的综合应 要点二：数列应用问 能力拓 拓展一：通项的求 拓展二：常见数列求和的方 试题分 分类一：等差数列等比数列综合及实际问 分类二：数列通项及求 第三章、不等 不等关系与不等 知识要 要点一：不等式关系与不等 要点二：不等式的性 能力拓 拓展一：不等式和不等关 拓展二：不等式性 试题分 分类一：不等式关系和不等 分类二：不等式的性 均值不等 知识要 要点一：均值不等 能力拓 拓展一：均值不等 试题分 分类一：均值不等 一元二次不等 知识要 要点一：一元二次不等式的解 要点二：一元二次不等式解法的应 能力拓 拓展一：不含参的一元二次不等 拓展二：含参的一元二次不等 拓展三：恒成立问 试题分 分类一：分式不等 分类二：实际问 不等式实际应 知识要 要点一：一元二次不等式及其解 要点二：基本不等 能力拓 拓展一：均值不等式的应 试题分 分类一：均值不等式的应 线性规 知识要 要点一：不等式组与平面区 要点二：实际应 能力拓 拓展一：截距类问 拓展二：面积类问 拓展三：斜率类问 拓展四：距离类问 拓展五：含参类问 试题分 分类一：线性目标函数 分类二：非线性目标函数 知 能要 拓知识要 sin sin sin【例1abc分别是

ABC的三个内角所对的边，若a1，b AC2B则sinA 112【练习1】在△ABC中，a1，b ，A30，则sinB 332【例2】在△ABC中，若b5，B，tanA2，则sinA ，a 22 2】在△ABC中，若Bπb

2a，则C 2Rsin sin sin1】在△ABC中，已知a10B75C60，试求c及△ABCR【答案 ABC180，A180756045，由正弦定理，aacsin sin=2R，ca·sinC=56，∴asin102，R=5

sin

sin

sin

k，k为 )(R为△ABC外接圆半径A． D．12【答案】 ABC为锐角三角形，边AB上的高为CD，求证 sin sin sin.sin sin sincbacsin .sin sin sincbacsin sinb；sin sinba所以bsinAasinB， 证 sin sin sin.sin sin sincbacsin .sin sin sincbacsin sinb；sin sinba所以bsinAasinB，能力拓已知在△ABCc10A45C30，求abBcsin【答案】B180(AC)105，由正弦定理得a 102，再由正弦定理sin a4,b5,A30，有一a5,b4A60a 3,b 2,B120a 3,b 6,A60且abDabsinA满足A=45,c=6,a=2的ABC的个数记为m，则am的值为 D．不确【答案】AcsinAam2，故选已知ABCBDBABBCAD【答案】过点ABC的平行线与BD的延长线交于点E，易得AEDAED CBDAEBCADDCBDB的平分线，故AEDABD，故ABE为等腰三角形，AEAB，所以AB:BCADDC.在ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 b20,A45,C【答案】A【答案】AA45,C80B55，ABC为锐角三角形，有唯一解；B且由正弦定理知sinB=16sin72解；D中，c>a，A＝120°，无解，故选试题分在ABCA30C105a10，求b在ABC中，C1050，B450，c5，则b的值为 336 B. D． 336A750B450c32，求abA300B1200b12，求ac在ABC中，已知bc8，B30，C45，则b ，c 在ABC中，若A2B，则a等于 2bsin B.2bcos C.2bsin D.2bcos在ABC中，AB=3，A=45，C75，则BC= 233 D．23已知ABC中，A，B，C的对边分别为a,b,c.若ac 6 2且A=75，则b等 32 D.323.3.a3 3，b2sinB102asinB180AC45，由正弦定理bA4.a43c43（可以先判断是等腰三角形再解5.b8(21)，c1686.sin sin36 4BC33.故选~ sin sin ∵AB=3， ，C758.8.sinAsin75sin(3045)sin30cos45＋sin45cos302 4siB asibac 6 2可知，C75B30，sinB1.由正弦定理得2已知ABC中，a4，b43，A30，则B等于 B．30或 C． D．60或在ABC中，若3a2bsinA，则B等于 A. B. C.30或 D.60或2在ABC中，已知 ，A=30，B60求C和c2在ABC中，若sinAsinB，则a与b的大小关系为 a B.a C.a D.a、b2在ABC中，已知a3，b4，sinB ，则sinA 31.2.

4

6

D．23.3.C180AB90，cbsinsinC634.5. a7,b14,A30，有两 a30,b25,A150,有一C.a6,b9,A45，有两 b9,c10,A60，无在ABCacos

cos

＝

，试判断ABC（1）a5b4A120B（2）a5b4A90B（3）a106b203A45B（4）a202b203A45B（5）a4b 3在ABC中，已知b6，c10，B30，则解此三角形的结果是 A.无 在ABC中，若tanAa2，则ABC的形状是 tan a8，b16，A30b18，c20，B60a15，b2，A90a30，b25，A150已知ABCb3,c33,B30，求a由于A为锐角，而106203 2，即absinA，因此仅有一解B902＝sinB＝sinCtanAtanBtanCAB,C(0,，所ABC，从cos cosasin2.1.（4）由于A为锐角，而203202203 2106，即babsinA，因此2103sin605，即absinABCCD.∴C60或C120.当C60时，A180BC9.32sinC6，bsin sinc④7.csinB 3cbcsinBABC2a 6，解得：a6；当C 时，A180BC3.sin sin ab6，解得3.所以6或sinsin在ABCA60a3，

absinAsinBsin

8

2

263 33在ABCA,B,Ca,b,c,若sinAsinBsinC5783abc在ABC中，A:B:C4:1:1，则a:b:c 4 B．2 C．2 D．3在ABC中，若sinA:sinB:sinC4:5:6且abc15则a c 已知ABC中，a:b:c＝1:3:2，则A:B:C等于 1:2: B．2:3 C．1:3: D．3:1:b在ABC中，设cosBcosCcosA，求cosA 在ABCcos2Acos2B1 b2如图所示，在等边三角形中，ABa,O为三角形的中心，过O

OM

ONtantanAtan(BC)tanBtanC5tan1tanBtan 6tan2tan2A11cosA36sinsin2asin2B 9.由于O为正三角形ABC的中心，∴AO 3a3a2 12sin2 12sin2a sin2 sin2B，，666，在AON中，由正弦定理得：ON336sin( ∴OM6sin[( ，sin在AOM中，由正弦定理得： 336， MAONAO，设MOA，则OM ON4 11所以，当or2时sin23 OM ON433113 ，∴sin1，故当 266OM ON 112[sin2()sin2()]12(1sin2)，知识要b2a2c22accosBc2a2b22bacosC或b2a2cosC c2a2cosB b2c2cosA

则A(0,0,C(bcosA,bsinA,B(c由两点间的距离得BC2(bcosAc)2(bsinA0)2同理可证b2a2c22cacosc2a2b22baCDbsinARtBCD中，BC2=CD2+BD2,即a2b2sin2Acbcos所以a2b2c22bccos BC2CD2同理可证b2a2c22cacosBc2a2b22ba延长线，垂足为D，ADbcosACDbsinABDADABbcosAcRtBCD,BC2CD2BD2，a2b2sin2A(bcosAc)2所以a2b2c22bccosb2a2c22cacosBc2a2b22ba【答案】【答案】B21】已知a20,b29,c21B【答案】【答案】B22】在ABC中，若a【答案】

31,b 31,c ,则ABC2】在ABC中，已知2a2c2(2bc)2则A【答案】1】在ABC中，若b1c【答案】a

3C2a31】已知b8c3A60，求a【答案】a2】在ABCA120b3c5.552【练习2】在ABC中，a15，b10,A60，5523】已知ABCABCa,bcacA75，求b【练习4】在ABC中，AB3,BC13,AC4则边AC上的高为 3【练习5】在ABC中，b4,c22,A45,那么a的长等于 3

6 236】已知a能力拓

3,b1,B30.则角A等于 【例1】ABCAB5,BC6.AC8则判断ABC1】已知a3,b4,c5x的取值范围为（5，131】设2a1,a2a1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围【答案】a的取值范围是2a8试题分在ABC中，已知a7,b3.c5，求最大角在ABC中，已知(bccaab456，求ABC的最大内角1在ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边，且cosA ,若a4,bc6,4bc，求bc的值若ABC的内角ABC所对的边abc满足(ab)2c24，且C60在ABC中，已知a2b2c2bc，则角A 2.设bc4k2.设bc4k ac5k ab (k0)，则abc7.5k，解a3.5k 23.因为cosAb2c2 4a4bc6所以bc又因为bc，所以b2,c4.ABC中，已知(abc)(abc3ab,且2cosAsinBsinC，确定ABC的形状ABCAB5,BC6,AC8,则ABC在ABC中，若abc且c2a2b2则ABC在ABCB60b2ac,,即c2a2c2b2,∴abb2c2a=c,b2c2acosAc 又∵sin2sin1.由正弦定理，得sinC=c2cosAsinBsinCcosAsi (abc)(abc3ab4b2c23b2bc,bca因此ABC为等边三角形2.3.4.在ABC中，已知b2bc2c20,a 6,cosA

7,求ABC8在ABC中，若ABCS1(a2b2c2，则C2在ABCBC8,AC5,12，则cos2C3在ABC中，C2A,ac10,cosA ,求b4ABC的内角ABCabcabc满足b2ac，且c2a,cos在ABCsin2Asin2Bsin2CsinBsinCA在ABCab2,bc2,

3243.ABC的三内角A,B,C所对边长分别为a,b,c设向量p(a c,b，q(ba,ca).若q//p43.若ABC的内角ABC所对的边abc满足(ab)2c24,C60则ab在ABCAB7,BC5,AC6,ABBCcosA7，∴sinA 15，∴SABC1bcsinA 152. a2c2b22bccosAb2c27bc6,b2c联立b4c41.b2bc2c20,(b)2b20解得b2,b2cacac10,a4,c6.a2c2b22bccosA,b29b200 sin sin 4.由正弦定理，得c=sinC,C2Ac=sin2A=2cosA=2×3＝3b4或b5.当b4a4,BA,又C2A,且ABCA,这与已知cosA 5.46.(0,.由正弦定理得：a2b2c2bcbcb2c2a23cosAb2c2a ，∴0A 7.8.∵a2b,b2c，∴abc，∴最大角为A，sinA 3，若A为锐角，2A60CBACBA180A为钝角.cosA122222x(x1x323,5,3,5,7310.3知识要 sin

sin

sin

2R．R为外接圆半径∴BC30ABCsin sin∴BC30ABCsin sin且且sinABC30AC30105即船与灯塔间的距离为即船与灯塔间的距离为302【练习1】如图所示，D，C，B在同一地平面的同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高度AB等于( A．10 B．53C．5(3－1) D．5(3＋1)Rt△ABDRt△ABD中，AB＝AD·sin30＝5(sin b2c2a2a2b2c22bccos

cosA

a2c2b2c22 b2abcosC.bacc22 b2abcosC. cosCa2b2c 边长是2×【答案】【例题2】已知三角形的两边分别为4和5，它们边长是2×【答案】 A．10 B．103C．105 D．107∴AC＝10∴AC＝103S300ｋｍA处有一台风中心形成，并以每30ｋｍ30°270ｋｍ以内的地区将受到台风的影响问：（2）S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理【答案】设台风中心经过t小时到达B点，由题意，SAB903060 在△SABSA300,AB30tSABSB2SB2SA2AB22SAABSAB3002(30t)2-230030tcos|SB| SB2化简整理得t210t19解之得56t5 所以从现在起，经过56小时S岛开始受到影响，5 (565626小答：S岛受到台风影响，从现在起，经过(56小时，台风26 c S＝1ah＝1bh＝1ch(h、h、ha c

＝1absinC＝1bcsinA＝1 △a2sinBsin b2sinCsin c2sinAsin△S△＝2sin(BC)＝2sin(CA)＝2sin(AB)S△＝2R2sinAsinBsinC．(R为外接圆半径

S=s(sa)(sb)(sc)；s (abc)；(

s

(abc) B.33

D．21＝·AC·sinA＝sin60°＝22ABCcosA＝5∴sinA＝52∴S2ABCcosA＝5∴sinA＝52∴S△ABC＝2AB·AC·sin115×2×5＝2 23【练习5】已知△ABC的面积为2，且b＝2，c＝3，则 D．A＝60°或【答案】选 和 B．4和C．6和 D．5和

∴sinA＝2 ∴13S＝2bcsinA＝2，22×3sin

sinsin1＝又43解得a＝7，b＝5.能力拓cos. sin 中，已知

sinB－sin∴∴b2a2abasinB－sin a sin ＝2ab＝2c2由①、②得由①、②得b2a2c2，即b2a2c2∴该三角形为以B在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos →求△ABC若b＋c＝6，求a 又由A→·A＝3，得bccos43 1bcsinb＋c＝6，a＝2由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosa＝2试题分在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是( D．等腰三角 在△ABC中 1.【答案】选

3.由余弦定理知cos，∴c＋b＝a 又∵b＝asinC，∴b＝a·a2.法一：∵72＞52＋32，即法二：∵cosb2＝a2＋c2－2accos∴(a＋c)2＝a2＋c2∴(a＋c)2＝a2＋c2－2accos2整理得整理得sin(A＋30°)＝1，a b法二A)＝bcos(A)＝bcos(5. sinBDsinBDAB A＝sinθ，即AB＝sinsin在△ACD中，CD sin，2因为左边＝sinB＝sinBcoscossinAcoscos＝1.由cos 所以 B＝＋c2－. ＝ ..tancosA·sinB＝cosA·sinB＝tanB＝＝cos cos 在△ABC中，a＝32，cos ＝43，则 ＝3，BC )． 在△ABCtanB＝3，cos

AC＝36，求△ABC33面积等于面积等于3【答案】2cos＝3⇒sinC＝3；S△ABC＝2absin12112·b·3＝43⇒b＝223×4sinCsinC＝tanB＝3B＝60°，∴sinB＝2，cos1sinC＝＝2336×2bsin33sinA＝62＋81＝ sinA＝62＋81＝ 2 3 2＝2×3＋2×3＝6＋3

知识要 sin

sin

sin

2R(R为外接圆半径 b2c2a2a2b2c22bccos cosA a2c2b2c22 b2abcosC.bacc22 b2abcosC. cosCa2b2

7D． 7 ∴c＝得sinAsinAsin ①asinBbsin②abcosCccos③a2b2c22ab④bcsin B．2C．3 D．4对于②由正弦定理知sinAsinBcosCsinCcosBsin(BC)，显然成立．对于④由正弦sinBsinCsinAsinAsinC2sinAsinC，则不一定【练2】在△ABCsinA∶sinB＝2∶1c2b2

【解】∵sin【解】∵sinA∶sinB＝a∶b＝2∶1a＝cosb2＋2＝2bc－ 2＝22∴A＝45°，∴sinA＝2.∴sinsinA＝22∵sinAsinB，∴AB，∴B∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋即角A，B，C的度数分别为

AD＝BD，求△ABC在△CAD中，由余弦定理可知cos∠CAD＝2×5－x×4＝32.解得x＝1. ADsin，∴sin 1－32＝831＝137＝154ABC的面积为1542】MS15°S2030°30N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()（注：正弦定理）A．20(6＋2)海里/小时B．20(6－2)海里/小时C．20(6＋3)海里/小时D．20(6－3)海里/小时由正弦定理得MN＝ 6＋4∴6＋4∴MN＝MSsin sinsin6－v货＝20(6－2)海里/ （A．10 B．103 C．105 D．107解析由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC.∠ABC＝120°，∴AC2＝102＋202－2×10×20×cos120°＝700.∴AC＝10 2BC＝CDsin30°＝sin 在△ACDBC＝CDsin30°＝sin 在△ACD∴AC＝CD＝2AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝＋－ 6 362＝3 ，∴AB＝4sin sin由正弦定理得BC＝CD能力拓a＝23，c＝2，求△ABCS【解】∵sinb c＝sinC，∴bc∵sinb c＝sinC，∴bc＋2bccos(2)(2)在△ABC中，∵a2＝b2＋c2－2bccos3∴△ABCS＝2bcsinA＝1＝31∴cos 6cos tan tan ，求tanA＋tan故故tanC＋tantan tan＝cosCsinAsinB.cosCsinAsin cosCsinAsin＝sinC·sin cosCsin sintan tan( 试题分在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A等于( 在△ABCsinA∶sinB＝2∶1，c2＝b22bcA，B，C的度数分别1sinCa＝2,2sinA＝sinCbc.1.1.【答案】 由sinC＝23sinB，根据正弦定理，得c＝23b， 2＝2 4 3＝ 由余弦定理，得cos2.∵sinA∶sinB2.∵sinA∶sinB＝a∶b＝2∶1，∴a＝sin ∴A＝45°，∴sinA＝2.∴sinB＝2∵sinA>sin＝2b2＋b2＋2bc－ 2＝根据余弦定理，cos 14(2)a＝2,2sinA＝sinC 14c2＝a2＋b2－2abcosCb2±解得b＝6或2b＝ b＝2a cAB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，即142＝x2＋102－20xcos60°，∴BC＝16sinsin， ∴BC＝16sinsin， 海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10n 则B，C间的距离是 距离.(精确到0.1 （注：正弦定理ABCakm在观察站C的北偏东20°，灯B在观察站C的南偏东40°，则灯塔与灯塔B的距离 A．aB.3aC.2aD．2a45°和30°，而且两小船与台底部连线成30°角，则两小船相（么方向航行才能用2小时追上敌舰？（注：正余弦定理）辆汽车沿公路向M站行驶．公路的是M站的北偏东40°．开始时，汽车到A的距31千米，汽车20千米A的距10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？（注：正余弦定理）1.【答案】51.【答案】5 ，5ABsin 10sin ＝sinC＝sin180°－60°－75°，sin sin在△ABC中，由正弦定理可得BCABABACsinACB55sinACB55sinsinsin sin(18051 sin55sin75【答案】∴AB＝AC2＋∴AB＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 【答案】30 台，A，B为两小船，由题意CD＝30∠ACB＝30Rt△ACD中，AC＝30tan60°＝303(m)BC 台，A，B为两小船，由题意CD＝30×30cos22BC sin sinsin sin ,即sinBACsin325∴ABC5 5cosCAC2BC2 2ACcosCAC2BC2 2AC,则,则sin2C1cos2C432sinC123,sin∠MAC=sin（120°-C）=sin120°cosC-cos120°sinC3MCACsinMCACsinMAC31sin335MBMC- 2有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的30°，则坡底要延长（（注：正弦定理）A．5 B．10 C．102 D．103A点离地面的高度AB等于 A．10 B．53C．5( D．5( asinαsin A. B.asinαcos acosαsinC. D.如图,一辆汽车在一条水平的公向正东行驶,的方向上,5kmB处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD.（注：正弦定理ABCDE在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角αβ,BD间的距离为A,测角仪的高度为B,求气球的高度BB′＝sin30° ABsin10×＝102102m2【答案】sinRt△ABD中，AB＝AD·sin30＝5( asinsin ＝sinβ－αasinαsinsin sinAB,BCABsinA5sin15,≈7.452sin 故山的高度约为1047米 sin(AEasin .Rt△AEG中，EG=AEsinsin(AEasin .Rt△AEG中，EG=AEsinαasinsin.sin(sin(asinsinsin(basinsinsin(bA38B处A在船的南偏30°，航行30海里C处C处测得小岛的？（注：正弦定理）某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘船，赶上该船？（注：余弦定理）如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5n后到达海岛B,然后从B此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01n)（注：正余弦定理在△ABC中 sin sin sin ACAC 60cos15156152.∴ABC30sin（156（156+152）· =15（3+1）≈40.98＞38（海里222如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追 °,． 9BC10x在△ABC中，由余弦定理，coscosCABAC2AB2BC2814412252AC29 AC AB2BC22ABBCcosABC 67.5254.022sinsinCABBCsinABC54.0sin137≈0.325.知 能要 拓数知识要

f

1,3,7,15,

248162n1；(2)an=-

3,1,3,1,3, 3 522nn【答案】an要点二：数列的递推及前n项数列的递 ：表示任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系 前n项和：Sna1a2an及数列的通项an与前n项和Sn的关系：Saaaa (n

(n2】已知数列a的前nSS2a1)n,n1写出数列a a1,a2,【答案【答案】由a1S12a11,得a1a1a2S22a21)2,得a2a1a2a3S32a31)3,得a32】已知数列an的前nSnSn24n,n1，求数列a【答案】【答案】an2n能力拓已｛an｝是递增数列且对任意n∈N*都有an=n2+λn恒成立则实数λ的取值范围是()A.(－7,+∞) 2 解析：由｛an｝为递增数列 解析：由｛an｝为递增数列得an1－an=2n+1+λ＞0恒成立,即λ＞－2n－1在 )．A．一条直线 B．一条抛物线 【答案】∵an＝3n－2，n∈N＋，∴数列{an}的图像是一群孤立的点 【答案】这4个 为an＝3n－1.答案A44 }的前n项和Sn=n2－2n+3，则此数列的前3项依次为( B.2,1,3 已知数列{a}a>0

1∈N)，则数列{a} n

，an 已知数列{a}的通 是 与a的大小关n n

＋1＝[bn＋1＋1]bn＋1>0.∴an＋1－an>0an＋1>an.答案是(1)求数列{an}的通项；【答案】(1)解【答案】(1)解an＋1＝(2)证∵an>0，∴an＝∴an2＋2nan－1＝0an＝－n±＝∵an>0，∴an＋1<an，∴数列{an}是递减数试题分 【【答案】解析由题意知数列的通 是a＝2n，∴a＝2×10＝20.故选n (2)

3 )，15，24 182an＝n＋12－123an＝n1131,3,6,10x,21,28，…中，由给出的数之间的关系可知x的值是 ∴x＝10＋5＝15答案 答案n2－n＋1 可以为知识要点②定义法：对于数列an，若an1and(常数)，则数列an是等差数③等差中项：对于数列an，若2an1anan2，则数列an是等差④如果等差数列an的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为ana1(n1)d该式整理后是关于n4等差数列的前n项和⑤

n(a1an)

⑥

n(n1)2对于2整理后是关于n的没有常数项的二次函【例1】数列{an}中，a1=p,a2=q,an+2+an=2an+1，则差数列若an=bn,则n的值为（） 2】在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6a1)．A．－9 【练习2】已知等差数列{an}的通项为an＝3－2n，则它的公差为 3】{an}a1＝1d＝3的等差数列，an＝2011n

)．A．668 ⑥如果aAbA叫做a与bAab或2Aa2⑦等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，mn，公差为d，则有anamn对于等差数列an，若nmpq，则anamap也就a1ana2an1a3an2⑨若数列anSnn项的和，kN*Sk，Sa1a2a3akak1a2ka2k1

Sk，S

S

S2k

S3knSnS奇S nd，其中d为公差偶

a， n1a， n

SSa中Sa偶

n1n中 SS偶n（其中a是等差数列的中间一项中S奇S S奇S⑾若等差数列a的前2n1项的和为 ，等差数列b的前2n1项的和为S nan

SS1【例1】若数列{an}为等差数列，公差

S100=145，则a2+a4……+a100的值为（2

2

（D） 【例2】等差数列｛｝中，a1＞0，S5＝S11，则第一个使an＜0的项是 【练习2】已知等差数列{an}满足a1+a2+……+a99=0,则 【练习3】已知数列{an}的通项为an=(-1)n+1(4n-3),则它的前100项之和为（ （D）-【练习4】在数列 }中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点 ）在直线 =0上，则an－an1=3，由定义知{an}是以3首项，以3为公差的等差数列，故an=3n能力拓展 （A） （B）1(m2

3、在等差数列{an}中，Sm=Sn,则Sm+n的值为

1(SmSn2

1∈N)，且f(2)＝2，则f(2 4－244－24 1 1n∈N)．∴{f(n)} 【答案】设an＝a1＋(n－1)【答案】设an＝a1＋(n－1)d，所以＝、、、、、，∴n－1＝、、、、、，即 、、、、【答案】等差数列首项为a1=2【答案】等差数列首项为a1=2，公差为((Ⅰ)依题意,有S1212a12d 13a13131d02a111d12a6d dS1,S2,…,S12,中哪一个值最大,并说明a3=12,得，∴ d33d247d(3)将(3)式分别代入(1),(2)式,(Ⅱ)d＜0则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值由于 S13=13a7＜0，即a6+a7＞0,由此得a6＞－a7＞0因为a6＞0,a7＜0,S1,S2,…,S12S6n=在等差数列{an}中，S3=S8,S2=Sn,则【答案】-80S50- 【答案】-80S50- a)10(aa)=30-50=- 2 a=∴a1+a80=-∴S80=80(a1a80)80若关xx2-x+a=0x2-x+b=0(ab)的四个根可以组成首项为4a+b的值为 8

（B）

（C）

9(a-2d)2+(a-d)2+a2+(a+d)2+(a+2d)2=859且(a-2d)a-d)aa+d)a+2da2+2d2=179∴a=1且d=23当 时，这5个数分别是－、、1、、2 d=－5个数分别是、、1、2 1 13等差数列｛a｝的前n

S5,S=15,求数列｛Sn｝n

n【答案】解：设数列｛an｝的公差为d，首项为a1，由已知得5a110d=-5,10a145d=15a1=-3∴Sn n(nn(nn(-3)+ 1n27222∴ n ∵∵7 7 n n 2 n ∴｛∴｛Sn｝S1＝－3n124411n213 ∴Tn=n×(-3)+n(n 第2n项，…；按原来的顺序排成新数列{bn}，求数列{bn}的通项．…即数列通 n＋2试题分1已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于 在等差数列{an}中，a3，a9是方程2x2－x－7＝0的两根，则a6等于 1177已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则 第37项为 在等差数列{an}a2＋a3＋a23＋a24＝48已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差4a13＝48，∴a13＝12.(2(2a2＋a3＋a4＋a5＝34或 2a·a a＋a＝17∴d＝5－23＝3d＝5－2 3等差数列的前三项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项为( ＋a97等 1}是等差}是等差}∵等差数列

n 明如下 n n所以数列{b}b＝a2－a2＝－2a－1为首项，－2 列．12数列{an}a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，λ(2)数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项；若不可能，说明理由解(1)an＋1＝(n2＋n－λ)ana1＝1.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)数列{an}不可能为等差由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得 故 分类二:N在数列{a}中，a S＝an2＋bn，n∈N，其中a、b为常数，则 －2， Sn－1＝a(n－1)2＋b(n－1)(n≥2)，②55551在等差数列{an}a7a8a930已知1，1，

成等差数列，试证：a，b，c

cb＋c， 1，1成等差数列， 112 等差数列前n项和为Sn,若S130,S120,则此数列中绝对值最小的项为()A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项已知数列an

2n210n3，它的最小值是 A.第一 B.第二 C.第三 D.第二项或第三等差数列{a},{b}的前nS,TSn7n

求 T Tn

4n 443数．(1)求数列{an}的通项，并求a2(2)若bn＝a2n，求数列{bn}的通项知识要an1q(q0)③隐含条件：任一项an0且q0；an0”是数列{an}【例1】已知数列{a}的首项为a2, 2an,n1,2,3,a a证明：数列11}是等比数列

n【答案】【答案】由 a1an1111na 2nn 11(11又a2,111a21n 13∴数列{11}11的等比数列221】已知数列{an}中a11,an2an130(n2判断数列{an1}【答案】{【答案】{an1}是等比∵a11,an2an130(n∴an12(an11)∴数列{an1}是首项为2，公比为-2的等比2】设an是公比为qq1，令bnan1n1,

，若数列【答案】由题知【答案】由题知an有连续的四项在集合54,24,18,36,81中，则必有-54，- 为相22 q1q2549q36q如果三个数a、G、b成等比数列，那么称数G为a与b的等比中项.其中G ①只有当a与b同号即ab0时，a与b才有等比中项，且a与b中项.当a与b异号或有一个为零即ab0a与ba②任意两个实数a与b都有等差中项，且当a与b确定时，等差中项c 唯一.但任2两个实数a与b不一定有等比中项，且当a与b③当ab0a、G、b成等比数列G

G2abGabG2ab是a、G、ba2161 a2161 4445 3aa a64【练习2设等差数列{an}的公差d不为0a1＝9d.若ak是a1与a2k的等比中项则k等于 1a2＝a·a 1a2＝a·a首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通 为aaa (nN ，aq1

anq可得a q(n2)

∴aaqa aaq(aq)qaq2aq31 aaq(aq2)qaq3aq41 a q aqn1(n ∴归纳得出：ana1 (nN*，a1qa2qa3qa4q

q

q把以上n1个等式的左边与右边分别相乘（），并化简得：

qn1，即ana1qn1(n (nN*，a1q0)(3) aaa qa q2 a a (nN*，a1q0)①通项由首项a1和公比q完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数 中共涉及a1、n、q、an四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求1】等比数列{an}a1a964,a3a720,a11162a162aaaqaq 98aaqa法一：设此数列公比为q，则 ∴a10由(1)得：(a1q4)264,∴a1q4 205 42q45q220,解得q22q22q22a12a11a1q1064法二：a1a9a3a764,又a3a720 12q21a32aaq10 aax220x640或aa3 a3∴∵∵a aa 1或a11642a3【练习1】已知等比数列{an}，若a1a2a37a1a2a38，求anan 或an SS(qna1q aan1 1(q

an根据等比性质，有a2a3anSna1q(1q)Saaa1a2

Sn

aa a(1qnq∴当q1Snq1

或Sn11 等比数列{an}的前n项和Sna1a2a3 an①当q1时，ana1，Sna1a2a3 anna1②当q1时，由ana1qn1Saaqaq2 aqn2a qSaqaq2aq3 aqn1a (1q)Saaqnaaqa（1 aa a(1qnq∴Snq1

或Sn11 即S

(qa(1

aa (q 1 1②在求等比数列前n项和时，要注意区分q1q【例1】设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q=1，则有1q1q1q，因a1≠0，得S3+S6≠2S9，显然q=1与题 ，故整整理q3(2q6-q3--q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-因q3≠1，故q ，所以q31232q≠01q3或q 311q3或q 31q13232∵a27a39 ∴S511121或S 3591－15 1—1932】在等比数列{an}a1an66a2an1128Sn126，求n和q【答案】【答案】q12n62①若mnpqN，且mnpq,则amanapaq特别地，当mn2p时aaa2 ②下标成等差数列且公差为m的项ak,akm,ak2m,…组成的新数列仍为等比数列，公比qm③若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则a2n、a2n1、kan（k是常数且k0 1、{am}mNm是常数)、ab

n{n

④连续k项和（不为零）仍是等比数列.SkS2kSkS3kS2k，…1】等比数列{an}中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10【答案】∵{【答案】∵{an}是等比数列a1a10a2a9a3a8a4a7a5a6log3a1log3a2 a10)log3(a5a6)5log395 ，①所以an1an2②②q216．又因为anan116n0，所以q

和 。法一：设这个法一：设这个等比数列为{an}，其公比为q632163 41839 qaq2qq ∴aa4312531∵a8，a27aq48q4，∴q481，q2法二：设这个等比数列为{a}，公比为q，则na ，a 8135233 2aaaaaa2163 3 由题意aaaa282736，故a6能力拓acn等比数列{a}aaqn1a1qn，若设cacn 当q1anc，等比数列{an}yc上均匀排当q0且q1时，等比数列{a}的通 acqn是关于n的指数型函数； ya1qx（q0且q1）上的一些孤立的点q①当q1a10时，等比数列{an}是递增数列②当q1a10时，等比数列{an}是递减数列③当0q1a10时，等比数列{an}④当0q1a10时，等比数列{an}当q0时，等比数列{an}要点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列.1．等比数列{an}是递减数列，其前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8·a15等于( 【答案】 C.a8·a15＝a10·a13＝a11a12＝±2，由{an}为递减数列，舍去且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1，则( ＋1>bn＋11拓展二：等比数列前n项和的性 23法二：S2n2Snq641③44②÷①得1qn5，即qn 1qa 1nq1∴S3n1q )1法三：∵{an}为等比数列，∴SnS2nSnS3nS2n也成等比数列∴ S)S S2n ∴S3n S SS2nn(606063等比数列{an}中，公比q=2,S4=1,则 7已知等比数列{an}的前nSn,且S10=10,S20=40,等比数列{an}中，若a1+a2=324,a3+a4=36,则 ：b1,b2,b3成等比数列，∴b3=2= b 等比数列{an}a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9∵{an}是等比数列 试题分等比数列{an}中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为( A．3×10－5 B．3×29 D．3×2－5或3×29 a1

a1

a31

a11

1

1

1

1 设数列{an}是公比为a(a≠1)，首项为b的等比数列，Sn是前n项和，则点(Sn，Sn＋1)()A．在直线y＝ax－b上 B．在直线y＝bx＋a上 D．在直线y＝ax＋b A.5

B.6

.7．在等比数列{a}中，若a1,a4，则公比q na1a2 an

在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则 ＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，故选(3)求{an(3)求{an}．q2q2∵aa3，a4＝a3q，∴a12 D【解析 12q30.即2q2－5q＋2＝0，∴q 或1q2 aq71 2 D【解析 由于a3a6a9 a3na311 ∴S奇a3a5 2n1a1 ∴S奇a3a5 2n1a1 5nS a2a4 5，故选6aaa aaa 1(1q3)1 1∴ 1(1q15)137．2，2n112【解析】a1q34，解得q2aa42 n1(12n12n1211【解析】am＝a1·a2·a3·a4·a5＝a15·q1＋2＋3＋4 n 222aa，a1nn-=2,a=12n 24n1=4 n 1＝－4n —故{a}34 1∴an —n—－②＋nn nn 12.解：(1)因为a＝S2a＝S＋2，所以a＝2，S＝2.由2a＝S＋2知2a＋＝S＋ (2)证明：由题设和①式知a －2a＝(S＋2n＋1)－ 由(2an＝(an－2an－1)＋2(an－1－2an－2)＋…＋2(a2－2a1)＋2a1＝(n＋1)·2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S63，则S9 B.3

C.3

33 C．150或 D．400或5已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－1，则实数t的值为 5 2222A.7(8 设2222A.7(8

B【解析】设公比为【解析】设公比为q 1q3S61q3q233 1q3 12 1971 115a1·由S 1－q5性质可得(S30－S20)2＝(S20－S10)(S40－S30)，求得S40＝150.解析：选解析：选B.S＝n t＝15得 n∴bn＝24－2n，∴{bn}是递减的等差数列，且解析：选B.an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0对任意正整数n都成立，而a1<0，只能8. 【解析】∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n列 知识要(1求{an}的公比(2a1－a3＝3【答案】(1)2S3＝S1＋S2，a1≠02q2＋q＝0.q≠0，从而q12(2)由已知可得aa(1)23 4[1(1)n从而Sn＝ 1(12

8[13

n]2 【答案】∵10Sa25a6 ∴10aa25a6，a1=2或又 a2 6(n2) 由①-②得10a(a2a2)5(a )，即(a )(an5)∵an+an-1＞0，∴an-an-a1=2a1=2∴a1=2，∴an=5n- 1【例2】为了2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a元定期p2012年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为() C.p[(1＋p) D.p[(1＋p)a2012年所得的本息和为，依此类2011a2012年的本 [1－ 满足Sn＝101an－36，则该厂的年产值的递增率为(精确到万分位)() 能力拓 【答案】【答案】1an2n1;2an2n;3ann2n.【答案】(1)n=1时

3n2n2n

2n3(nn (na∴1（） n3∴a1221(31（） n3∴a1221(3)0=1n≥2时an=Sn-Sn-13)n-13)n-1-11×(3)n- （2）n=1时a1=S1=12 求a1a2；（2）{an}（1）S13(a11)，得a13(a11a12S23(a21)，即a1a23(a21)，得a24111111（2）证明：当n2时，aS 1a1)1 (3(31) ，又2 a1a12 1所以{an}为首项为2，公比为214.（1）在数列{a}中，a ＝a 等于 A．2＋ln C．2＋nln D．1＋n＋ln数列{a}的首项a (n≥2，n∈N*)，则a 【答案】11n【答案】11n已知数列{an}满足2【答案】ann2

1,

2an

，求数列an的通已知数列an满足a11,an2an11(n2)，求数列an的通 【答案】【答案】an2n在数列an中，a12，an14an3n1，求数列an的通 【答案】【答案】an4n1已知数列a满足a1,a2, an1an （1）求证：数列an1an是等比数列（2）求an【答案】【答案】2n 21 设数列a的通项为a2n7(nN*则|a||a|……+|a |a|a1||a2| 【解析】由an0,得n7,取n4,2=(a1a2a3)(a4a5……+a15)(135)(1352设a0a2a23a3,…,nan,…的前nS…………na1时Sa2a23a3na2nn(n当a1时，S123...n ……n则aSa22a33a4naa)Saaa n a(1an1 ∴∴Sn(1a 1求数列1，1，1，， 的前n项的和S12233 n(n anan1n(n n11，∴S111n1 3 1n(n(11)(11)() 11(1 1 n1111 n1nnn已知数列xx3，通x2npnq（nN*pq是常数xx

求数列xnnSn解得解得pq2pq（1）2(16p4q)2pq32p5n Sxx……x(211)(222)……+(22==(2122……+2n)(123==2n12n(n2已知数列{an}的前n项和Sn1591317211)n1(4n3)S15S的值nn∴∴S15[19...(4153)][513...(4143)]8(127(52n方法二：由a1)n1(4n22 [19...(4213)][513...(4223)]11(181)11(585)(4n(4n3)(4n1)4 ∴当nnN*时，a(4n3)(4n1)4 当nnN*时，a∴S151(59)(1317)(2125)...(5357)17429S22(15)(913)(1721)...(8185)11(4)试题分首项为a的数列{an}既是等差数列，又是等比数列，则这个数列的前n项和Sn为( 已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，1a,2a2成等差数列，则a9a10 2 a 2 C．3 D．32 如果数列{an}的前n项和Sn＝1(3n－2n)，那么这个数列 D{

5，[5＋1，

求{an}的公比求数列{an}和{bn}的通 k∈Na－b

1k 10and≠0{anak1，ak2,ak3aknk1=1,2．C【解析】由题意知21a2．C【解析】由题意知21aa2 2或q 2(舍 10 q2(1a aa2)322，故2a7 a7∴q＝2，∴S4＝1－24．解析：选n1(3n－2n)＝3，2—n1—＝(∴an＝Sn－Sn55B.∵5＋1]＝1，{5＋1}＝5＋1－1＝2222∴{222])2＝122}＝5≠2y,x-1(4d)24∴y4d4ydy或d，S4S4121n 8 1nn11 3 2 2即2(2)由已知可得a 3 1 1 2a2－a1＝1－3，…＝2(n－7n＋18)(n∈N12＋∵{bn－2}是等比数列1(2)不存在11n≥4时，bn111n∴b.1—1n∴b2233k2k，1k，=a1+16d，而3ka 2k1,1k依题意11a1a1a因而{ }的公比q=a5=a14d=a12a12nnnnnnak=a1+(kn-1)d,即aknnnn即ak=2d·3n-∴ak=23n3n3nnn=23n3n3nnn1数列{a}的前n项和为S，若a ，则S等 n(n 已知a1的等比数列，S是an项和，且

S1n

ann123 求和S12x3x24x3nxn1（n123 求数列 , ,的前n项和S248 11 132， 2， a－b1n n

，…n项和Sn1求和:111

12

12

(（nN*n求和S21221)231)2nn已知数列{a}中a4,a421222n1(n2，求前n项和 n求12223242，…(1)nn2，…50项之和S50以及前nSn设数列{an}a1＝2，an＋1－an＝3·22n-（Ⅰ)求数列{an}的通项等比数列a的各项均为正数，且2a3a1,a29aan（Ⅰ)求数列an的通

21b（Ⅱ）设bnlog3a1log3a2......log3an,求数列 bn_6_6∵9(a1a2a3)a1a2a3a4a5∴8(a1a2a3)a4a58(aaa)(aaa ∴q2,an∴11……+111……+1 a5 3.（1）x0Sn2nn(n（2）当x1时，S123n x0x1SSn1nxn1(n(1.4.S1234n 1S123