实验数学十三标尺刻度的设计

实验数学十三标尺刻度的设计1第1页，共16页，2023年，2月20日，星期六

由于经常注油和取油，有时很难知道油罐中剩油的数量。这给现有储油量的统计带来很大的麻烦。显然，将剩油取出计量是不现实的。因此，希望能设计一个精细的标尺：工人只需将该尺垂直插入使尺端至油罐的最底部，就可以根据标尺上的油痕位置的刻度获知剩油量的多少。这是一个来自油田的问题。

2第2页，共16页，2023年，2月20日，星期六13.3数学模型设圆柱的底面半径为R，长度为L；而圆锥的底面半径也是R，高为A。若标尺被油浸湿位置的高度为H，而此时罐内的油量为V。那么我们的问题归结为求出函数换言之，要求油量函数的反函数。3第3页，共16页，2023年，2月20日，星期六由于对称性，我们只要研究的情形就行了。13.4问题的解法Ⅰ．求油量函数的解析方法其中和分别为相应圆柱和圆锥（一侧部分）中的储油量。先求。

4第4页，共16页，2023年，2月20日，星期六设圆柱体截面中储油部分对应的弓形区域面积为S(H)，弓形对应的圆心角的一半为

那么易得利用三角函数表达式，就有5第5页，共16页，2023年，2月20日，星期六6第6页，共16页，2023年，2月20日，星期六再求

设与圆锥体底面平行且距底面x处的截面上表示储油部分的弓形区域面积为Q，那么和前面S不同的是：Q不仅与H有关，而且与x有关。设该弓形的半径为r高为h，由几何关系（见图13.3）不难看出：

从而得到7第7页，共16页，2023年，2月20日，星期六于是类似于S的求法，有通过作变换8第8页，共16页，2023年，2月20日，星期六

这个积分虽然比较复杂，但还是可以积出来，建议读者自己进行计算，也可以借助数学软件。具体结果为从而可知9第9页，共16页，2023年，2月20日，星期六综合（13.4）、（13.6）和（13.11）三式，就有10第10页，共16页，2023年，2月20日，星期六Ⅱ．刻度位置函数的求法

显然，要由油量函数的解析表达式（13.12）来解析地求出反函数H(V)的显式表示是不可能的。介绍两种近似方法。1．插值法将区间[0，R]作如上等分：

那么由式（13.12）可以求得V在各分点的值：现在的问题是：如果给出油量V*，如何确定（求出）相应的标尺刻度位置H*？而这实际上是求方程的根。11第11页，共16页，2023年，2月20日，星期六（1）线性插值

设，在此区间上用线性函数近似H(V)，则有（2）二次插值先找出最接近的V*的用二次函数近似H(V)，则有，然后在插值方法还有多种，这里介绍的是最简单的。

12第12页，共16页，2023年，2月20日，星期六2．二分法综上所述，可以将标尺刻度设计的过程归纳为：步骤一把区间[0，R]依精度需要分成n等份，得剖分点；其中利用公式（13.12）算出刻度位置处相应的油量。

步骤二根据所需的各油量读数所在上一步骤中的某一油量区间，通过插值或二分逼近法获得相应的刻度位置值。13第13页，共16页，2023年，2月20日，星期六五、数值实例现在我们以（单位：m）为例进行实际计算。（1）求油量函数的值取，由油量表达式（16.12）可得计算结果如表13.1所示。

00.00.00000.00000.000010.10.29360.00230.298220.20.81750.01280.843130.31.47750.03431.546140.42.23650.06822.372950.53.07090.11533.301560.63.96340.17544.314270.74.89960.24815.395880.85.86740.33206.531490.96.85570.42497.7055101.07.85400.52368.901214第14页，共16页，2023年，2月20日，星期六（2）用插值法求刻度位置的值

这里我们仅求对应的H*的值。

由式（13.14）得线性插值近似值为而由式（13.15）得二次插值近似值为两种插值得到的结果有相同的两位有效数字，说明线性插值在此已有了相当的精度。15第15页，共16页，2023年，2月20日，星期六（3）用二分法