2017届河南省豫北重点高三4月联考数学（理）试题（解析版）

2017届河南省豫北重点高三4月联考数学（理）试题一、选择题1．已知集合，集合，那么（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由,,.2．已知复数（是虚数单位），则的实部和虚部的比值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】,则的实部和虚部的比值为.3．已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】，所以，，故选D.4．“数列是等差数列”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若数列是等差数列，则，反过来，也成立，所以是充分必要条件，故选C.5．若曲线在点处的切线方程为，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题.6．函数的图象向右平移个单位得到的图象，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】,7．“数字黑洞”指从某些整数出发，按某中确定的规则反复运算后，结果会被吸入某个“黑洞”.下图的程序框图就给出了一类“水仙花数黑洞”，表示的各位数字的立方和，若输入的为任意的三位正整数.且是的倍数，例如：，则.执行该程序框图，则输出的结果为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】以为例第一次循环后，第二次循环后，第三次循环后，第四次循环后，第五次循环后，点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.8．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】还原的几何体如图，几何体的体积是，解得，而几何体的表面积是，代入，所以，故选B.9．如图，三棱锥中，为边长为的等边三角形，是线段的中点，，且，，，则与平面所成角的正切值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由勾股定理,过作于,由,所以为与平面所成的角，在直角三角形中,,.10．如图，在中，，，是的中点，，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】11．如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设，所以三角形是直角三角形，因为所以，，又，即，解得，又，即，即，解得，即，故选A.【点睛】本题考查了双曲线的定义和性质，离心率的求法，考查了转化与化归能力，求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）建立的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．而本题求离心率取值就是利用代数方法或平面几何知识寻找椭圆中基本量满足的等量关系，以确定的取值．12．已知定义在上的函数对任意实数满足，，且当时，，则函数与的图象的交点个数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由可知函数的周期为2,由可知的图象关于直线对称,根据条件可以画出函数与的图象,如图所示,由图可知,交点共6个.二、填空题13．若函数，则__________．【答案】【解析】，，故填：.14．已知，则的展开式中常数项为__________．【答案】【解析】因为，则=的展开式中为常数项时,那么.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.15．设实数满足不等式目标函数的最大值为，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】

满足不等式的平面区域，如下图所示：由图可知，求出三条边界直线的交点分别为：由目标函数的最大值为，将这三点分别代入，组成不等式组解得.点晴：本题考查的是线性规划问题中的已知最值求参数的问题，线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最值会在可行域的端点或边界上取得.16．已知数列的首项为，且，若，则数列的前项和__________．【答案】【解析】因为，故,取对数可得,故，故是以1为首项，2为公比的等比数列，故,故，则，因为，故两边取倒数可得,故数列的前项和三、解答题17．在中，内角所对的边分别为，满足，.（Ⅰ）求边；（Ⅱ）若的面积为，且，求的值.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的正弦公式展开，,再利用正弦定理的边角互化为，最后根据余弦定理化为边，化简得到；（Ⅱ）根据同角基本关系式求得，再根据正弦定理求得，最后根据余弦定理求.试题解析：（Ⅰ）因为，所以，由正弦定理得，由余弦定理得，即，因为，所以.（Ⅱ）因为，.所以，.因为，所以，由余弦定理得，所以，，所以.18．酒后违法驾驶机动车危害巨大，假设驾驶人员血液中的酒精含量为（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当时，为酒后驾车；当时，为醉酒驾车.如图为某市交管部分在一次夜间行动中依法查出的名饮酒后违法驾驶机动车者抽血检测后所得频率分布直方图（其中人数包含）.（Ⅰ）求查获的醉酒驾车的人数；（Ⅱ）从违法驾车的人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取人做样本进行研究，再从抽取的人中任取人，求人中含有醉酒驾车人数的分布列和数学期望.【答案】（I）人；（II）详见解析.【解析】试题分析：（I）利用频率分布列直方图的性质即可得出．

（II）易知利用分层抽样抽取人中含有醉酒驾车者为人；所以的所有可能取值为；，即可得出．试题解析：（Ⅰ），故醉酒驾驶的人数为15（人）.（Ⅱ）易知利用分层抽样抽取人中含有醉酒驾车者为人；所以的所有可能取值为；，，.的分布列为.19．如图，在平行四边形中，，分别过点作直线，垂直平面，且，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值.【答案】（I）详见解析；（II）.【解析】试题分析：（Ⅰ）设.以点为原点，分别为轴，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，通过证明，，可得平面.（II）由（Ⅰ）可求平面的法向量和平面的法向量，即可得二面角的平面角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）设.由可知，平行四边形为菱形，∴.则以点为原点，分别为轴，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，那么，，，，∵，，，易得，，∴，，又，∴平面.（II）由（Ⅰ）知，，，，，设是平面的一个法向量，则，，取，得.设是平面的一个法向量，则，，取，得.则，即得二面角的平面角的正弦值为.点睛：本题考查的是用向量法证明线面垂直和求二面角问题，利用向量法求解空间线面关系和空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20．已知椭圆过点，顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为，点.（Ⅰ）求椭圆的方程.（Ⅱ）已知点，是椭圆上的两点.（ⅰ）若，且为等边三角形，求的面积；（ⅱ）若，证明：不可能为等边三角形.【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据面积公式得到，以及点在曲线上，代入得到，以及，求得；（Ⅱ）（ⅰ）根据等边三角形的性质，可得直线的倾斜角是或，这样求得直线的方程，联立椭圆方程，得到点的坐标，求得面积；（ⅱ）因为，所以斜率存在，设直线的方程是，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并且表示线段中点的坐标，若是等边三角形，则，可求得，不合题意.试题解析：（Ⅰ）依题意，，，联立两式，解得，，故椭圆的方程为.（Ⅱ）（ⅰ）由且为等边三角形及椭圆的对称性可知，直线和直线与轴的夹角为，由可得.即或，当时，的面积为；当时，的面积为.（ⅱ）因为，故直线斜率存在，设直线，中点为，联立消去得，由得到，①所以，，所以.又，若为等边三角形，则有，即，即，化简得，②由②得点横坐标为，不合题意.故不可能为等边三角形.（用点差法求点坐标也可）21．已知函数.（Ⅰ）若，试讨论函数的单调性；（Ⅱ）设，当对任意的恒成立时，求函数的最大值的取值范围.【答案】（I）详见解析；（II）.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得.结合，可得在上递减，在上递增.（Ⅱ）由对任意的恒成立可得.又由（Ⅰ）知，当时，，可得对求导，研究其最值，并求其范围即可试题解析：（Ⅰ）.因为，则时时，∴在上递减，在上递增.（Ⅱ）当时，若，则.所以对任意的恒成立，.由（Ⅰ）知，当时，在上递减，在上递增.依题意，有，∴.∴.设，则，∵，∴，∴在上递增，∵，.因此，存在唯一，使得，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减.因此在处取得最大值，最大值为，设，则，∴在上递减，∴，∴∴时的最大值.反之，任取，下证，∵在上递减，在上递增，且时，∴任取，存在唯一的，使得.∵，∴在上递减，∴时，.综上，当对任意的恒成立时，函数最大值，最大值的取值范围为.注：后半部分的证明是为了说明当在内变化时，能取遍内的所有值，从而的最大值能取遍内所有的值，防止把的最大值的取值范围变大.22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（是参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线倾斜角为，且过点，若曲线与直线交于两点，求的最大值和最小值.【答案】（I）；（II）最小值为，最大值为.【解析】试题分析：（Ⅰ）先将曲线的参数方程化为普通方程，再根据，化为极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程是（是参数）代入曲线的普通方程，得到，弦长公式，代入根与系数的关系，求最大值和最小值.试题解析：（Ⅰ）因为故，即，即，故，故曲线的极坐标方程为.（Ⅱ