2023年高考数学第11章分类与整合的思想方法

第11章分类与整合的思想方法

数学家笛卡尔指出：“把你所考虑的每一个问题,按照可能和需要,分成若干部分，使它们更

易于求解.”即在遇到复杂问题难以统一处理时,可以把问题划分成有限多个子问题，然后再有

针对性地逐一解决,最后把各个子问题的结论归纳起来,得到整个问题的结论,这就是分类与整

合的思想方法，又称之为逻辑分类法.运用分类与整合思想方法的好处是就每一个子问题而言，

原来问题中的某些不确定的因素变成了确定的因素，使问题的解决有了新的重要前提条件,从而

使解题过程变得顺畅起来.

高中数学涉及逻辑分类法的题型以字母参数的讨论为主，但涉及讨论的内容与范围广泛得

多，大致有以下6个方面：

(1)从问题涉及的数学概念、性质等进行分类与整合.

(2)从定理、公式,法则的适用范围进行分类与整合.

(3)从平面上点的位置或图形变化进行分类与整合.

(4)从参数的不同取值进行分类与整合,对含双参数问题,必须分级进行分类与整合.

(5)从解题过程中出现的不同情况进行分类与整合.

(6)结论是选择，判断的命题,按可能出现的情况进行分类与整合.

施行分类与整合的关键在于正确选择分类标准,对于同一问题的研究对象可以有不同的分

类标准:可以按问题的解(结论不同)或题设条件不同而分类;可以按解决的特征来分类;可以按

有关概念的特征(本身是分类定义的)分类;可以按图形的相对位置分类;可以按有关参数所满足

的条件分类;可以按一些公式,法则，定理应用的范围分类……总之,要针对问题具体分析.

确定了分类标准，进行分类时还要遵循下列原则.

(1)范围的确定性:在分类讨论前必须首先明确要进行分类的范围，如果范围不清,就会造成

分类错误，导致在正确范围以外作出错误的讨论.

(2)划分的完整性:各分类的总和要正好等于被划分的全部对象,不能遗漏或超出.

(3)分类的互斥性:两个不同分类之间不应该有公共部分,即它们的交集为空集.

(4)划分的层次性:有些问题并不是一次分类就可以完全分析清楚的,而是需要逐级

(5)每次划分标准的同一性:每一次分类要用同一个确定的标准,分类标准在没有贯彻到底

之前,不允许改变分类标准，即不能在同一次划分中用两个或两个以上标准进行分

二分法是分类中常用的一种方法,它是把被分类的对象或涉及的范围按具有或不具有某个

属性,分为互相矛盾的两类,运用二分法可以使解题过程显得简捷.

需要进行分类与整合讨论的问题，解题过程往往比较繁几,这就促使我们去探究简化和避免

分类讨论的技巧.

分类与整合思想解题的实质是“化整为零，各个击破,再积零为整”的思维策略，但同时还

要注意充分挖掘求解问题中潜在的特殊性和简单性，尽可能消除“讨论因素”，灵活地采用相应

的解题策略，适当作一点“技术处理”，简化或避免分类讨论,往往能给解题带来事半功倍之效.

避免分类讨论常见的解题策略有:直接回避、消去参数、变更主元、巧用公式，整体考虑、反客

为主、正难则反,数形结合等.

第五十九讲分类讨论是一种重要的解题策略

分类讨论是数学中一种重要的思想方法，也是一种重要的解题策略,特别是对于含参数字母

的问题，由于这类问题的结论大多数是随参数的变化而变化的,故问题的解答不唯一,因此,当解

题进行到某一步后不能再以同一方式处理或统一的形式叙述,这时就必须根据参数字母不同的

取值范围区别对待，即必须在参数字母总的取值范围(全集)内正确划分成若干个分区域(子集)，

在各个分区域内方能继续进行解题,有些含参数讨论题，由于所含的参数不止一个，故这类问题

要通过多级分类逐级讨论，即在每一个类中还可以继续划分更小的类,直到每一类中能使问题得

到解决为止.当然,分类讨论不局限于字母参数，也有对具体问题可能出现的不同情况进行分类.

数学之美在于简捷,分类要力求简捷.

分类讨论的解题步骤如下：

(1)确定讨论的对象；

(2)确定讨论对象的取值范围(全集)

(3)划分子区域(子集)；

(4)对于参数字母多于一个的问题则要进行逐级分类,解题时要特别注意讨论的层次,避免

重复讨论或讨论不全等现象；

(5)对每个子区域讨论的结果整合起来作出结论.

其中第(5)步非常重要，分类是把整体化为部分，整合是把各部分加以归纳总结，有“分”必

有“合”，因为我们研究的是问题的全体,所以必须做到有“分”有“合”，先“分”后“合”，

这不仅是分类与整合的思想解决数学问题的主要过程,也是分类与整合思想的本质属性,数学思

维应当注重过程的严谨性与周密性.

使用分类讨论思想解题时应当注意以下几点：

(1)要有明确的分类标准，所选择的分类标准不同就会有不同的分类方向，尽量合理

(2)一旦选定一种分类标准,就必须从同一标准出发,对讨论对象分类层次分明，不重

(3)当讨论的对象不止一种时,应分层次进行,分大类时有一个统一的标准,每一大类中再

分儿小类另有统一的标准.

(4)注意把握问题发展的本质趋向,根据解题形势发展的需要,选择分类讨论的时机.

(5)在重视分类讨论思想应用的基础上，应防止“逢参就论”的倾向，能整体处理，可避免

讨论的则尽量避开,才是解题的上策.

本讲就从近年来的高考真题来看分类讨论思想方法在解题中的重要作用.

例1(2018年高考数学全国卷吕第21题)

已知函数/(x)=(2+x+ox2)[n(l+x)-2x.

(1)若a=O,证明：当一l<x<0时，/(%)<0;当》>0时，/(x)>0;

(2)若x=0是/(%)的极大值点,求a.

解题策略第⑴问通过求导研究函数的单调性即可证明；第((2)问，根据函数取得极值的条

件,建立关于“的式子求解.在求解过程中，两问都需要实施分类讨论，第(1)问需要对自变量的

取值范围进行分类讨论，第(2)问必须对参数。的取值范围进行分类讨论.

，X.

解：(1)证明当。=0时，f(x)=(2+x)ln(l4-x)-2Xf(x)=ln(l+x)------.

91+x

设函数g(x)=/(x)=ln(l+x)-----,则g(x)=―:一

1+x(1+xy

当一l<x<0时，g'(x)<0；当x>0时g'(x)>0.

故当x>—1时,g(x)..g(0)=0,

且仅当x=0时，g(x)=0,从而f(x)..O,且仅当x=0时，/(x)=0,

.•./(X)在(一1,+e)单调递增.

又―/(0)=0,故当—l<x<0时，/(x)<0;当x>0时，/(x)>0.

(2)①若a..0,由(1)知，当X〉0时，/(X)..(2+x)ln(l+x)-2x>0=/(0),这与x=0是

f(x)的极大值点矛盾.

②若a<0,设函数〃0)=2=ln(l+x)------名.

2+x+ar^2+x+ar

由于当|x|<min时，2+x+ax1>0,故〃(冗)与/(x)符号相同.

又〃(0)=/(0)=0,故x=0是/⑺的极大值点.

12(2+尤+ax2)-2元(1+2ax)

当且仅当冗=0是以X)的极大值点，〃(幻=

1+x(2+工+办2)2

x2(^2x2+4OT+6Q+1)

。+1)(加+x+2)

言;且|x|<min1,布

如果6a+1>0,则当0<x<时，月(%)>0,故

尤=0不是以工)的极大值点.

如果6。+1<0,则。2%2+4公+6。+1=0存在根百<0,故当xc(%,0),且

时，〃(N)<0,故x=0不是h(x)的极大值点.如果6。+1=0,则

h(x)=----土G—----y，则当工£(-1,0)时，力(%)>0;当xe(0,1)时，

(1+1)(12—6x-12)

"(x)<0,「.尤=0是/i(x)的极大值点,从而x=0是/(x)的极大值点.

综上，a=--.

6

例2已知｛%｝是首项为2,公比为;的等比数列，S“为它的前”项和.

(1)用S”表示s〃+］；

⑵是否存在正整数c和攵，使得以二>2成立.

S「c

解题策略本例第(2)问属于探索性问题,解题时需要灵活运用分类讨论的思想，由于题中含有

双参数上,c,必须轮流分类讨论,应注意思路清晰、讨论到位.

解：⑴由得跖=4(1-击卜;S“+2(〃eN)

。一13-2

(2)要使鸟团二>2,只要

<0,

Sk~cc~Sk

；&=4(1一刹4，，&-(|&_2.2_汨0(4)

故只要|s「2<c<S串eN*)①，%>S«eN),|&-2...|s「2=L

又鼠<4故要使①式成立，c只能取2或3.

当c=2时，=2,.•.当攵=1时，c<S”不成立，从而①式不成立.

当左.2时，5s2—2=]>c,由S*<S"ikeN*)得/S*_2</S"「2,

3

故当义.2时,—5«—2>c,从而①式不成立.

2

当c=3时，•，=2,52=3..・・当々=1,攵=2时，不成立，从而①式不成立.

313333

耳53-2=1>好又耳耳一2〈/1+I-2,・・・当上.3时，—2>c,从而①式不成立.

综上所述，不存在正整数c,和攵，使组二>2成立.

S「c

例3设meR,在平面直角坐标系中，已知向量d=(〃tr,y+l),向量b=(x,y-l),a_Lb,动

点M(x,y)的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；

(2)已知加=工，证明:存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点

4

A3,且。4_L08(0为坐标原点)，并求出该圆的方程；

(3)已知”2=；，设直线/与圆(7：%2+'2=氏2(1</?<2)相切于4，且/与轨迹£只有一个公

共点8”当R为何值时，取得最大值?并求出最大值.

解题策略第(1)问，在求得的轨迹方程中显然含有参数相，必须对，"的取值分类讨论确定其轨

迹;第(2)问，由于是任意一条切线,必定要对其斜率存在与否进行分类讨论;第⑶问，引入直线

必然含有双参数,且圆C中尚有参数R,由于解题得法,反而避免了分类讨论.

解：⑴a_Lb,a=(〃zr,y+1),〃=(x,y-1),+>2-1=0,即加*+,2=].

当加=0时，方程表示两直线方程，方程为y=±l；

当，〃=1时，方程表示的是圆；

当机>0且加工1时，方程表示的是椭圆；

当，〃<0时，方程表示的是双曲线.

2

1V-

⑵当加=上时，轨迹E的方程为一+V=1,设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t,解方

44

y=kx-^-t,

程组,/,]得/+4（丘+力2=4.即（1+4公）/+8依+4/-4=（）.

要使切线与轨迹E恒有两个交点AB,则

A=Mk2t2-160+4左2-1)=16(4公一产+1)>(),即4k2-t2+\>0,亦即/<4二+1,

8kt

%+“2=一

1+4公

且4

4尸-4

y%=（3+。（仇+，）=/与々+公（玉+々）+产=」-:k；+/=:一：）2.

1十RK1।^TK1十^TK

*，+八“，八八c口4/一4r-4k25r-4k2-4-八

要使。4_L°8,需使%々+乂％=°•n即彳记+[^r=F^—=0，

5?—4/—4=0,即5t2=4%2+4且产<4k2+1,亦即43+4<20人+5恒成立.

又直线y=Lc+f为圆心在原点的圆的一条切线，圆的半径为

所求的圆为“…小

1+%2

7f—X2

当切线的斜率不存在时，切线为x=±±J5,与工+V=i交于点（2百,±2

54

-1A±t,也满足。4_LOB.

综上所述,存在圆心在原点的圆V+V=3,使得该圆的任意一条切线与轨迹£

5

恒有两个交点A,3,且04±OB.

1y-

⑶当初=—时,轨迹E的方程为—+/=1,设直线I的方程为y=kx+t.

44

由⑵知人忐

直线/与圆C：x2+y2=R2（l<R<2）相切于A，即

产=g（1+%2）①

y=kx+t

I与轨迹E只有一个公共点及，由（2）知/得f+4（丘+疔=4,

e=i

即（1+4左2）/+83+4/一4=0有唯一解，则

A=64%2/_]60+4二）（产一1）=16（4公一产+1）=0,即4Zr2-Z2+l=0②

23R2

t=7TZT'

由①②得＜,此时，48重合为旦（百,必）.

心"

4史

Skt

…2=-由，由

24户一4167?2-16

4^-4中X|=X2，”;=

1+4/3店

14-R274

,点、4（玉，X）在椭圆上，弁=l--x,2=-，故|。团=X；+犬=5_一入在直角三角

43RR-

形04百中，|4闻2=|0叫2—|04「=5—卷一斤=5-1。+斤）

2+代国，当且仅当尺=五«1,2）时取等号,二.|4周25-4=1.

即当R=0e（l,2）时，|44|取得最大值,最大值为1.

第六十讲运用分类讨论法解含参数函数、方程、不等式问题

在求解函数、方程、不等式问题中，由于含有参数，而参数取不同值时会导致不同的结果，

因而需要对参数进行分类讨论，即选择一个标准,依次分成几个能用不同形式去解决的小问题，

从而使问题获得解决，体现了化整为零、各个击破、积零为整一一即分类与整合的思想.

例1设4为实数，函数/.（》）=》2+|x-a|+l,xeR.

（1）讨论的奇偶性;

⑵求/（x）的最小值.

解题策略讨论函数的奇偶性必须对a=0和aW0进行分类讨论,去掉绝对值符号必须对

X,a和X.a进行分类讨论，求函数的最值又必须进一步对a的取值与二次函数对称轴的关系

进行分类讨论,三次讨论层层深入.

解：(1)当a=0时，/(-%)=(-x)12+|-x|+l=/(%),此时/(x)为偶函数,

当“工0时，f［a}=a2+1,rfu/(-a)=a2+2|a|+l,

-1•/(-«)*/(«)，/(-«)*-/(«)-

此时函数.f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

⑵对卜-同去掉绝对值号进行讨论：

a1

①当凡，a时，/(x)=x2-x+a+1=+Q+“若％则“X)在(一8,〃］上单调递

2

减,・・./(%)在(―8,可上最小值为="+1

若a>g，则“X)在(8。，句上的最小值为且•

%2+%一〃+1=+g

②当x..a时，/(%)=

若a>-，则〃力在［a,+。)上单调递增，.・・/(x)在［a,+8)上的最小值为f(«)=«2+l.

I411

综上所述，当a,,-”寸，〃力的最小值为j—a;当一］；时，”力的最小值为/+1；当

17

时，〃x)的最小值为a+乙

例2⑴若1g(依)=21g(x+1)仅有一个实数根,那么k的取值范围是;

(2)函数y=log,+2a'bx-b2x+\)(a>Q,b>Q),求使y为负值的x的取值范围.

2

解题策略第(1)问是含参数的对数方程仅有一个实根,求参数的取值范围,首先转化为方

程与不等式的混合组,而所得的是含参数的一元二次方程.由判别式结合混合组中两个不等式进

行分类讨论,从而获解.第(2)问，当原问题转化为指数不等式时,必须对底数的取值在(0,1)还是

(1,+。)进行分类讨论,别忘了特殊情况。=8>0的讨论.

kx>0,向>0,①

解：(1)由题意知x+l〉0,即《x+l〉0,②，对③式由求根公式得

kx=(x+1)23+(2一少+1=0③

x,=为_2+〃2_44々„_2_〃2_叼④

△=炉-4%圆=>%0或&?4(2=0不合题意，应舍去).

fx+方=攵­2<0,fx.+1>0,

①当％<0时，由⑶式得4I2八・,.不马同为负根•又由④式知1八.•・原方

[X]X2=1>0,[x2+1<0,

程有一个解X].

k

②当攵=4时，原方程有一个解x=2—1=1.

2

儿+为=%一2>0,

,2八，%,与同为正根且X工工2,不合题意，舍去•

｛玉&=1>0,

综上可得，2<0或％=4为所求.

xx2x2xx2j!

(2)•.log।(诡+2ab-b+l)<0(a>0,b>0),/.a+2a'b-b+1>1,即

2

a2'+2a'hx-b2x>0.

两边同除以庐，得⑶+2闺一l>0,.•(?)>-1+应或<一1一0(舍去).

若a>b>0,贝！]@>1,二x>log(-1+

b/

若a=0>0,则£==1,而一l+&<l.;.xeR；

若0<QV〃，则0<@<1,二X<loga(-1+

b

综上所述，当a〉b时，x>log(,(-1+夜);a=/?时，xeR;a<b时，x<logu(-1

a~b

+V2).

例3(1)已知函数y=/(x)的图像与函数y=优①>0且aw1)的图像关于直线

y=x对称，记g(x)=/(x)[/(x)+/(2)-l],若y=g(x)在区间1,2上是增函数，则实

数。的取值范围是().

A.[2,+a?)

B.(O,l)u(l,2)

。因)

D.(0,1

⑵关于X的方程卜2—if-|x2一1|+左=0,给出下歹！J4个命题：

①存在实数匕，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数鼠使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数3使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是()

A.0

B.1

C.2

D.3

解题策略第(1)问，由于底数4末确定，必须对a的值在(0,1)还是(1,+e)进行分类讨

论,若采用换元法,则必须在a的不同范围内结合对数函数单调性确定新元的范围;第(2)问，若

考虑去掉绝对值符号,则必须对x的取值范围分类讨论,在进一步解答过程中又必须对参数%的

取值分类讨论.

解：(1)已知函数y=/(x)的图像与函数y=a'(a〉0且awl)的图像关于直线y=x对称,

则/(x)=log“x.记g(x)=/(x)[/(x)+/⑵一l]=(log/)2+(log«2—l)log.x.

①当。＞1时，y=g(x).在区间1,2上是增函数，y=log/为增函数，令r=

log(,x,relog„1,logfl2，要求对称轴矛盾；

②当0<。<1时，y=g(x)在区间g,2上是增函数，y=log“x为减函数，令/

11io«2-111

=logox,relog„2,loga-,要求对称轴——3——..loga］，解得4，］.,.实

数。的取值范围是(0,；，故选D.

⑵解法一关于X的方程(X2-1)2-|X2-1|+A：=0可化为［2_］)2_卜2一］)+左=0(乂］或

石,-1)0(x2-1)2+(x2-l)+fc=0(-1<x<1)(2)

①当％=—2时,方程①的解为±6,方程②无解,原方程恰有2个不同的实根；

②当％=1时，方程①有两个不同的实根±如，方程②有两个不同的实根土变，即原方程恰有

422

4个不同的实根；

③当左=0时,方程①的解为±1,土&,方程②的解为X=0,原方程恰有5个不同的实根；

④当Z=2时,方程①的解为土，叵，土逑，方程②的解为土立,土逅，即原方程恰有8个不

93333

同的实根,故选A.

解法二根据题意，可令,一1|=(..0),则原方程化为/T+%=0①，作出函数/=卜2-1|

的图像，结合函数的图像可知，当f=o或1>1时原方程有两个不同的根;当0<r<l时,原方程

有4个根;当，=1时，原方程有3个根,于是：

①当人=—2时,方程①有一个正根t=2,相应的原方程的解有2个；

②当k=1时,方程①有两个相等的正根t=~,相应的原方程的解有4个；

42

③当攵=0时,方程①有两个不等根t=0或r=1,故此时原方程有5个根；

④当0<Z<工时,方程①有两个不等正根,且此时方程①有两个正根且均小于1,故相应满足原

4

方程的解有8个，故选A.

例4已知函数/(x)=xe~x+(%-2)0^(e«2.72).

⑴当。=2时，证明：函数在R上是增函数；

(2)若a>2时，当x..l时，/(X)..”j恒成立,求实数a的取值范围.

解题策略本例是含参数的函数的单调性问题与含参数不等式恒成立问题.第(1)问，在

证明单调性过程中对x的取值分类讨论;第(2)问，为了解决含参数不等式恒成立问题，必须研究

新构造的函数的单调性和极值,必须对参数。的取值范围分类讨论,分类要合理，不重不漏,符合

最简原则.总之,分类讨论思想的本质是“化整为零,积零为整”，思维策略与操作过程是：明确

讨论的对象和动机一确定分类的标准一逐类进行讨论一归纳结论一检验分类是否完备(即分类

对象彼此交集为空集,并集为全集).

解：⑴证明当4=2时,/@)=0-、+(无一2户-2"(4的定义域为区.

尸(x)=b-xe~x+ex~2+(x-2)e*-2=(%-l)^ev-2-e"v)

迎隔时X—1O,e*T—0;

当x<1时1<0,ev-1-l<0,.-./(x)..0.

对任意实数x,/'(x)..0,二/(x)在R上是增函数.

2

r_orII

⑵当X..1时，/(x)..；—~丁一恒成立,即(x-2)e2j-a-d+3x-1..。恒成立.

^h(x)=(x-2)e2x-a-x2+3x-l(x.l),W(x)=(2x-3)(e2x-a-1).

令(2x_3)(e2i_l)=0,解得％=”与

①当即2<a<3时，有

22

>

aU3_3

X||_

_

222K_2

"(x)+0—0+

〃(x)极大值极小值Z

要使结论成立，则可1)=蒋+1瞰呜)=一#-0+：0,即e?-倒|.

解得履,a3-ln-,.-.3-ln-?a<3；

22

②当］=即a=3时,/(x)..。恒成立，.'.Mx)是增函数，又〃(1)=—e-'l＞。，故结论

成立；

③当区〉3,即。＞3时，有

22

2a

X

22

//(无)+0—0+

7z(x)/极大值极小值

耍使结论成立，贝16(1)=—e?T+1廊，力(］)=一：+2。-30,即e2-〃和,a2-8a+120.

解得a星,2磅6,，3＜a6.

综上所述,若a〉2时，当工.1时，f(x)..丁恒成立,实数a的取值范围是

3-ln-^h6.

2

第六十一讲运用分类讨论法解三角函数问题

在研究三角函数的图像及其性质过程中,在处理解三角形题型时，都需要运用分类与整合的

思想方法.

例1若函数=a+从ou+csinx的图像经过点(0,1)和仁,1),且当xey,l时，

2恒成立,则实数a的取值范围是.

解题策略由/(x)的图像经过(0,1)和(工,1］两点的条件消去匕和c,使原函数含有单参

12)

数a,在后续的解题过程中必须对。的取值分类讨论.

/(0)=a+/?=1,

解:y(x)经过点(oj)和.\b=c=\—at故

/(x)=6Z+(1-6Z)COSCX4-(1-<7)sinx=6/4-(!-cz)(sinx+cosx)=tz+V2(l-6z)sinx+—

喷Ik^infx+-^1.

24442(4)

①当a<1时，1一a>0,「.1一磁啦(l-4)sin[x+7)x/2(1-a).

1颔(x)五(1一a)+a,要使-2«x)2恒成立，只要夜(1一a)+a,,2.

即。…一夜，又a<l,从而一

(2)当。=1时，/(x)=le[-2,2];

(3)当a>1时,1-a<0,r.1-a)sin(x+^2(1-a).

：.1W(JC)五(l-a)+a,要使—2颔(x)2恒成立，只要加(l-a)+a…-2.

解得a,4+3>/2,又a>1,从而1<a,,4+3y/2.

综上所述，a的取值范围为-眉以4+372.

【例2]已知/(x)=2acosxsin(x+。)+2。sinx(cosxcos0-sinxsin6),0G(0,21).

-M-r(571)cn、!57r7C..

«•/--H2'且/(x)在一77，不上为戒函数.

k1乙J1乙L乙

(1)求函数/(X)的最小正周期；

(2)求实数4和角6的值.

【解题策略】

在研究三角函数旷=Asi〃(松+9)的性质时，当A的正负未定时，则必须对A的正、负进

行分类讨论.

【解】

/(%)=2acosxsin(x+。)+2asinx(cosxcos0-sinxsin6)

⑴=2acosxsin(x+0)+2asinxcos(x+O')

=/(x)=lasin(2x+0)

27r

显然ar0,.-./(x)的最小正周期为T=—=7T.

__I_L八、f57r7V.._(57r)cn57rTCT//、,,

⑵右。>0J(x)在一行，不上为减函数，且/r一行■=2=不+言=不=k=>/(x)的

最大值为2.即。=1,此时f(x)=2sin(2x+。).

/[一||)=2nsin(-葛+6)=1,6€(0,2乃)-6=冷若4<0,同理4=一1,

此时/(x)=-2sin(2x+0).

/(-t^)=2ns，n(-1=-LOe，。，万)=2

4TT71

综上所述。=—，或。=—

33

【例3】如图11-1所示，有一块等腰三角形形状的空地A8C,腰CA的长为3,底4B的长为

4,现决定在该空地内内一条笔直的小路EF(宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形,

设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为S1和$2.

(1)若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；

(2)求总■的最小值.

【解题策略】

本例引起分类讨论的是小路端点EF的位置，位置的可能性以及位置不同导致结论的变化.

【解】

(1)先确定点厂的位置.

①若点F在BC上(如图11一2中士位置).

图11-2

设C[=r,则EC+Cf；=AE+A8+BK，即]3+[=]3

7

M+3—"得，=二>3(舍去)，故点尸不在8C上.

2

②若点F在A5上(如图11—2中F?位置)，设BFz=t,

则EC+BC+B/^=AE+A外，即13+3+/=|3+4-f,

1172

得/=—<4,此时AF,=4--=—,cosA=—,于是在A4E居中，

2223

、、、15J30

2

EF；=AE+AF^-2AEAF2COSA=—,得吐=彳.

故若小路一端E为AC的中点，此时小路的长度为华.

2

(2)分情况讨论点E,产的位置.

(1)若小路的端点E,F都在两腰上(如图11-3所示)，

设CE=x,CF=y,则EC+CF=AE+AB+BF,

即x+y=(3-x)+4+(3-y),得x+y=5(0cx<3,0<y<3)

qq_vc—AC•BCsinCQQ11

j——M8C°MJEF

—一亚—S'CEF1CECFsinCxy(£±2^125

2I2J

（当且仅当x=y=g时取等号）

（2）若小路的端点£,F分别在一腰（不妨设在腰AC上）和底边上（如图11-4所示），设

AE-X,AF=y,由AE+AF=3C+CE+3尸，即x+y=(3-x)+3+(4-y),得x+

y=5(0<x<3,0vyv4)

—AC-ABsinA

S1—S2\BC-SgEF^c-1=^--------------------11O^--1=^

S?S^EFAEAFsinAxy仆+-25

2I2J

（当且仅当x=y=g时取等号）

S11

综上所述，寸的最小值为六.

［例4］如图11-5所示，半圆O的直径为2,点A为直径延长线上的一一点,04=2,点B为半

圆上任意一点，以AB为边向半圆外作等边三角形ABC.

（1）求四边形OACB的面积的最大值；

（2）求线段OC长的最大值.

求解时，若设NAOB=a,则必须对。为锐角、钝角、直角的情况分类讨论，如图11-6所

示.

【解】

⑴设ZAOB=a厕ae（0,兀），在^AOB中，

AB2=OB2+OA2-208-CMcosa=l+4-2xlx2cosc=5-4cose于是

]^3

S四边形04cB=^MOB+SMBC=~0A-OBsma+—AB2=sincz+—(5-4coscz)

=sina—6cosa+=2sinfa-->1+^—

4I3j4

4C/Q

又「Ova〈肛.•.当=g，即a=?时，S四边形以8取到最大值,鼠如=2+——.

3264

c

cc

图11-6

(2)设AAOB—a,NOAB=p.

①若a为锐角，见图ll-6(a),贝IJQBsina=A3sin/?且

OBcosa+ABcosp=2,/.ABsin/3=sina,ABcos£=2-cosa

(1)若a为钝角,见图ll-6(b),则03sin(»-a)=A5sin/,且

ABcos/?-OBcos(7r-fz)=2,.\ABsin/?=sina,ABcosp=2-cosa

②若a为直角，见图11一6(c),则仍有A3sin/?=sina,A3cos/?=2-cosa.

于是在AAOC中，OC2=AC2+AO2-2AC-AOcosp+yJ

=AB2+22-4AB；cos尸一等sin/?]

=5-4cosa+4-2(2-cosa)+sina=5-2cosa+2>/3sina,/0va<肛/.当

=5+4——sina——cosa=5+4sin|a--\

[22JI6j

7171

a---=—,

62

24

即NA05=a=—时，0C取得最大值3.

3

第六十二讲运用分类讨论法解复数、平面向量问题

在讨论两个复数集关系时，涉及参数，就需要分类讨论，复数集内解一元二次方程，必须按判

别式分类求解，运用平面向量研究几何图形的性质也常常需要对图形的某元素的变化分类与整

4

0•

［例1］设为,工2是方程2*2+3以+。2-a=0（aeR）在复数范围内的两根，求归|+民|

（用含。的解析式表示）.

【解题策略】

在复数集内解一元二次方程，必须对△>（）,△<0分类求解，在去掉绝对值号时又需进一步

对a的取值进行分类讨论.

【解】

若△=9/-8/+8a..O,即a..O或6，-8.此时

由。“-a.0得a..1或④0,

.1当a..l或“，一8时，㈤+同

当0,,a<l时,|再|+同=%

#A=9«2-8a2+8a<0,即8<a<0,此时,当,々为一对共匏虚根.

国+网=2㈤=2不了=2"^=2嘉半

综上所述，

3

一ci21或。W—8

2

归|+同=,a<1

小2（4--a）,—8<o<0

[例2]设两复数集

M=|z|z=m+i(4-m2),meR|,A^={z|z=2cos^+i(2+3sin0),6eR}.

(1)若McN手0,求实数/l的取值范围；

(2)当实数4在⑴中变化时，进一步讨论集合McN的元素个数，并当/I取定值时，求

McN;

(3)本题的几何意义是什么？

【解题策略】

第⑴问,MfW#),即两集合有公共元素，利用两复数相等的充要条件，消去凡即可得入关于

sin。的三角函数，进而求值域.第(2)问，可通过函数与方程的思想方法结合方程根的情况进行分

类讨论，分类要全面，防止遗漏.第(3)问，求出集合M集合N在复平面上的点的轨迹，把数的问题

转化为形的问题，其中集合N对应的轨迹含参数入，当入变化时，该曲线在运动，从而本题探求

的是两曲线相交的不同情况.本例涉及函数与方程、分类与整合、数形结合等多种数学思想，是

一道既具新颖性又具典型性的好题.

【解】

(1)由A/cNw0,得2=〃?+“4一〃/)=2(：05夕+1(2+3$山。).

m-IcosO,。C3V9

\,，消去优，得4=4sin2。-3sind=2sin6—己一二(6eR)

4一根-=X+3sin6I4J16

'a"

由一啜kin。1,得Xe--,7.

_16_

(2)由4sin?e-3sin6-/l=0,令sinA=f,考虑f(r)=4J-e[-1,1].

93

①当A=O=>/1=---,此时，sin6=，=一，而cos6=±

此时集合McN有2个元素｛华+以i,-容+M〉.

416416

②当了（—1）"（1）<0=1<4<7.

此时，sin。在（一1,1）内有一解，而cose=±Jl-sin2。有两解

此时集合A/cN有两个元素.

③当/（-1）=0=2=7,此时有4产―3/—7=0,即（4r—7）。+1）=0,

7

tx=1（舍）,sine=G=-1

cos0=0,此时McN有1个元素McN={4i}.

④当/（l）=0=2=l.此时有4尸—3r—1=0,即（4r+l）（t—1）=0,

t1---,/2-1,当sin6=-L时，cos6=±^^；当sin〃=l时，cos6=0.

424

f（x）>0

/（-D>09

⑤当《A>0=>-77<%<1此时McN有4个元素.

,3,

-1<-<1

I8

(3)令z=x+ji知集合M在复平面上的点的轨迹为抛物线1=-()，-4),集合N在复

平面上的点的轨迹为椭圆「+(二团］=1.

49

故本题讨论的是，当4变化时，椭圆上下移动与抛物线相交的不同情况.

【例3】已知AB=(x,l),AC=(l,y),求AABC为等腰直角三角形的充要条件.

【解题策略】

直角顶点未明确，必须对哪一角为直角进行分类讨论.

【解】

①当ZCAB=90°,AB=AC时，AA8C为等腰直角三角形.

fAB-AC=x+y=0

此时A8LAC且lABblAan"、？1^――解得x+y=().

②当NCBA=90°,BA=BC时,AABC为等腰直角三角形.

此时,BA，8c且|BA|=|BC\,BA=-AB=(一x,-1),

BABC=0

BC-BA+AC—(一x+1,—1+_y),且<

IBA|=|BC\

-x(-x4-1)+(-1)(-14-y)=0

ylx2+1=J(r++(-1+y)2

③当ZBCA=90°yCA=CB时>ABC为等腰直角三角形.

此时C4JLC8且|C4|二|CB|,C4=—AC=(—L—y),C3=—8C=(x—U—>),

C4-CB=O,-U-i)+(-y)(i-y)=o,L=if%=3

\CA\=\CB\W+1=J(Ai)2+(i_y)2[y=0[y=2

x=0x=2

综上所述，_ABC为等腰直角三角形的充要条件是x+y=0或।或

[y=lb=3

x=1[x=3

或<

y=Q[)=2

[例4]在AABC中，|8C|=2,点A(l,1).

(1)若C(2,0),且AB,C能构成直角三角形，求点8的坐标;

(2)x轴上是否存在点氏C满足