无限深方势阱中的粒子

无限深方势阱中的粒子第1页，共58页，2023年，2月20日，星期六1举几个小例

1)说明量子力学解题的思路

2)了解量子力学给出的一些重要的结论第2页，共58页，2023年，2月20日，星期六21.由粒子运动的实际情况正确地写出势函数U(x)2.代入定态薛定谔方程3.解方程4.解出能量本征值和相应的本征函数5.求出概率密度分布及其他力学量一、量子力学解题的一般思路第3页，共58页，2023年，2月20日，星期六3二、几种势函数1.自由粒子2.方势阱无限深方势阱能级结构问题方势阱第4页，共58页，2023年，2月20日，星期六4方势阱是实际情况的极端化和简化分子束缚在箱子内三维方势肼金属中的电子第5页，共58页，2023年，2月20日，星期六53.势垒梯形势散射问题势垒隧道贯穿第6页，共58页，2023年，2月20日，星期六64.其他形式超晶格谐振子第7页，共58页，2023年，2月20日，星期六7a金属U(x)U=U0U=U0EU=0x极限U=0EU→∞U→∞U(x)x0a

无限深方势阱（potentialwell）一、一维无限深方形势阱功函数分子束缚在箱子内三维方势肼第8页，共58页，2023年，2月20日，星期六8U=0EU→∞U→∞U(x)x0a特点：粒子在势阱内受力为零势能为零在阱内自由运动在阱外势能为无穷大在阱壁上受极大的斥力不能到阱外第9页，共58页，2023年，2月20日，星期六91.势函数粒子在阱内自由运动不能到阱外二、薛定谔方程和波函数阱外0阱内0第10页，共58页，2023年，2月20日，星期六102.哈密顿量3.定态薛定谔方程阱外：阱内：0第11页，共58页，2023年，2月20日，星期六11根据波函数有限的条件阱外1)阱外4.分区求通解第12页，共58页，2023年，2月20日，星期六12令2)阱内为了方便将波函数脚标去掉将方程写成通解式中

A

和B

是待定常数第13页，共58页，2023年，2月20日，星期六135.由波函数标准条件和边界条件定特解通解是(1)解的形式解的形式为(2)能量取值第14页，共58页，2023年，2月20日，星期六14A已经为零了B不能再为零了即只能

ka等于零要求能量可能值第15页，共58页，2023年，2月20日，星期六151)每个可能的值叫能量本征值2)束缚态粒子能量取值分立(能级概念)

能量量子化3)最低能量不为零波粒二象性的必然结果请用不确定关系说明4)当n趋于无穷时能量趋于连续5)通常表达式写为讨论L--阱宽第16页，共58页，2023年，2月20日，星期六16(3)本征函数系由归一性质定常数B得本征函数第17页，共58页，2023年，2月20日，星期六17考虑到振动因子（驻波解）6.定态波函数第18页，共58页，2023年，2月20日，星期六187.概率密度第19页，共58页，2023年，2月20日，星期六19小结：本征能量和本征函数的可能取值第20页，共58页，2023年，2月20日，星期六20一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度oaao第21页，共58页，2023年，2月20日，星期六21时，量子经典玻尔对应原理|2Ψn|an很大En0第22页，共58页，2023年，2月20日，星期六22三、旧量子论的半经典解释粒子在阱外的波函数为零允许的波长为:粒子的动量粒子在势阱内动量为阱内的波函数在阱壁上的值也必为零（驻波）量子化能量由波函数的连续性第23页，共58页，2023年，2月20日，星期六23能量量子化是粒子的波动性和边界条件的必然o允许的波长为:第24页，共58页，2023年，2月20日，星期六24§4势垒和隧道效应一、粒子进入势垒二、有限宽势垒和隧道效应三、隧道效应的应用第25页，共58页，2023年，2月20日，星期六25ψ2ψ1透射?反射入射1.势函数

讨论入射能量E<U0情况xⅡ区0Ⅰ区EU0U(x)

一、粒子进入势垒

U(x)=

U0íìî0x<0x>

0第26页，共58页，2023年，2月20日，星期六26I区令2.定态薛定谔方程xⅡ区0Ⅰ区EU0U(x)

方程为第27页，共58页，2023年，2月20日，星期六27II区令>第28页，共58页，2023年，2月20日，星期六283.薛定谔方程通解通解通解波动形式指数增加和衰减第29页，共58页，2023年，2月20日，星期六29考虑物理上的要求当x时2(x)应有限所以D

=0于是EU0Ψ2透射Ψ1入射+反射xⅡ区Ⅰ区0第30页，共58页，2023年，2月20日，星期六304.概率密度

(x>0区)x>0区(E<U0)粒子出现的概率0U0

x

概率

本征波函数概率密度第31页，共58页，2023年，2月20日，星期六31经典：电子不能进入E<U的区域(因动能0)量子：电子可透入势垒

若势垒宽度不大则电子可逸出金属表面在金属表面形成一层电子气EU0Ψ2透射Ψ1入射+反射xⅡ区Ⅰ区0第32页，共58页，2023年，2月20日，星期六32二、有限宽势垒和隧道效应隧道效应EΨ1Ψ20aU0xⅠ区Ⅱ区Ⅲ区x=aΨ3第33页，共58页，2023年，2月20日，星期六33隧道效应EΨ1Ψ20aU0xⅠ区Ⅱ区Ⅲ区Ψ3振幅为

波穿过势垒后将以平面波的形式继续前进()称为势垒穿透或隧道效应第34页，共58页，2023年，2月20日，星期六34经典量子隧道效应第35页，共58页，2023年，2月20日，星期六351.穿透系数穿透系数会下降6个数量级以上当势垒宽度

a约50nm以上时此时量子概念过渡到经典第36页，共58页，2023年，2月20日，星期六36量子物理：粒子有波动性遵从不确定原理粒子经过II区和能量守恒并不矛盾只要势垒区宽度x=a不是无限大粒子能量就有不确定量Ex=a很小时

P和E很大2.怎样理解粒子通过势垒区经典物理：从能量守恒的角度看是不可能的第37页，共58页，2023年，2月20日，星期六37三、隧道效应的应用隧道二极管金属场致发射核的衰变…1.核的衰变UTh+He2382344粒子怎么过去的呢?通过隧道效应出来的对不同的核算出的衰变概率和实验一致rRU35MeV4.25MeV0<<势垒高度第38页，共58页，2023年，2月20日，星期六382.扫描隧道显微镜（STM）（ScanningTunnelingMicroscopy）STM是一项技术上的重大发明

用于观察表面的微观结构（不接触、不破坏样品）原理：利用量子力学的隧道效应1986.Nob：鲁斯卡（E.Ruska）1932发明电子显微镜宾尼（G.Binning）罗尔（Rohrer）发明STM第39页，共58页，2023年，2月20日，星期六39U0U0U0ABdE电子云重叠隧道电流iABUd探针样品A——常量——样品表面平均势

垒高度（~eV）d~10A。d变

i变反映表面情况第40页，共58页，2023年，2月20日，星期六40隧道电流反馈传感器参考信号显示器压电控制加电压扫描隧道显微镜示意图第41页，共58页，2023年，2月20日，星期六41某种型号的扫描隧道显微镜第42页，共58页，2023年，2月20日，星期六42第43页，共58页，2023年，2月20日，星期六43第44页，共58页，2023年，2月20日，星期六44基于STM工作原理或扫描成像方法的派生显微镜系列原子力(AFM)磁力分子力显微镜等等

用AFM得到的癌细胞的表面图象“原子和分子的观察与操纵”--白春礼P.98图4-8第45页，共58页，2023年，2月20日，星期六45操纵原子不是梦“原子书法”1994年中国科学院科学家“写”出的平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米“原子和分子的观察与操纵”--白春礼插页彩图13硅单晶表面直接提走硅原子形成2纳米的线条第46页，共58页，2023年，2月20日，星期六46“扫描隧道绘画”一氧化碳“分子人”“原子和分子的观察与操纵”--白春礼P.151图7-8CO分子竖在铂片上分子人高5nm第47页，共58页，2023年，2月20日，星期六471993年美国科学家移动铁原子，铁原子距离0.9纳米“量子围栏”48个铁原子排列在铜表面证明电子的波动性第48页，共58页，2023年，2月20日，星期六48§5一维谐振子一、势函数二、薛定谔方程及解三、与经典谐振子的比较第49页，共58页，2023年，2月20日，星期六49谐振子不仅是经典物理的重要模型也是量子物理的重要模型如：黑体辐射场量子化第50页，共58页，2023年，2月20日，星期六50一、势函数选线性谐振子的平衡位置为坐标原点以坐标原点为零势能点则一维线性谐振子的势能为：m是粒子的质量k是谐振子的劲度系数是谐振子的角频率第51页，共58页，2023年，2月20日，星期六51二、薛定谔方程及解解得：n=0,1,2,…第52页，共58页，2023年，2月20日，星期六52线性谐振子波函数线性谐振子位置概率密度第53页，共58页，2023年，2月20日，星期六53线性谐振子n=11时的概率密度分布虚线代表经典结果经典谐振子在原点速度最大停留时间短粒子出现的概率小在两端速度为零出现的概率最大

第54页，共58页，2023年，2月20日，星期六54xn很大EnE1E2E00U(x)能量特点：(1)量子化等间距

符合不确定关系概率分布特点:

E<U区有隧道效应(2)有零点能第55页，共58页，2023年，2月20日，星期六55跃迁只能逐级进