数理统计的几个基本概念

数理统计的几个基本概念第1页，共39页，2023年，2月20日，星期六数理统计发展简史1662年格朗特《关于死亡公报的自然和政治观察》（1）提出了“数据简约”的思想；（2）指出了数据的可信性问题；（3）统计比率的稳定性概念；（4）引进了生命表的概念。创新思想：第2页，共39页，2023年，2月20日，星期六“贝叶斯提出了一种归纳推理的理论，以后被一些统计学者发展为一种系统的统计推断方法，称为贝叶斯方法.”──摘自《中国大百科全书》贝叶斯(1702─1761)贝叶斯公式、贝叶斯风险、贝叶斯决策函数、贝叶斯决策规则、贝叶斯估计量、贝叶斯方法、贝叶斯统计

第3页，共39页，2023年，2月20日，星期六

“他的思想深入数学、空间、大自然的奥秘.……他推动了数学的进展直到下个世纪.”──摘自慕尼黑博物馆高斯画像下的诗句

“高斯是世界上最伟大的数学家.”

——拉普拉斯高斯(1777-1855)第4页，共39页，2023年，2月20日，星期六“高尔顿等人关于回归分析的先驱性的工作，以及时间序列分析方面的一些工作，…是数理统计学发展史中的重要事件.”──摘自《中国大百科全书》高尔顿(1822─1911)第5页，共39页，2023年，2月20日，星期六现代统计学的奠基人，公认为统计学之父。皮尔逊(1857～1936)第6页，共39页，2023年，2月20日，星期六“费希尔是使统计学成为一门有坚实理论基础并获得广泛应用的主要统计学家之一.”

──摘自《中国大百科全书》费希尔(1890—1962)第7页，共39页，2023年，2月20日，星期六“内曼与皮尔逊在1928—1938年期间发表了一系列文章，建立了假设检验的一种严格的数学理论.”──摘自《中国大百科全书》内曼(1894—1981)第8页，共39页，2023年，2月20日，星期六“从1938年到1945年,许（宝騄）所发表的论文处在多元分析数学理论发展的前沿.…许推进了矩阵论在统计理论中的作用,同时也证明了有关矩阵的一些新的定理.”

──安德逊许宝禄(1910─1970)

“我不希望自己的文章登在有名的杂志上而出名，我希望杂志因为登了我的文章而出名。”第9页，共39页，2023年，2月20日，星期六统计的应用领域统计学经济学管理学医学工程学社会学…第10页，共39页，2023年，2月20日，星期六actuarialwork

(精算)

agriculture

(农业)animalscience

(动物学)

anthropology

(人类学)archaeology

(考古学)

auditing

(审计学)crystallography

(晶体学)

demography

(人口统计学)dentistry(牙医学)

ecology

(生态学)econometrics(经济计量学)

education(教育学)electionforecastingandprojection

(选举预测和策划)engineering(工程)

epidemiology(流行病学)finance

(金融)fisheriesresearch

(水产渔业研究)gambling(赌博)

genetics

(遗传学)geography

(地理学)

geology

(地质学)historicalresearch

(历史研究)

humangenetics

(人类遗传学)第11页，共39页，2023年，2月20日，星期六hydrology

(水文学)

Industry

(工业)linguistics

(语言学)

literature(文学)manpowerplanning

(劳动力计划)managementscience

(管理科学)marketing(市场营销学)

medicaldiagnosis

(医学诊断)meteorology(气象学)

militaryscience

(军事科学)nuclearmaterialsafeguards

(核材料安全管理)ophthalmology(眼科学)

pharmaceutics

(制药学)physics(物理学)

politicalscience

(政治学)psychology

(心理学)

psychophysics

(心理物理学)qualitycontrol

(质量控制)

religiousstudies

(宗教研究)sociology

(社会学)

surveysampling

(调查抽样)taxonomy(分类学)

weathermodification

(气象改善)第12页，共39页，2023年，2月20日，星期六第一节数理统计的几个基本概念1总体与样本2统计量第13页，共39页，2023年，2月20日，星期六1总体与样本

第14页，共39页，2023年，2月20日，星期六

一个统计问题总有它明确的研究对象.1.总体（population）研究对象的全体称为总体，总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.总体中每个成员称为个体，第15页，共39页，2023年，2月20日，星期六因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来.总体可以用随机变量及其分布来描述.

在实际研究中,我们关心的是总体中的个体的某个或某些指标(如人的身高、灯泡的寿命,汽车的耗油量…).第16页，共39页，2023年，2月20日，星期六

例1

研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X

表示，或用其分布函数F(x)表示.某批灯泡的寿命总体寿命X可用一概率（指数）分布来刻划第17页，共39页，2023年，2月20日，星期六

类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数F(x,y)来表示.统计中，总体就是一个概率分布.第18页，共39页，2023年，2月20日，星期六2.样本（sample）(1)定义

为了解总体的分布,从总体中随机地取n个有代表性的个体X1,…,

Xn

,称X1,…,Xn为总体的一个样本;n称为样本容量.

在实施抽样之后，得到

n个实数x1,…,

xn,它们分别是X1,…,Xn的观测值，称为样本值，有时简称样本.第19页，共39页，2023年，2月20日，星期六注:样本的二重性1.样本是随机变量

:X1,X2,…,Xn2.样本是一组数值

:x1,x2,…,xn第20页，共39页，2023年，2月20日，星期六例.

啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为640g,由于随机性,事实上不可能使得所有的啤酒净含量均达到标准.现从某厂生产的啤酒中随机地抽取10瓶测定其净含量,记为X1，X2，…，X10，具体结果如下：641635640637642638645643639640这是一容量为10的样本的观测值,对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量.第21页，共39页，2023年，2月20日，星期六最常用的一种抽样叫作“简单随机抽样”，其特点：1.代表性：X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有相同的分布.2.独立性：X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，它可以看成是n个相互独立且与总体同分布的随机变量X1,X2,…,Xn.(2)简单随机抽样

简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.第22页，共39页，2023年，2月20日，星期六=F(x1)F(x2)…F(xn)

若总体X的分布函数为F(x),则其简单随机样本(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数为第23页，共39页，2023年，2月20日，星期六

若总体X为离散型,分布列为其简单随机样本的联合概率分布列为

若总体X为连续型,分布密度为p(x;θ),其简单随机样本的联合概率密度函数为以后统一称为概率函数.第24页，共39页，2023年，2月20日，星期六例1设总体X~B(1,p)，设X1,X2,

X3

是来自总体X

的一个样本，（1）写出（X1,X2,

X3）的（联合）概率函数；（2）

求X1+X2+

X3

的概率分布。第25页，共39页，2023年，2月20日，星期六总体（理论分布）？样本

样本值

统计是从手中已有的资料——样本值，去推断总体的情况——总体分布F(x)的性质.

总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.样本是联系二者的桥梁注：总体、样本、样本值的关系第26页，共39页，2023年，2月20日，星期六2统计量第27页，共39页，2023年，2月20日，星期六定义

设X1,…,

Xn

是来自总体X

的一个样本，若样本函数T=T(X1,…,Xn)不含任何未知参数，则称T

是一个统计量。统计量的分布称为抽样分布。2.1定义第28页，共39页，2023年，2月20日，星期六2.2.常用统计量1样本均值1、定义：设X1,X2,……,Xn是取自某总体的样本，其算术平均值称为样本均值，即：它反映了总体均值的信息第29页，共39页，2023年，2月20日，星期六

定理1样本均值的分布

设X1,X2,…,Xn是来自某个总体X

的样本，

（1）若总体分布为，则

（2）若总体分布未知或不是正态分布，但

则的渐近分布为。（大样本场合）第30页，共39页，2023年，2月20日，星期六n取不同值时样本均值的分布注:第31页，共39页，2023年，2月20日，星期六总体：样本：考虑投掷n

次，X1,…,Xn

表示第i次投掷情况，样本均值：样本值：投掷100次后，得到正面的次数为51次，样本均值：第32页，共39页，2023年，2月20日，星期六2.2样本方差1、定义：设X1,X2……,Xn是取自某总体的样本，则称为样本方差，其算术平方根

S

称为样本标准差。它反映了总体方差的信息第33页，共39页，2023年，2月20日，星期六注：定义中的n是样本容量,称为偏差平方和,n-1称为自由度.即自由变动的