数学物理方程 格林函数法

数学物理方程格林函数法第1页，共50页，2023年，2月20日，星期六

利用格林函数法求解一些平面或空间区域上位势方程狄利克雷问题。介绍利用格林函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题本章中心内容第2页，共50页，2023年，2月20日，星期六

格林（Green）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念．格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和初始条件下所产生的场．知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场．

格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一．第3页，共50页，2023年，2月20日，星期六5.1Green公式

在研究Laplace方程和Poisson方程边界问题的时候，要经常利用格林公式，它是高等数学中Gauss公式的直接推广。设为中的区域，充分光滑。设k为非负整数，以下用表示在上具有k阶连续偏导的实函数全体，表示在上具有k阶连续偏导的实函数全体。如表示在具有一阶连续偏导数上连续。如将简记为，简记为或，等等。设和，则如下的高斯公式第4页，共50页，2023年，2月20日，星期六或者如果引入哈密尔顿（Hamilton)算子：并记F=(P,Q,R),则Gauss公式具有如下简洁性式其中为的单位外法向量。注1哈密尔顿算子是一个向量性算子，它作用于向量函数F=(P,Q,R)时，其运算定义为第5页，共50页，2023年，2月20日，星期六形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F的散度divF。而作用于数量函数f(x,y,z)时，其运算定义为形式上相当于向量的数乘运算，此即向量函数的梯度grad、设在(3)式中取得直接计算可得将(5)式带入到(4)式中，并整理得其中(6)式称为格林第一公式第6页，共50页，2023年，2月20日，星期六将（6）中函数u、v的位置互换，得（6）-（7），得（8）称为格林第二公式。设，点，。引入函数，注意是关于六个变元和的函数，且第7页，共50页，2023年，2月20日，星期六又两边对x求偏导，得即所以对（*）再对x求偏导，得整理，得第8页，共50页，2023年，2月20日，星期六由对称性，得所以即在中除点外处处满足拉普拉斯方程。

设充分小使得记，则，在格林第二公式中，令，注意到，则有第9页，共50页，2023年，2月20日，星期六或在球面上，有或因此第10页，共50页，2023年，2月20日，星期六其中------积分中值定理

同理可得其中------积分中值定理

将（10）和（11）带入到（9），得到令此时有第11页，共50页，2023年，2月20日，星期六并且区域G趋向于区域，所以可得即（12）称为格林第三公式。注2在二维情况中，格林第一公式和格林第二公式也成立。而对于格林第三公式，需要取格林第三公式，需要取此时，格林第三公式也成立。第12页，共50页，2023年，2月20日，星期六5.2Laplace方程基本解和Green函数基本解做研究偏微分方程时起着重要的作用。这里首先介绍拉普拉斯方程的基本解，并做一些特殊区域上由基本解生产格林函数，由此给出相应区域上的拉普拉斯方程或泊松方程边值问题的解的表达式。5.2.1基本解设，若做点放置一单位正电荷，则该电荷在空间产生的点位分布为（舍去介电常数）电场中某点的电位是指在电场中将单位正电荷从该点移至电位参考点时电场力所做的功。上节已证在广义函数意义下，第13页，共50页，2023年，2月20日，星期六其中三维拉普拉斯方程的通解为：如果取就得到一个重要的特解，前面记作，与点选择有关。称为三维拉普拉斯方程的基本解。当n=2时，二维拉普拉斯方程的基本解为其中。有在广义函数意义下，第14页，共50页，2023年，2月20日，星期六5.2.2格林函数考虑如下定解问题设为上述问题的解，则由格林第三公式，得由定解问题（5）（6）的自由项和边值条件，可得和而在中，在边界上的值未知，因此须进一步处理。注如果边界条件改为诺依曼条件，即定解问题变为第15页，共50页，2023年，2月20日，星期六由格林第三公式，得须做进一步处理。如何由格林第三公式得到定解问题（5）（6）的解？主要是如何消去。----构造格林函数。设h为如下定解问题的解在格林第二公式第16页，共50页，2023年，2月20日，星期六中，取v=h，得或则（7）+（10）得其中由第17页，共50页，2023年，2月20日，星期六及可知，是如下定解问题的解称为拉普拉斯方程在区域上的格林函数。由于G在上恒为0，又可得第18页，共50页，2023年，2月20日，星期六因此，若求出了区域上的格林函数，则便是定解问题的解。第19页，共50页，2023年，2月20日，星期六5.3半空间及圆域上的Dirichlet问题由前面的分析，我们可以看出，只要求出了给定区域上的格林函数，就可以得到该区域泊松方程狄利克雷问题的解。对一般区域，求格林函数并非易事。但对于某些特殊区域，可有一些方法。5.3.1半空间上的狄利克雷问题

设考虑定解问题

设，则为关于的对称点。若在两点各放置一个单位正电荷，则由三维拉普拉斯方程的基本解得知，它们做空间产生点位分别为第20页，共50页，2023年，2月20日，星期六其中。由于关于对称，且，则有即为上半空间的格林函数，且有直接计算可得第21页，共50页，2023年，2月20日，星期六又第22页，共50页，2023年，2月20日，星期六例1

求解下列定解问题解：第23页，共50页，2023年，2月20日，星期六第24页，共50页，2023年，2月20日，星期六例2求解下列定解问题解：第25页，共50页，2023年，2月20日，星期六练解第26页，共50页，2023年，2月20日，星期六5.3.2圆域上的狄利克雷问题

设

考虑圆域上的狄利克雷问题

设为关于圆周的对称点，即因此，对任意有，即所以第27页，共50页，2023年，2月20日，星期六这说明函数在上恒为零。有由于，故即是圆域上的格林函数。引入极坐标，设则用表示与的夹角，则有利用余弦定理，有第28页，共50页，2023年，2月20日，星期六将上面两式带入到格林函数有第29页，共50页，2023年，2月20日，星期六计算记，则有第30页，共50页，2023年，2月20日，星期六这既是定解问题的解。第31页，共50页，2023年，2月20日，星期六第32页，共50页，2023年，2月20日，星期六第33页，共50页，2023年，2月20日，星期六第34页，共50页，2023年，2月20日，星期六第35页，共50页，2023年，2月20日，星期六第36页，共50页，2023年，2月20日，星期六第37页，共50页，2023年，2月20日，星期六第38页，共50页，2023年，2月20日，星期六第39页，共50页，2023年，2月20日，星期六第40页，共50页，2023年，2月20日，星期六第41页，共50页，2023年，2月20日，星期六第42页，共50页，2023年，2月20日，星期六第43页，共50页，2023年，2月20日，星期六