2023年高考理数模拟试卷（全国甲卷）含答案

高考理数模拟试卷（全国甲卷）一、选择题1．已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（）A．复数z的模为B．复数z的共轭复数为C．复数z的虚部为D．复数z在复平面内对应的点在第一象限2．耀华中学全体学生参加了主题为“致敬建党百年，传承耀华力量”的知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（）A．直方图中x的值为0.004B．在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人C．估计全校学生的平均成绩为84分D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分3．设集合，，则（）A． B．C． D．4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是（）A．6 B． C． D．5．函数在上的图像为（）A．B．C．D．6．函数f（x）的图象与其在点P处的切线如图所示，则等于（）A．－2 B．0 C．2 D．47．已知棱柱为正四棱柱，底面正方形的边长为2，正四棱柱外接球的体积为，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是，其中a，b，c是的内角A，B，C的对边，若，且，则面积S的最大值为（）A． B． C． D．9．用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当该圆锥形容器的容积最大时，扇形的圆心角为（）A． B． C． D．10．已知双曲线的右焦点为F，双曲线C的右支上有一点P满足(点O为坐标原点)，那么双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．11．已知函数有两个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知，，，则它们的大小关系正确的是（）A． B． C． D．二、填空题13．已知向量满足：，则.14．直线l：被圆C：截得的弦长为，则m的值为.15．小明给朋友发拼手气红包，1毛钱分成三份（不定额数，每份是1分的正整数倍），若这三个红包被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲同学抢到5分钱的概率为．16．在中，，为的中点，，则面积的最大值为.三、解答题17．已知在各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项．（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D是BC的中点.（1）证明：平面.（2）求直线AC与平面所成角的正弦值.19．2021年12月，新冠疫情的严重反弹，扰乱了西安市民乃至陕西全省人民正常的生活秩序，各行各业的正常生产、运营受到严重影响，相关部门，为了尽快杜绝疫情的扩散，果断实施了小区封控、西安市区封城、市民足不出户等有效措施.2022年1月下旬小区相继解封.某销售商场为尽快弥补疫情带来的损失，推行高档电器“大屏幕电视机、冰箱和洗衣机”三种商品的抢购优惠促销活动.活动规则是：人人都可以参加三种商品的抢购，但每种商品只能抢购一次一件；优惠标准是：抢购成功者，大屏幕电视机优惠800元；冰箱优惠500元；洗衣机优惠300元，张某参加了这次抢购且三种商品都抢购，假设抢购成功与否相互独立，抢购三种商品成功的概率顺次为、、，已知这三种商品都能抢购成功的概率为，至少一种商品能抢购成功的概率为.（1）①求、的值；②求张某恰好抢购成功两种商品的概率.（2）求张某抢购成功获得的优惠总金额的分布列和数学期望.20．已知抛物线上有一动点，过点作抛物线的切线交轴于点．（1）判断线段的中垂线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；（2）过点作的垂线交抛物线于另一点，求的面积的最小值．21．设函数．（1）求函数的单调区间；（2）若存在两个极值点，，证明：．四、选考题请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．已知曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）射线与曲线相交于两点，求的值.23．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围.

1．D2．C3．D4．C5．A6．D7．D8．B9．D10．D11．D12．B13．14．1或915．16．17．（1）解：因为数列为各项均为正数的等差数列，所以，即得，设公差为，则有，，，又因为，，构成等比数列的前三项，所以，即，解得或（舍去），所以，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，故得，由题意得，，，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故（2）解：设，则①，在上式两边同时乘以2得，，②，得，，，所以18．（1）证明：连接，交于O，连接OD.因为O是的中点，D是BC的中点，所以OD是的中位线，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）解：因为平面ABC，，可以D为坐标原点，以，的方向分别x，y轴的正方向，平行于为轴，向上为正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，.设平面的法向量为，则令，得.因为，所以，故直线AC与平面所成角的正弦值为.19．（1）解：①由题意得即解得：②设“张某恰好抢购到两种商品”为事件.则抢购到大屏幕电视机和冰箱且没有抢购到洗衣机，或抢购到冰箱和洗衣机且没有抢购到大屏幕电视机，或抢购到大屏幕电视机和洗衣机且没有抢购到冰箱.∴.即张某抢购成功两种商品的概率为（2）解：的可能取值为0，300，500，800，1100，1300，1600，，，，，，∴张某抢购成功获得的优惠总金额的分布列为0300500800110013001600张某抢购成功获得的优惠总金额的数学期望为（元）20．（1）解：设直线的方程为，和抛物线方程联立得：，由，得，则的解为，由得，，得，在中，令得，所以，中点为，所以线段的中垂线方程为，所以线段的中垂线过定点.（2）解：由（1）可知，直线的方程为将其与抛物线方程联立得：，，，.所以的面积为，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以时，.21．（1）解：的定义域为，，令，当≤时，即≥时，在上递增，当时，即时，，解得，，当时解得，或，所以函数在，上单调递增，当时解得，，所以函数在上单调递减.综上，当≥时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.（2）证明：由（1）可知，存在两个极值点，，即，，为方程的两个不等正实根，，．要证成立，只需证即证，即证，即证，设，即证-令，即证，设，，在上递增，，所以成立