应用不变量化简二次曲线方程后的作图问题

应用不变量化简二次曲线方程后的作图问题一、题目分析本题要求将给定二次曲线方程进行不变量化简并画出其图像，具体步骤如下：1.首先对二次曲线方程进行不变量化简，得到方程的标准形式。2.根据标准形式确定二次曲线的类型。3.确定二次曲线的焦点、直线、顶点等特征点。4.根据特征点作出二次曲线的精确图形。二、解题思路1.不变量化简本题中给定的二次曲线方程为$$2x^2+2xy-2y^2-4x+8y-8=0$$为了将其化简成不变量形式，我们需要首先完成配方法。根据配方法：$$2x^2+2xy-2y^2-4x+8y-8=(2x^2+2xy+y^2)-(y^2-4y+4)-(4x^2-8x+4)$$$$=(x+y)^2-(y-2)^2-2(x-1)^2$$于是，原方程化简为$$(x+y)^2-(y-2)^2-2(x-1)^2=0$$2.标准形式与类型从不变量化简后的方程中可以看出，该二次曲线具有椭圆和抛物线的特点。结合一次项系数关系求解即可得：$$a=-2<0,\\b=1,\\c=-1$$因此，该二次曲线为椭圆，其标准形式为：$$\\frac{(x+y)^2}{2}+\\frac{(y-2)^2}{2}=1$$3.特征点确定（1）椭圆的中心点：由标准形式可知，椭圆的中心点为$$\\left(-1,2\\right)$$（2）椭圆的长短轴及方向：由标准形式可知，椭圆的长短轴长度为相等的，且在$x$轴和$y$轴上，因此椭圆的长轴在$x$轴和$y$轴之间转动$45°$。故椭圆的长轴长度为$\\sqrt{2}$，短轴长度同样为$\\sqrt{2}$。（3）椭圆的顶点、焦点：代入标准方程，可以求得椭圆的顶点为$$(0,2)\\\\text{和}\\(-2,2)$$由于$a=\\sqrt{2}$，则焦距$c$可以根据公式求解：$c=\\sqrt{2-a^2}$，得到$$c=1$$于是，焦点的坐标为$$\\left(-1,1\\right)\\\\text{和}\\\\left(-1,3\\right)$$（4）椭圆的对称轴：由于该椭圆为以$(-1,2)$为中心，$x$轴和$y$轴夹角为$45°$的椭圆，并且$a=b=\\sqrt{2}/2$，则其对称轴为$$x+y=1\\\\text{和}\\x-y=-3$$4.作图求解在求解完椭圆的特征点后，可以进一步作图求解：（1）确定横坐标范围：椭圆的中心点纵坐标为$2$，横坐标为$-1$，因此横坐标的范围为$-1\\pm\\sqrt{2}$。（2）以中心点为中心，长轴方向为$x$轴，短轴方向为$y$轴作出坐标系。（3）在坐标系上标出各个特征点：中心点$(-1,2)$，顶点$(0,2)$和$(-2,2)$，焦点$(-1,1)$和$(-1,3)$，对称轴$x+y=1$和$x-y=-3$。（4）连接各个特征点，得到椭圆的准确图形。三、解题步骤1.配方法将给定方程进行不变量化简。2.根据不变量化简后的标准形式，确定二次曲线的类型为椭圆，进一步求得椭圆的长短轴、中心点、顶点、焦点、对称轴等特征点。3.在坐标系上标出各个特征点，并连接各个特征点得到准确的椭圆图形。四、解题过程1.不变量化简：$$2x^2+2xy-2y^2-4x+8y-8=(x+y)^2-(y-2)^2-2(x-1)^2$$$$\\because\\a=-2<0,\\b=1,\\c=-1$$$$\\therefore\\\\text{椭圆的标准形式为}\\\\frac{(x+y)^2}{2}+\\frac{(y-2)^2}{2}=1$$2.确定特征点：（1）椭圆的中心点为$(-1,2)$。（2）椭圆的长轴长度为$\\sqrt{2}$，短轴长度同样为$\\sqrt{2}$。（3）椭圆的顶点为$(0,2)$和$(-2,2)$；焦点为$(-1,1)$和$(-1,3)$。（4）椭圆的对称轴为$x+y=1$和$x-y=-3$。3.作图：将求得的特征点标在坐标系上，连接各个特征点即可得到准确的椭圆图形。作图见下图：五、总结本题通过不变量化简的方式将给