非线性方程组的迭代解法11公开课获奖课件

第二章非线性方程(组)求根措施若n=1,称为非线性方程求根问题；

n>1，称为非线性方程组求解问题。理论问题：（1）解存在性。即有解还是无解，有多少解。（2）解性态。即孤立解区域，解重数，光滑性。有关解存在性及其性态，不是数值分析所讨论问题。我们总认为：我们任务是用数值措施求满足一定精度规定近似解！一般求其精确解是困难10/10/1第1页◆二分法内容:◆一般迭代法◆牛顿迭代法◆迭代法加速◆非线性方程组牛顿迭代法*10/10/2第2页1、二分法设在区间上持续且有，则在区间内有解，不妨设解唯一！算法构造原理:有根区间10/10/3第3页x1aabx2b什么时候停止？或x*算法停止条件x10/10/4第4页综合上述，得到如下算法，(1)(2)(3)否则(4)否则，转(2)；例1可得合计算21次！注：其中为精度控制参数!10/10/5第5页二分法只能求有根区间中奇数重实根;有关二分法讨论(1)二分法线性收敛;(2)二分法可用来细化有根区间，这是它一大长处!(3)故二分法可以用来确定迭代法迭代初值!返回主目录10/10/6第6页2、一般迭代法(1)(2)(3)(一)构造措施(1)10/10/7第7页例210/10/8第8页1.5000-0.87506.7324-69.72001.0275e+8不收敛

1.50001.28701.40251.34551.37521.36011.36781.36391.36591.36491.36541.36511.36531.36521.3652

1.50000.81652.99690-2.9412i不收敛

1.5000

1.34841.36741.36501.3653

1.36521.3652措施1措施2措施3措施4*收敛与否，以及收敛快慢，取决于迭代函数15次6次*精度控制表达式？？10/10/9第9页(二)

大范围收敛定理(1)(2)则(1)(2)(3)①

②下面看证明过程，即是自映射；10/10/10第10页(1)由条件(1)可得解存在性；由条件(2)可证解唯一性！(2)由条件(1)可知(3)①得证；进而可证②!10/10/11第11页(三)局部收敛定理设在包含x*某个开区间内连续，若由迭代(1)产生序列,使得则证明:略!注：当定理条件成立时，只要x0充足靠近x*，就能保证迭代序列{xn}收敛于x*！且有与前一定理完全相似不等式成立！10/10/12第12页分析例2四种迭代格式收敛性，一般迭代法只有理论上意义，由于构造保证收敛迭代函数比较困难。注:措施1收敛性分析措施2收敛性分析措施3收敛性分析措施4收敛性分析四种迭代格式计算成果见本课件P9!取定初值x0=1.5，ε=1e-4,10/10/13第13页（四）收敛阶（速度）讨论定义:p=1——线性收敛；p=2——平方收敛；

2>p>1—超线性收敛；注：1、p=1时，c<1;2、满足局部收敛定理简朴迭代算法至少具有一阶收敛速度。10/10/14第14页定理（简朴迭代算法m阶收敛充足条件）设在包含x*某个开区间内连续，若使得则注:1、给出了由迭代函数判断收敛速度措施；2、给出了提高收敛速度措施!由迭代产生序列{xn}以m阶收敛速度收敛到x*

。证明：由泰勒公式和收敛阶定义可证！10/10/15第15页例3解：迭代函数为10/10/16第16页迭代函数为解：#返回主目录10/10/17第17页3、简朴迭代法加速怎样对其加速?由微分中值定理得实际上，设迭代算法产生序列，其中介于和之间。10/10/18第18页(一)埃特金(Aitken)加速措施令作为校正值！10/10/19第19页(二)steffensen加速算法设迭代算法，对其应用Aitken加速措施，得到如下Steffensen算法:若在附近变化不大，10/10/20第20页Steffensen算法收敛性注:（1）可以用Steffensen算法对收敛缓慢简朴迭代算法加速！可以证明：（2）对于至少平方收敛算法，用Steffensen算法进行加速，意义不大！返回主目录10/10/21第21页4、牛顿迭代算法将f(x)在初值x0处做Taylor展开取其线性部分做为f(x)近似，有：若则有记为同理，我们可以得到xyx*x010/10/22第22页这样一直下去，我们可以得到迭代序列Newton迭代迭代函数(2)——牛顿迭代算法(切线法)其他构造措施(1)待定函数法:(2)数值积分法:10/10/23第23页收敛定理（单根情形）10/10/24第24页证明：由已知可得，因此至少平方收敛！#运用收敛阶定义来证明！注：也可以由收敛阶鉴定定理来证！10/10/25第25页应用举例（1）对于给定正数C，应用牛顿法解二次方程x2-C=0。可得证明上述迭代算法收敛，并求收敛阶！1）当x0>0时，收敛于；2）当x0<0时，收敛于；（*）1)得证!2）实际上，对（*）式进行配方可得下面证明1），10/10/26第26页（2）对于给定正数C，应用牛顿法求解方程

。可得能够证实上述迭代算法对任意初值都收敛于！实际上，从而#10/10/27第27页牛顿迭代法几点阐明牛顿迭代法算法简朴，且局部收敛，但初值x0选择困难！(1)(2)牛顿迭代每步都要计算导数，增加了计算量！(3)定理表明牛顿迭代求单根有效且平方收敛（能求重根吗？）。(一)一般来说采用试探法，可以结合二分法或通过做出函数图形来协助选择初值！有关初值(二)导数计算(1)利用牛顿迭代法先计算几步，比如计算到了第k步，得到近似值xk，接下来用来代替导数，该算法通常是线性收敛！10/10/28第28页(2)一种实用措施是用差分替代微分，即此迭代法称为割线法！它是超线性收敛！(三)有关重根问题10/10/29第29页可见，当x*为重根时，牛顿迭代线性收敛，且伴随m增长，收敛性变差！计算重根改善算法(1)至少平方收敛。(证明略!)设重数m已知，应用牛顿迭代法得10/10/30第30页返回主目录(2)重数不知道时，一个实用方法是，令则直接对应用牛顿迭代法求解:至少平方收敛！10/10/31第31页解非线性方程组牛顿迭代法10/10/32第32页Jacobi矩阵10/10/33第33页注意事项：为了处理上述问题，提出拟牛顿法。10/10/34第34页10/10/35第35页10/10/36第36页Broyden秩1措施10/10/37第37页10/10/38第38页综合上述，得到Broyden秩1措施：10/10/39第39页10/10/40第40页返回主目录10/10/41第41页1、数值分析.颜庆津.修订版.北京航空航天大学出版社，2、李庆扬.非线性方程组数值解法.科学出版社,1987参照书目：10/10/42第42页例2返