山东省淄博市沂源县悦庄第一中学2021-2022学年高一数学文期末试题含解析

山东省淄博市沂源县悦庄第一中学2021-2022学年高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.方程lgx﹣sinx=0根的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【分析】由方程lgx﹣sinx=0得lgx=sinx，然后分别作出函数y=lgx和y=sinx的图象，即可判断方程根的个数．【解答】解：∵lgx﹣sinx=0，∴lgx=sinx，然后分别作出函数y=lgx和y=sinx的图象，如图：∵lg10=1，∴由图象可知两个函数的交点有3个，即方程lgx﹣sinx=0根的个数为3个．故选：C．2.设全集U={x|x＜4，x∈N}，A={0，1，2}，B={2，3}，则B∪?UA等于(

)A．{3} B．{2，3} C．? D．{0，1，2，3}参考答案：B【考点】全集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先求出全集U={3，2，1，0}，然后进行补集、并集的运算即可．【解答】解：U={3，2，1，0}；∴?UA={3}；∴B∪?UA={2，3}．故选：B．【点评】考查描述法和列举法表示集合，以及全集的概念，补集、并集的运算．3.设圆的方程为，直线的方程为

()，圆被直线截得的弦长等于

(

)(A)

(B)

(C)

(D)与有关参考答案：A4.已知f(x)=log2x+2,x?[1,4],则函数F(x)=[f(x)]2+f(x2)+3的最大值为(

)(A)13

(B)16

(C)25

(D)22参考答案：B5.已知f（x）=3（[x]+3）2﹣2，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[3.1]=3，则f（﹣3.5）=（）A．﹣2 B．﹣ C．1 D．2参考答案：C【考点】函数的值．【分析】根据[x]的定义求出[﹣3.5]的值，代入解析式求解．【解答】解：根据题意得，[﹣3.5]=﹣4，则f（﹣3.5）=3（[﹣3.5]+3）2﹣2=3﹣2=1，故选C．6.有五条线段长度分别为，从这条线段中任取条，则所取条线段能构成一个三角形的概率为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B7.（5分）下列说法正确的是（） A． 幂函数的图象恒过（0，0）点 B． 指数函数的图象恒过（1，0）点 C． 对数函数的图象恒在y轴右侧 D． 幂函数的图象恒在x轴上方参考答案：C考点： 幂函数的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用对数函数、指数函数、幂函数的性质，对四个结论依次进行分析判断，能求出结果．解答： 幂函数y=xa中，当a＜0时，它的图象不过（0，0）点，故A错误；指数函数的图象恒过（0，1）点，故B错误；由对数函数的性质知对数函数的图象恒在y轴右侧，故C正确；幂函数y=xa中，当a=1时，y∈R，故D错误．故选：C．点评： 判断一个命题为真命题时，要给出严格的证明；判断一个命题为假命题时，只需举出一个反例即可．8.已知等差数列{an}，，则公差d=（

）A.－2 B.－1 C.1 D.2参考答案：C【分析】利用通项得到关于公差d的方程，解方程即得解.【详解】由题得.故选：C【点睛】本题主要考查数列的通项的基本量的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D试题分析：当时,与函数只有一个交点,不合题设,故应排除A,C；当时,与函数没有交点,故应排除B,故应选D.考点：指数函数的图象和性质的综合运用.【易错点晴】逐一验证的思想和数形结合思想是中学数学中的重要知识点和思想方法之一,也高考命题的重考查的重要考点.本题以含绝对值符号的指数函数的解析式满足的方程有两个不等式的实数根为背景,考查的是解方程的能力及分类整合思想的灵活运用.求解时要充分运用逐一验证法对题设中所提供的四个选择支进行筛选判断,最后使得问题获解.10.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，，，这个长方体对角线的长是（）A．2 B．3 C．6 D．参考答案：D【考点】棱柱的结构特征．【分析】设出长方体的三度，利用面积公式求出三度，然后求出对角线的长．【解答】解：设长方体三度为x，y，z，则．三式相乘得．故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直三棱柱中的每一个顶点都在同一个球面上，如果,,,那么、两点间的球面距离是

参考答案：

12.已知向量，,,且、、三点共线，则=_________参考答案：略13.对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，定义函数，则下列命题中正确的是

______(填题号)①函数的最大值为1；②函数的最小值为0；③函数有无数个零点；④函数是增函数参考答案：(2)(3)略14.若函数是函数的反函数，则

.参考答案：15.一个空间几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是一个的圆，尺寸如图，那么这个几何体的侧面积为

．参考答案：16.（5分）若上的投影为

．参考答案：考点： 向量的投影；平面向量数量积的含义与物理意义．专题： 计算题．分析： 先求出，然后求出得两向量的数量积，再求得向量的模，代入公式求解．解答： ∵∴在方向上的投影为=﹣=﹣=﹣．故答案为：点评： 本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用，属于基础题．17.下列四个命题：（1）函数在时是增函数，时也是增函数，所以是增函数；（2）若函数与轴没有交点，则且；（3）的递增区间为；（4）和表示相同函数.（5）若函数，当时，方程有且只有一个实数根其中正确的命题是

.参考答案：（5）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.过点P（1，4）作圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1的两条切线，切点为A、B．（Ⅰ）求PA和PB的长，并求出切线方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．参考答案：【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；分类讨论；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）求出PC，利用勾股定理求PA和PB的长，分类讨论求出切线方程；（Ⅱ）求出以P（1，4）、C（2，1）为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）PC==∴PA=PB==3

斜率不存在时，切线方程：x﹣1=0，斜率存在时，设方程为y﹣4=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+4=0，圆心到直线的距离d==1，∴k=﹣∴切线方程为4x+3y﹣16=0，综上所述，切线方程为4x+3y﹣16=0或x﹣1=0；（Ⅱ）以P（1，4）、C（2，1）为直径的圆的方程为（x﹣1.5）2+（y﹣2.5）2=2.5，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程为x﹣3y+2=0【点评】本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．19.如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点F为PC的中点．（1）求证：PA∥平面BDF；（2）求证：PC⊥BD．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）设BD与AC交于点O，利用三角形的中位线性质可得OF∥PA，从而证明PA∥平面BDF．（2）由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，依据菱形的性质可得BD⊥AC，从而证得BD⊥平面PAC，进而PC⊥BD．【解答】证明：（1）连接AC，BD与AC交于点O，连接OF．∵ABCD是菱形，∴O是AC的中点．∵点F为PC的中点，∴OF∥PA．∵OF?平面BDF，PA?平面BDF，∴PA∥平面BDF．（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC．又PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC．又∵PC?平面PAC，∴PC⊥BD20.已知正项数列的前项和为，是与的等比中项.（1）求；（2）求证：数列是等差数列；（3）对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值，求数列的前2m项和．参考答案：（1）即当时，，∴，（2）由（1）当时，∴即∵

∴∴数列是等差数列（3）由（2），即为①为奇数，则，②为偶数，则，21.（本题满分14分）已知函数（1）求的最大值和最小值；

（2）求证：对任意，总有；（3）若函数在区间上有零点，求实数C的取值范围.参考答案：解：（1）图象的对称轴为………..1分在上是减函数，在上是增函数…………………2分………4分……………….6分（2）对任意，总有，即…………………….9分（3）因为函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，函数在上有零点时，则

即………………..12分解得