九年级下册第一章直角三角形的边角关系教案

1.1.1锐角三角函数

一、教材依据

本节为九年级（下）第一章《直角三角形的边角关系》的第一节《从梯子

的倾斜程度谈起》第一课时。直角三角形的边角关系是现实世界中应用最广泛的

关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的应用。通过本节的学习，

学生将进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。也将为学生学习正弦、

余弦等三角函数知识及进一步学习其他数学知识奠定了基础。

二、设计思路

从新课标中让我们知道：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和

已有的知识经验基础之上。教学应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事

数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本

的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学

习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。”基于课标，我运用导

学稿，采用自主探究、合作交流等形式完成了本节课的教学。

三、教学准备

（一）学生知识状况分析

本节课从生活实例出发，让学生观察多种梯子倾斜的情况，对于梯子的倾斜

问题学生在生活中也有一定的生活经验，可以很容易通过观察分析出简单的梯子

倾斜情况，但对于倾斜角度非常接近的情况，就需要通过本节课的学习利用直角

三角形三边的关系来判断。

（二）教学任务分析

教学目标

知识与技能

1.经历探索直角三角形中边角关系的过程。理解正切的意义和与现实生活的

联系。

2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、

坡度等，能够用正切进行简单的计算。

过程与方法

1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰

地阐述自己的观点。

2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问

题，提高解决实际问题的能力。

3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。

情感态度与价值观

1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲。

2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯。

教学重点

1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系。

2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系。

教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比。

教学方法：引导—探究法

教具准备：多媒体演示

四、教学过程

（一）创设问题情境，引入新课

[问题1]我们在七年级下册中研究了直角三角形的两锐角关系，你能说出两

锐角有怎样关系吗?

[问题2]我们在八年级上册中研究了直角三角形的三边关系，你能说出三

边有怎样关系吗?

[问题3]在直角三角形中边与角有怎样的关系？

本章就来研究一下直角三角形的边与角的关系。

这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起。

(板书课题§1.1.1从梯子的倾斜程度谈起)

（二）讲授新课

1、用多媒体演示如下内容：

梯子是我们日常生活中常见的物体。我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，

那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的?“陡”或“平缓”是用来描述梯子什

么的?

[师]你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？

[师]观察梯子在上升变陡的过程中，倾斜角，铅直高度与水平宽度的比发生了什

么变化？[多媒体演示]

[生]研究的结论：

倾斜角越大——梯子越陡

铅直高度与水平宽度的比值越大——梯子越陡

[师]提问：梯子的倾斜程度与哪些因素有关？

[生1]①倾斜角

[生2]②铅直高度与水平宽度的比值

（在直角三角形中这个锐角的对边与邻边的比值）

2、巩固练习

请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)

(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?

(2)在下图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?

(3)在下图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?

(4)在下图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?

3、想一想

如图，小明想通过测量BC：及AC，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程

111

度；而小亮则认为，通过测量BC及AC，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜

222

程度。你同意小亮的看法吗?

(1)直角三角形ABC和直角三角形ABC有什么关系?

1122

BCBC

(2)11和22和有什么关系?

ACAC

12

(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?

[师]我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜

程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度。下面请同学们思考

上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法。

[生]由图还可知：BC⊥AC，BC⊥AC，得BC//BC，Rt△ABC∽Rt△ABC.

22211122111122

[生]相似三角形的对应边成比例，得

[师]观察改变B2在梯子上的位置（多媒体演示）

[生]如果改变B在梯子上的位置，总可以得到Rt△BCA∽Rt△Rt△BCA，

22211

BCBCBCBC

仍能得到1122因此，无论B在梯子的什么位置(除A外)，1122

ACAC2ACAC

1212

总成立.

[师]也就是说无论B在梯子的什么位置(A除外)，∠A的对边与邻边的比值

2

是不会改变的.

由于直角三角形中的锐角A确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因

此我们有如下定义：(多媒体演示)

如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边之比便随之

确定，

这个比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即

A的对边

tanA=

A的邻边

（思考）前面我们讨论了梯子的倾斜程度，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？

与∠A有关吗?如图

与tanA有关:tanA的值越大,梯子AB1越陡。

与∠A有关:∠A越大,梯子AB1越陡。

[师]定义中应该注意的几个问题:

（1）.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯上省去“∠”号；若用三个

字母（或者数字）表示角时，则“∠”不能省略，如“∠ABC（或∠1）的正切

表示为tan∠ABC（或tan∠1）”；

（2）.tanA是一个比值（即在直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比.且tanA

﹥0,无单位.)

（3）.tanA不表示“tan”乘以“A”。

（4）.初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切。

4、巩固训练（用多媒体演示）

(三)、例题讲解（小组展开讨论、多媒体演示）

[例1]如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?

分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tanα、tanβ的

值，比较大小，越大，扶梯就越陡。

的对边55

解：甲梯中，tanα=

的邻边1325212

的对边63

乙梯中，tanβ=

的邻边84

因为tanβ＞tanα，所以乙梯更陡。

[师]正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度.

如图，有一山坡在

水平方向上每前进100

m，就升高60m，那么山

坡的坡度(即坡角α的正

603

切——tanα就是：tanα=α.

1005

这里要注意区分坡度和坡角。坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正

切称为坡度。坡度越大，坡面就越陡。

(四)、随堂检测（多媒体展示、学生自主完成）

（五）、课时小结

1、决定梯子的倾斜程度的因素

①倾斜角:

倾斜角越大——梯子越陡

②铅直高度与水平宽度的比值:

铅直高度与水平宽度的比值越大——梯子越陡

2.正切的定义:

在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即

tanA的值越大,梯子AB越陡.

（六）、课后作业

P6习题1.1第1、2题.

（七）、板书设计

§1.1.1从梯子的倾斜程度谈起(一)

1.当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定。

2.正切的定义：

在Rt△ABC中，锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比随之确定，这个比叫做

∠A的正切，记作tanA，即

A的对边

tanA＝.

A的邻边

注：tanA的值越大.梯子越陡.

坡度通常表示斜坡的倾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡。

3.例题讲解

4.随堂检测

5.课时小结

五、教学反思

本节课主要采用“以导助学”的方式实施教学，通过循序渐进、环环相扣的

问题串，让学生在自主学习与探究中逐步体会“梯子”的倾斜程度与哪些量有关，

是怎样的变化关系，从而形成函数意识，近而总结出正切函数的概念。概念的理

解需要在运用中消化和深化，所以我进一步利用了导学稿，让学生带着跃跃欲试

的心情，在艰难独行中获得成功或失败的感验，最后进行交流与点拨，让知识的

得来水到渠成，也让学生感觉到上课就像是一次充满刺激与趣味的探险，而又离

不开隐在“暗处”的老师。在导学稿的设计中，注意每一环节的目的和要求；在

概念的形成中，老师的点拨与问题要准要精；在例题与练习等运用中，要放手，

要给学生充分的时间；在交流与点拨中，不仅要让学生展示他们的成功，更要让

他们展示他们的失败，因为在这些失败的反馈中，我们才能更深刻和全面的理解

知识。反思这节课，还有不少得与失。

本节课的亮点是：在概念的引出上条理清晰，重点突出概念的教学，通过课

件让学生通过观察得到直观印象，然后再让学生通过猜想、验证，从而进一步进

行证明，有利于学生自主地建立概念。

本节课的不足是：课堂上学生的参与还不足，学生的积极回答问题，还有待

进一步提高。

通过本节课的学习，学生能运用新知识解决与直角三角形有关的实际问题，

进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。

直角三角形的边角关系讲义

【基础知识精讲】

一、互余两角之间的函数关系：

二、同角三角函数：sin2Acos2A1tanAcotA1

三、坡比（坡度）：坡面的铅直高度h与水平宽度L的比叫做坡角的正切或坡

比.

h

用字母i表示，即i=tana=

lh

【例题巧解点拨】a

l

例1.计算：（1）sin210sin220sin230sin2880sin2890

（2）tan10tan20tan30tan40tan50tan60tan70tan80.

（3）计算：

例3如图，△ABC中，cosB＝2，sinC＝3，则△ABC的面积是（）

25

21

A．B．12C．14D．21

2

变式训练：

1.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、

AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）

A.3B.4C.3D.4

4355

2．如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且

它们

的夹角为，则它们的重叠部分的面积为_________.

【名书、名校、中考、竞赛在线】

一、选择题：

1.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果

此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点

的距离是（）

A．200米B.2003米C.2203米D.100(31)米

2．小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，

此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为300，

同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树

的高度为（）

A.(63)米B.12米C．(423)米D.10米

C1题图2题图

3045

二、填空题:

3.在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影子长为0.8米。同时另一

名同学测量一颗树的高度时，发现影子不全落在地面上，有一部分影子落在墙壁30°

AB

上，其影长为1.2米，落在地面上的影子长为D2.4米，则树高为_____米。

4.（咸宁）如图，已知直线l∥l∥l∥l，相邻两条平行直线间的距离都是1，

1234

如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sin．

5.（福州）如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC

于点D，则AD的长是，cosA的值是.（结果保留根号）

A

Al

3题图α14题图5

l

题图BAD2

lD

四、解答题：C3

l

4

6．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意BC

图，已知BC=2m，CD=5.4m，∠DCF=30°，请你计算车位

所占的宽度EF约为多少米？（，结果保留两位有效数字．）

7.在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方

案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，AD∥BC，坝高10m，迎水坡面AB的坡

5

度i，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的

3

5

基础上，将迎水坡面AB的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE的坡度i。

6

（1）求原方案中此大坝迎水坡AB的长（结果保留根号）

（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改

后，若坝顶沿EC方向拓宽2.7m，求坝底将会沿AD方向加宽多少米？

8.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的

CEB

求救信号，已知A、B两船相距100(31)海里，船C在船A的北偏东60°方向

上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D

的南偏东75°方向上.

(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请

保留根号）；DA

（2）已知观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，

在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：2.1.41,31.73）

N

9.如图，已知斜坡AB长602米，坡角（即BAC）为B45°，BCAC,

现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线45AC的休闲平台

DE和一条新的斜坡BE（下面两个小题结果都保留根号）.

（1）若修建的斜坡BE的坡比为3:1，求休闲平台DED的长是多少米？

75

（2）一座建筑物GH距离A点33米远（即AG=33米），小亮在D点测得

C

建筑物顶部H的仰角（即HDM）为30°，点B、C、A、G、H在同一个平面

内，点C、A、G在同一条直线上，且HGCG,问建筑物GH60高为多少米？

作业A

姓名：_______作业等级：.

M

一、选择、填空题：

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanB=.

2.如图，已知一商场自动扶梯的长z为10米，该自动扶梯到达的高度h为6

米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于()

3434

A.B.C.D.

4355

二、计算题：

3.计算（－2019）0+（tan60）－1－︱tan30－3︱

+38．

131

4.计算－(π－3.14)0－|1－tan60°|－.

232

三、解答题：

5.如图，已知ABC中，C90，D是BC边中点，且BDA120，AC3，

求tanB.

章末复习(一)直角三角形的边角关系

分点突破

知识点1锐角三角函数

1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列等式

中，正确的是(C)

bc

A.sinA＝B.cosB＝

ca

aa

C.tanA＝D.tanB＝

bb

2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a＝5，b＝12，c＝13，下

列结论成立的是(C)

125

A.sinA＝B.cosA＝

513

512

C.tanA＝D.cosB＝

1213

知识点2特殊角的三角函数值

3.（tan30°－1）2的值是(A)

3

A.1－B.3－1

3

3

C.－1D.1－3

3

1

4.已知∠A，∠B，∠C分别是△ABC的三个内角，若(2sinA－1)2＋cosB－＝

2

0，则△ABC的形状为直角三角形.

5.计算：

(1)(－1)2－2cos30°＋3＋(－2019)0；

3

解：原式＝1－2×＋3＋1

2

＝1－3＋3＋1

＝2.

3tan30°－2tan60°

(2)＋4sin60°.

cos60°

3

3×－2×3

33

解：原式＝＋4×

12

2

＝－23＋23

＝0.

知识点3解直角三角形

6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝2，b＝1，则a＝3，∠B＝30°.

3

7.(2019·自贡)如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°，求AC和AB

4

的长.

解：过点C作CD⊥AB交AB于点D.

∵∠B＝30°，BC＝12，

∴CD＝6.

在Rt△BDC中，BD＝BC2－CD2＝63.

CD3

∵tanA＝＝，∴AD＝8.

AD4

∴AB＝AD＋BD＝8＋63.

在Rt△ADC中，AC＝AD2＋DC2＝10.

知识点4三角函数的实际应用

8.(2019·宜昌)如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边

取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA等于

(C)

A.100sin35°米

B.100sin55°米

C.100tan35°米

D.100tan55°米

9.(2019·宜宾)某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB，CD均垂直于地面，

点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得

B，E间距离为10米，立柱AB高30米.求立柱CD的高(结果保留根号).

解：过点C作CF⊥AB于点F，设CD为x米.

由题意知，∠ACF＝∠FCE＝30°，BF＝x，AF＝30－x.

AF

在Rt△AFC中，tan30°＝，

FC

30－x

∴FC＝＝303－3x.

3

3

x

在Rt△CED中，∠CED＝∠FCE＝30°，tan∠CED＝，

DE

x

∴DE＝＝3x.∴BD＝BE＋DE＝10＋3x.

3

3

又∵FC＝BD，∴303－3x＝10＋3x.

5

解得x＝15－3.

3

5

∴立柱CD的高为(15－3)米.

3

易错题集训

10.在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且(tanB－3)·(2sinA－3)＝0，则△ABC

一定是(D)

A.等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.有一个角是60°的三角形

3

11.已知等腰三角形两条边的长分别是3，7，底角为α，则cosα＝.

14

12.已知AD是△ABC的高，CD＝1，AD＝BD＝3，则∠BAC＝75°或15°.

3

13.已知在△ABC中，tanA＝，AB＝5，BC＝4，那么AC的长等于4＋7或4－7.

4

中考题型演练

14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是

(D)

12

A.B.3C.

34

D.22

15.(2019·宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，

AD⊥BC于D，下列选项中，错误的是(C)

A.sinα＝cosαB.tanC＝2

C.sinβ＝cosβD.tanα＝1

16.如图，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝35米，坡顶有旗杆BC，

旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB＝10米，则旗杆BC的高度为(A)

A.5米