微积分02极限市公开课金奖市赛课一等奖课件

西南财经大学经济数学系孙疆明高等数学微积分市精光第1页第1页第二讲极限数列极限函数极限极限性质函数极限存在性四则运算定理复合函数极限定理极限举例无穷小量与无穷大量示例第2页第2页引例人口问题.人口是一项主要经济指标．人口决定着劳动力，加速资源消耗，增长消费增进生产……假如人口以固定增长率k增长，人口会如何？k—每单位人口在单位时间内能够增长人数.kexi第3页第3页银行连续复利计算问题.问题公司计算资产增值都要考虑与银行利率相比较.连续复利计算就是任何时刻都以同样利率r计算下一时刻资产总值Y(t).r——一元钱每单位时间产生利息额；设r以年为时间单位(注意：并非一年后利息为r).第4页第4页要连续计算复利，就要m不断增大.高等数学研究函数一个主要情形，就是要考察函数在自变量一个无限改变过程下结果.函数在自变量一个无限改变过程中，什么叫无限趋向一个常数假如函数值能够无限地趋向一个常数，就叫作函数在这个过程中有极限；假如不能趋向一个常数，就叫作在这个过程中无极限(或极限不存在).第5页第5页首先,与常数a越来越近,不是无限趋近a.另一方面,与常数a一会近，一会远仍可无限趋向a.无限(趋向)只能用有限来阐明.第6页第6页1．数列极限(一)数列1.数列就是整标函数（定义域为自然数集）2.子数列比如第7页第7页数列极限概念或1.定义：第8页第8页[注意1][注意2][注意3]数列极限定义是描述性定义.只能用于验证某数是不是其极限,不能用于求极限.[注意4]极限是一个数极限是什麽？第9页第9页[注意5]数列极限几何意义或第10页第10页[例1]（2）用定义证实（1）猜加试算（3）关键在解不等式第11页第11页证毕第12页第12页如何克服这个困难？技巧就在是不是要真解这个不等式呢？第13页第13页适当放大更严格地说市第14页第14页[例2]（2）用定义证实（1）算算看适当放大第15页第15页证毕第16页第16页[例3]设是给定实数,用定义证实[证实]证毕第17页第17页[例4]用定义证实[证实]注意到对于任意给定要使只须使或故取则有,对于任意给定存在自然数只要就有证毕第18页第18页第19页第19页市第20页第20页[注意]第21页第21页第22页第22页函数极限自变量实数，无限改变方式复杂：第23页第23页实数变量除趋向无穷大无限改变外,还能够趋向有限数x0无限改变(这是由于稠密).称趋向x0.第24页第24页函数在无穷远极限定义1:第25页第25页定义2定义3第26页第26页定义1：函数在一点极限第27页第27页[注意]为什麽要考虑空心邻域？考虑空心邻域，是什麽意思？考虑函数在一点极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义值是什麽，但是，在附近必须要有定义。例第28页第28页定义2：（右极限）如何定义单侧极限？第29页第29页定义3：（左极限）第30页第30页观测图形由于因此第31页第31页定理第32页第32页函数极限几何意义第33页第33页()()第34页第34页按极限定义，要阐明数A是函数某个过程极限，就必须阐明对任意给定正数ε，存在改变过程中一个“时刻”(通常与ε相关)，在此时刻后，有任意自变量相应函数值与常数A距离都小于正数ε.第35页第35页第36页第36页第37页第37页第38页第38页[例]观测知[证]证毕第39页第39页[例]用定义证实[证实]不妨设证毕第40页第40页[例]用定义证实证:第41页第41页极限性质性质1:（唯一性）函数极限假如存在，则一定是唯一.第42页第42页性质2:（有界性）函数极限假如存在，则函数一定有界(局部).第43页第43页性质3:（保号性）第44页第44页注意:f(x)>0推不出极限A>0.第45页第45页性质4:（函数极限与数列极限关系）[证实]必要性依据假设第46页第46页证毕第47页第47页第48页第48页观测图形第49页第49页显然从而[证实]证毕第50页第50页性质5第51页第51页无穷小性质性质1第52页第52页性质2第53页第53页第54页第54页四则运算定理第55页第55页[证]（3）要证什麽？第56页第56页第57页第57页从而有第58页第58页第59页第59页第60页第60页证:复合函数极限定理要证什麽？第61页第61页第62页第62页[注]看证实，从理论上，非此不行！看例子：第63页第63页第64页第64页第65页第65页[例]极限计算[解]第66页第66页[例][解]第67页第67页[解][例](2)碰到开方能够有理化分离趋向0因子.[解][例]第68页第68页[解][例][解][例]第69页第69页第70页第70页第71页第71页第72页第72页第73页第73页第74页第74页第75页第75页第76页第76页两个极限存在定理(准则)1.夹逼定理:证：应用极限定义.第77页第77页第78页第78页[例]利用夹逼定理讨论考虑能否找到一个不等式？即第79页第79页由（1）式知将（1）式与（2）式结合起来，得到亦即第80页第80页第81页第81页因此第82页第82页第83页第83页第84页第84页第85页第85页2.单调有界定理:第86页第86页[证]只证在(a,x0]上单调增长有上界情形.证毕第87页第87页第88页第88页第89页第89页第90页第90页第91页第91页证法2证法1证法3第92页第92页猜想：an单调增长……第93页第93页再证有上界.第94页第94页e这个数是定义出来！当n=100000时，由an计算e近似值为：2.718268237…e=2.7182818284590…第95页第95页第96页第96页第97页第97页第98页第98页总而言之，我们得到第99页第99页第100页第100页例：银行连续复利计算问题.公司计算资产增值都要考虑与银行利率相比较.连续复利计算就是任何时刻都以同样利率r计算下一时刻资产总值Y(t).r——一元钱每单位时间产生利息额；设r以年为时间单位(注意：并非一年后利息为r).第101页第101页第102页第102页第103页第103页第104页第104页第105页第105页第106页第106页第107页第107页第108页第108页第109页第109页第110页第110页定义1：在某个改变过程中,极限为零变量,称之为在此改变过程中

无穷小量（无穷小）。无穷小量、无穷大量及其“阶”（一）定义第111页第111页比如：第112页第112页[注]：无穷小量是极限为零变量！即，绝对值无限变小变量。无穷小量不是

绝对值很小数！第113页第113页定义2：在某个改变过程中,绝对值无限变大变量,称之为在此改变过程中

无穷大量（无穷大）,记为∞。第114页第114页[例]第115页第115页无穷小与无穷大关系定理第116页第116页第117页第117页11110.0010.0010.0000010.10.0000010.0000010.0000000000010.0110-910-910-1810-3……………………第118页第118页无穷小量比较(无穷小量阶)定义：第119页第119页第120页第120页等价无穷小量性质性质1：第121页第121页性质2：等价代换第122页第122页几种惯用等价无穷小量第123页第123页[例][解][解]第124页第124页第125页第125页第126页第126页第127页第127页[解][