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反证法之几何证明专题例1.已知：AB、CD是0O内非直径的两弦（如图1）,求证AB与CD不能互相平分。证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非。O直径,可判定M不是圆心O,连结OA、OB、OM。•.•OA=OB,M是AB中点・•・0M丄AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）同理可得：OM丄CD,从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM这与已知的定理相矛盾。故AB与CD不能互相平分。例2.已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，且MN=殳（AD+BC）。求证：AD〃BC证明：假设AD°BC，连结ABD,并设P是BD的中点，再连结MP、PN。在厶ABD中•.•BM=MA,BP=PD.•.Mpg2AD，同理可证PN童2BC从而MP+PN=2(AD+BC) ①这时，BD的中点不在MN上若不然，则由MN〃AD,MN〃BC,得AD〃BC与假设AD°BC矛盾,于是M、P、N三点不共线。从而MP+PN>MN②由①、②得2(AD+BC)>MN,这与已知条件MN=2(AD+BC)相矛盾，故假设AD"BC不成立，所以AD〃BC。练习1．求证：三角形中至少有一个角不大于60°。2．求证：一直线的垂线与斜线必相交。已知：设m,n分别为直线1的垂线和斜线(如图)，垂足为A,斜足为B求证：m和n必相交。

3.在厶ABC中，AD丄BC于D,BE丄AC于E,AD与BE相交于H,求证：AD与BE不能被点H互相平分。求证：直线与圆最多只有两个交点。求证：等腰三角形的底角必为锐角已知：AABC中，AB=AC求证：ZB、ZC必为锐角。参考答案：1.证明：假设△ABC中的ZA.ZB.ZC都大于60°则ZA+ZB+ZC>3x60°=180°这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。故三角形中至少有一个角不大于60°。证明：假设m和n不相交则m〃nTm丄1.*.n丄1这与n是1的斜线相矛盾，所以假设不能成立。故m和n必相交。证明：假设AD、BE被交点H互相平分，则ABDE是平行四边形。.•・AE〃BD,即卩AC〃BC这与AC、BC相交于C点矛盾，故假设AD、BE被交点H平分不能成立。所以AD与BE不能被点H互相平分。证明：假设一直线1与。O有三个不同的交点A、B、C,M、N分别是弦AB、BC的中点。•.•OA=OB=OC••・在等腰AOAB和厶OBC中OM丄AB,ON丄BC从而过O点有两条直线都垂直于1,这是不可能的，故假设不能成立。因此直线与圆最多只有两个交点。证明：假设ZB.ZC不是锐角，则可能有两种情况：(l)ZB=ZC=90。(2)ZB=ZC>90。若ZB=ZC=90。，则ZA+ZB+ZC>180。，这与三角形内角和定理矛盾。若

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