2015年寒假高中数学联赛预习材料几何

（几何部分 年寒假高中数赛预习材(几何部分知识点结 重点难 知识梳 平面几 1、基本定 2、常用定 4、几何变 立体几 1、基本定 解析几 1、直 2、二次曲 3、向 知识点结构圆重点难点，知识梳理1、基本ABPCQAR PCQAB 赛瓦（Ceva）定理（塞瓦点CR三线共点的充要条件是 BPCQARPCQA F ABCDBCDA=ACBD的充要条件是该四边形内接于一ABCDABCD+BCDA≥ACBD等号成立的充要条件是ABCD为圆的内接四边形，称为广义托勒密定理。𝐴𝐵2·𝑃𝐶+𝐴𝐶2·𝐵𝑃=𝐴𝑃2·BC+BP·PC·A PPA、PB、PC，设∠APC=α，∠CPB=β，∠APB=α+β<180º,则A、B、C三点共线的充要条件是：

+

sin(α+= 九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-pointcircle，或圆、哈圆。A

L2与圆交于C、D（可重合），则有反演后的圆和反演圆和被反演的圆3个圆共根2、常用接圆相切于E、F、T。则E、F与△ABCI共线。G、A、H、BGA³HBGB³AH,则称它们为调和分割(harmonicdivision),G、H与A、B称为调和共轭(harmonicconjugate).3、设调和四边形ABCD中，对角线AC与过B、D两点的四边形ABCD外接圆的切线所共的点记为P，记APBDQ，则AQ为△ABD的一条配位中线，A、Q、C、P四点为调和点列；取对角线ACM，设四边形ABCDOB、P、D、E、F，三条对角线AF、DE、BC。XAFAFBEYCDZQRP条轴上，此线称为完全四边形的垂足线。垂足线与线垂直。则3、三角形的巧合点垂4、几何在平面内设有一半径为R，中心为O的圆，对任一异于O点的P点，将其变换成该OP上一点P，且使=R，这个变换叫做平面反演变换O叫做反演基圆，圆心O叫做反演中心或反演极，R叫做反演半径或反演幂。配极原则：如果点A的极线过点B，那么点B的极线过点A5、几何不等式在凸四边形ABCD中，有+BDA≥ACBD等号成立的充要条件是ABCD为圆的内接四边形，称为广义定理。设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d2=（3）多斯—（Erdiss—Mordell）不等在ABC内部任取点P，dAdBdC分别表示由点P到顶点A,B,Cdadbdc分别表示由点P到边BC,CAAB的距离，则dAdBdC2dadbdc)设ABC的边长和面积分别为a,b,c和S，则2+2+24√S，当且仅当在ABC中，使PAPBPC为最小的平面上的PBAC120时，A点为费尔马点；当ABC中任一内角都小于120时，则与三边为120的P点为费尔马点。1、基本（1）定理定理定理定理若d为平面上的一条斜线，b为它在平面a内的射影，c为平面a内的一条直线，若cb，则ca．逆定理：若ca，则cb定理直线d是平面a外一条直线，若它与平面内一条直线b平行，则它与平面a定理若直线a与平面α平行，平面β经过直线a且与平面α交于直线b，则a//b定理定理平面α内有两条相交直线a，b都与平面β平行，则//定理平面α与平面β平行，平面=a,=b，则a//b设多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则V+F-E=2如果球心到平面的距离d小于半径R，那么平面与球相交所得的截面是圆面，圆心与球心的连线与截面垂直。设截面半径为r2+2=2．过球心的截面圆周叫做球大圆。经过球一个，三个角之和小于360°33DHABCHS△ABDcos=S△ABH，其中二面D—AB—HФsinsinsin。sin sin sin

cos=coscos+sinsin。cosA=-2、多面体与旋转体棱柱与棱锥的性质长方体与正方体的性质cos2cos2cos2长方体的一条对角线与过一个顶点的三个面所成的角分别是1,2 ，sin2sin2sin2 两所成的小于900的二面角都等于600。四面体与直四面体的性质h1h2、h3h4分别表示各顶点到对面所作的高，有r ，1111S1S2S3 直角四面体中，不含直角的面是锐角三角形，其面积S 2直角四面体六条棱长的和l527l3rS1S2S3S4ab 其中S4表示锐角三角形S1、S2、S3表示三个直角三角形S表示直角四面体的外接球半径为R 2折叠与展开的方法

2 2 ：S1cc'l（c、c'分别是上、下底面周长，l是母线长2等于这个多边形在二面角的另一个半平面上射影多边形的面积S'S'Scos。体积31体积为V

31四面体的体 V31

1cos21cos2cos2cos22coscos61aad 2

3台体的体 ：V1S S'h（S、S'分别是上、下底面面积，h是高3多面体的体积计算：几何体的截面 h2 h锥体的平行于底面的截面性质:11,11 h2 球与多面体的切接问题离为l

sin2R

2 若多面体有内切球，则内切球的半径rS，体积V之间有关系式V1Sr33、空间角和距离的计角的计算（平移法）P作aa，bb，则ababab（aba与b的夹角为900（或002（定义法a在平面内的射影是直线b，则a与ba与a（a//a与的夹角为900（或00a与n所成的角a与所成的角为900或（直接计算）在二面角AB的半平面PABP故PCD为所求的二面

个平面图形F的面积为SF在内的射影图形的面积为S则 S2 S1S（当为钝角时取（异面直线上两点的距离）EF2d2m2n22mncos，其中是平面内且FBABB，而ABdEAmFBn（三面角的余弦定理）SABCBSCCSAASBBSAC，则coscoscossinsin求的二面角为（同类）或（异类距离的计算求

所成的角为 S平面的距离为dAPcos线la与b的距离等于P到l的距离 法）d2EF2m2n21、直线直线方程及性质（1）斜 ky2y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)x2①点斜式yy1k(xx1)(直线lP1(x1y1，且斜率为k②斜截式ykxb(bly③两点式yy1xx1y1y2P(xyP(xyy x (x1x2,y1y2

④⑤

xy1a、ba0、b0 （3）AxByC0的法向量：𝑙𝐴𝐵)⃗𝑙𝐵,;①若l1yk1xb1l2yk2xb2l1||l2k1k2b1b2l1l2k1k21;若l1A1xB1yC10l2A2xB2yC20,A、A、B、B都不为零

i.l||l

1 1

1；②llAABB0A A2

1 1夹角、到角①tan|k21k2

| (l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k2②tan|A1B2A2B1|.(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC2A1A2A1A2B1B20l1到l2的 ①tank2k1.(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21②tanA1B2A2B1.(l:AxByC0,l:AxByC0AAB 1 1A1A2B1B20直线l1l2l1l22共点直线系方程：经过两直线l1A1xB1yC10l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为(A1xB1yC1(A2xB2yC20(除l2)，其中λ是待定的系数．ykxbkbBxAy0,λ

直线F(x,y,)0与线段AB,A(x1,y1),B(x2y2相交F(x1,y1,F(x2y2)06到定点𝑃0(𝑥0,𝑦0)距离为r的直线系方程：xcosθ+ysinθ+r 𝑥0𝑜𝑠𝜃 𝑦0𝑠𝑖𝑛𝜃=其中是待定的系数． （2）d|Ax0By0C|(P(xy,直线l AxByC02、二次圆

(xa)2(yb)2r2x2y2DxEyF0(D2E24FxarybrsinB(x2,y2)

(xx1)(xx2(yy1)(yy20(圆的直径的端点A(x1,y1A(x1,y1B(x2y2(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]xx1xx2yy1yy2(axbyc0,其中axbyc0过直线lAxByC0与圆Cx2y2DxEyF0的交点的圆系方程是x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系数．过圆Cx2y2DxEyF0与圆Cx2y2DxEyF0 交点的圆系方x2y2DxEyF(x2y2DxEy 特别地，当1时，x2y2DxEyF(x2y2DxE 就是 𝐷2)𝑥+ 𝐸2)y+ 𝐹2)=0表示P(x0y0与圆(xa)2yb)2r2的位置关系有若d ，drP在圆外;drP在圆上;drP在圆内.直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种:(d dr相离0;dr相切0;dr相交0dr1r2外离4条公切线;dr1r2外切3条公切线r1r2dr1r220dr1r2x2y2DxEyF0①若已知切点(x0y0)在圆上，则切线只有一条，其方程xxyyD(x0x)E(y0y)F 当(xy

E(yxxyy F0 yy0k(xx0k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．x2y2r2P(xyxxyyr2 ②斜率为k的圆的切线方程ykx x2y2DxEyF0外一点(x0y0的切线长x2x2y2DxEy 圆锥曲线xy xy 0, y22px(pybyby2 e e aX=± cac𝑥/y /PF1e(x )acPF2 x)acPF1|e(x )||aexcPF2| c|PF|=𝑥0+ c|y|b2tan b2cotF/pcpcP（3）2222P(xyx2222

1(ab0x0y01 P(xyxy1(ab0x0y01

x2

y21(ab

x y0 椭圆 上一点P(x,y)处的切线方程是a

xxy0y

0 01(ab0)与直线Ax By A2a2B2b2c2P(xyx2

1(a0,b0)的内部x20y201 P(xyx2

1(a0,b0)的外部x02

1

x2y2y

x2y2

x b 有公共渐近线，可设为a （0，焦点在焦点到渐近线的距离总是by双曲线的切线x2程y

x y 1(a 0, 0 1)双曲线 x2 x0xy0y

上一点P(x,y)处的切线方程是 外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦 x2y21AxBy

A2a2B2b2c2 CDxpxpxx CD 2 sin2(其中αyax2bxca(xb24acb2(a0)顶点坐标为

4ac ) 焦点的坐标为

4acb2 ) 4acb2准线方程是y 1)y22pxP(xyyyp(xx y0yp(xx0)过曲线f1x,y)0f2x,y)0的交点的曲线系方程是f1(x,yf2xy)0 共焦点的有心圆锥曲线系方程a2 b2

max{a,b}.当kmin{a2,b2min{a2,b2kmax{a2,b2}AB (1k2)[(x2x1)24x2(1k2)[(x2x1)24x21cot2 A(xyB(x

ykxF(x,y)

消去yax2bxc00,直线AB的倾斜角，k为直线的斜率，|xx F(x,y0关于P(x0y0F(2x0-x,2y0y)02A(AxBy 2B(AxByF(x

A2

,y

A2

)0曲线F(