定积分的几何应用平面图形面积

第二定积分的几何应用四、同步练习一、主要内直角坐标情

dAf(x)db

Aaf(x)ddA[f(x)g(x)]db

Aa[f(x)g(x)]dbAaf(x)g(x)dbc

y=g(x)y=a[f(x)g(x)]dbc[g(x)f(x)]db(ad

xxd x(yydyyyAc(y)(y)d(cd O

x(x参数方程情yf(

(f(x)0,x[a,b])

x(t y(t

yf(且φx),ψx)()a,()

o (t)在[,]([])上具有一阶连续y(t

A

f(x)dx (t)(tbb

(a极坐标情设(C[(0求由曲(及射线]2A 2

2((问题如何画出极坐标方程所表示的曲线的草方法L的极坐标方程为：(1o由0(0,可确定曲线L的如：对于双纽 2a2cos2 由方程 cos2令2θ及32θ 4

θ4

3θ 2o若((

则L关于极轴对称；则L关于y轴对称3o(()的单调性yOx如：对于a(a0,0yOx a a随的增加而增4o综合1o3o的讨论画出图形二、典型例例 计算由两条抛物线y2x和yx2所围成图形的面积y2 求两曲线2

y2(0,0)

2º选x

x 面积元素:dA

xx2)d

x3 A0

xx2)dx

x2 3 3yx36y23例2计算由曲线yx3yx36y23解(方法1)1ºyx36yx 2ºx为积分变量

x[2,x[2, d

[(x36x)x2]dx[0,3],

dA2[x2(x36x)]d AA10A(x36xx2)dx3(x2x36x)dx0

3(方法2) 3

3A3

f(x)g(

dx

(x36x)x2d0(x36xx2)dx3(x2x36x)dx0

说明：注意各积分区间上被积函数的形问题：积分变量能 y吗？太麻烦例3求由曲线2y2x4y2x所围成图的面积2y2x

2y2x解

y2

y2两曲线的交点(4,2)和(4,2) 222A2

[

(2y2

4)]dy

(4y2)d

(4y2)dy2[4y232

y3

320302 求由摆线xa(tsint),ya(1cost)(a0)的一拱与x轴所围平面图形的面2A

2π0

ydx

a(1cost

a(1cost)da2

(1cost)2d 4a2 0

tdo

2aπ8a2π0

ud

(令ut2 2

2sinudu16a 3π 例5计 螺线a(a0,02所围图形面积解dA1(a)2 2A

)2dπ

a21324π33

例 求双纽线2a2cos2所围平面图形的面积解第一象限部分面积的4y4Oay4OaxA cosA cos2d π2asin20a2例7计算心形线a(1cos)(a与

a(1cos解利用对称性,所求面 π

2aA

2π2

acos)2

22 22

2cos2

cos221πa2 2 2)5πa22a2a 三、同步练x1y2将圆x2y282图形分割成两部分，求较小部分的面积求曲 lnxlny1所围图形的面积为何值才能使yxx1)xyxx1)与xx轴围成的面积xacos3

yasin3

(a0),图形的面积2a2cos2与圆

a(a0)取何值时，由曲线ya(1x2和该曲线上两点(1,0),(1,0设fx)在[ab]上可导，fx0,f(a0,证明：对图

y=ff

B(x的两个面积函惟一(a

Ax)和B(x)使

A(x A()2008.B(四、同步练习解抛物线x1y2将圆x2y282图形分割成两部分，求较小部分的面积1y解 2y2两曲线的交点(2,2)和(2,2).2A2

8y21y2)d222 8y21y2)d 2sin 2

32(4 tdt 2[44(1cos2t)dt 2π43

lnx

ln

1所围图形的面积 lnx1,lnye e1xe,e1y e又lnxlny

ln lnxln lny

1xee1x11yee1y1

ye11eo

xyeyxy

e1x e1y1中曲线为xyeyeye

xy1S1(ex1e

e)dx e 1

x)1 1e11

o

eyxy 为何值才能使yxx1)x轴围成的面积等yxx1)与xx轴围成的面积.解yx(x1)与x轴所围面 1x(x1)dx 0时

x(x1)d

61

12

12o 由A1A2

2(11)0,

6 3 由图形的对称性, 1,

1也符合条件

xacos3 4.(a0)所围成图形的面积yasin3yyoaaA40yd 4asint3acost(sint 2 2a[sintsint]dt0

a285.2a2cos2

解2a2cos 2cos22sin2cos22解 π6

46o4π4y4a6o A22

6 2sin)20 2 4acos2d26π

(π1

223)a26.数a(a0)取何值时，由曲线ya(1x2和该曲线上两点(1,0),(1,0)处的法线所围成的图y-1x解由曲线ya(1x2y-1xy2axy|x12a(1,0)y1(x1)1S 1 [a(1x)0

2a(x1)]d

a S43得 a

6,

a4故 a 6时 47.设f(x)在[a,b]上可导， f(x)0,f(a)存在唯一的(aA()2008.

积函数Ax)和Bx使yy=fB(A()2008

f

A(x

B(xB(A()2008B()

(B()

b令Fx)Ax2008Bx)

Fx)在(ab唯一的零点令Fx)Ax2008Bx f(x) x[a,

y=f fx)在[ab]上单调增加

fA(x

B(x又 f(a)

x(a, f(x)f(a)于 A(x)

f(f(x)(xaxb

f(t)dB(x)xf(t)dtf(x)(bxyA(a) B(b)1º零点的存在 fx)在[ab]

y=ff B(xA(x AxBxFx)均在[ab]A(x)[f(x)(xa)f(x)]f(xf(x)(xa) (x(a,b] Ax)在[ab]故x(a,b]， A(x)A(a)A(b)A(a)B(x)f(x)[f(x)(bx)f(xf(x)(bx) Bx)在[ab]

(x[a,b)故x[ab)，有Bx)B(bB(a)B(b) F(a)A(a)2008B(a02008B(a)F(b)A(b)2008B(b)A(b)20080由零点定理知，Fx)在(ab内