文档：摆线名师获奖

摆线摆线(cycloid)是数学中众多的迷人曲线之一．它是这样定义的：一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线别称一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹，又称旋轮线。圆上定点的初始位置为坐标原点，定直线为x轴。当圆滚动j角以后，圆上定点从O点位置到达P点位置。当圆滚动一周，即j从O变动2π时，动圆上定点描画出摆线的第一拱。再向前滚动一周，动圆上定点描画出第二拱，继续滚动，可得第三拱，第四拱……，所有这些拱的形状都是完全相同的，每一拱的拱高为2a（即圆的直径），拱宽为2πa（即圆的周长）。摆线有一个重要性质，即当一物体仅凭重力从A点滑落到不在它正下方的B点时，若沿着A，B间的摆线，滑落所需时间最短，因此摆线又称最速降曲线。性质到17世纪，人们发现摆线具有如下性质：1．它的长度等于旋转圆直径的4倍。尤为令人感兴趣的是，它的长度是一个不依赖于π的有理数．2．在弧线下的面积，是旋转圆面积的三倍。3．圆上描出摆线的那个点，具有不同的速度——事实上，在特定的地方它甚至是静止的。4．当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时，它们会同时到达底部方程式x=r*(t-sint)；y=r*(1-cost)r为圆的半径，t是圆的半径所经过的角度（滚动角），当t由0变到2π时，动点就画出了摆线的一支，称为一拱。基本原理摆线针轮行星传动中，摆线轮齿廓曲线运用内啮合发生圆产生的短幅外摆线。这种摆线曲线的生成原理如词条图所示。有一发生圆（滚圆）半径为rp'，基圆半径为rc'，基圆内切于发生圆，当发生圆绕基圆作纯滚动，其圆心Op分别处于Op1、Op2、Op3、Op4、Op5、Op6......各位置时，由此固结在发生圆平面上的点M分别经过M1、M2、M3、M4、M5、M6......各位置，由此发生圆周期滚动，发生圆上点M所形成的轨迹曲线即为短幅外摆线。由以上摆线生成的几何关系若仍保持以上的内切滚动关系，将基圆和摆线视为刚体相对于发生圆运动，则形成了摆线图形相对发生圆圆心Op作行星方式的运动，这就是行星摆线传动机构的基本原理。最速降线在一个斜面上，摆两条轨道，一条是直线，一条是曲线，起点高度以及终点高度都相同。两个质量、大小一样的小球同时从起点向下滑落，曲线的小球反而先到终点。这是由于曲线轨道上的小球先达到最高速度，所以先到达。然而，两点之间的直线只有一条，曲线却有无数条，那么，哪一条才是最快的呢？伽利略与1630年提出了这个问题，当时他认为这条线应该是一条弧线，可是后来人们发现这个答案是错误的。1696年，瑞士数学家约翰·伯努利解决了这个问题，他还拿这个问题向其他数学家提出了公开挑战。牛顿、莱布尼兹、洛比达以及雅克布·伯努利等解决了这个问题。这条最速降线就是一条摆线，也叫旋轮线。意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题——“一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。”。他说这曲线是圆，可是这是一个错误的答案。瑞士数学家约翰．伯努利在1696年再提出这个最速降线的问题（problemofbrachistochrone），征求解答。次年已有多位数学家得到正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员。这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线。旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线（旋轮线）又称等时曲线。看一个稍微有点振奋人心的东东，JohannBernoulli对最速降线问题的beautiful解答：如果使分成的层数n无限地增加，即每层的厚度无限地变薄，则质点的运动便趋于空间A、B两点间质点运动的真实情况，此时折线也就无限增多，其形状就趋近我们所要求的曲线——最速降线．而折线的每一段趋向于曲线的切线，因而得出最速降线的一个重要性质：任意一点上切线和铅垂线所成的角度的正弦与该点落下的高度的平方根的比是常数．而具有这种性质的曲线就是摆线．所谓摆线，它是一个圆沿着一条直线滚动（无滑动）时，圆周上任意一点的轨迹。因此，最速降线就是摆线，只不过在最速降线问题中，这条摆线是上、下颠倒过来的罢了．以上便是JohannBernoulli