结构力学教案

结构力学教案

刘林超

信阳师范学院土木工程学院

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信阳师范学院教案用纸

第一章结构力学绪论教法提示

平面体系的几何组成分析〔一〕

教学目的：了解结构力学研究的对象和任务，掌握将实际结构

简化为力学计算简图的方法。掌握体系自由度的计算。

教学内容：一、结构力学研究的对象和任务；

二、结构的计算简图及计算简图的分类；

三、结构上的荷载及其分类；

四、平面体系几何组成分析的基本概念。

教学重点：体系自由度的计算。

教学难点：自由度为零时体系组成或的分析

一．结构力学的研究对象和任务

1．研究对象－－结构

结构力学——就是研究结构在荷载作用下，其内力

和变形的计算问题。

结构——就是构造物中起着承重作用的骨架，它由

承重构件组成。

土木工程及水利工程中常见的结构有：刚架、

桁架、拱、水坝、墩式码头等，根据几何形状可以

把它们分成三大类：

平面杆件结构

杆件结构

空间杆件结构

结构板壳(薄壁)结构

实体结构

杆系结构——由假设杆根杆件组成，杆件的几何特征是：其长

度远远大于杆件截面的宽度和高度。例如：梁、拱、桁(heng)

架、刚架。

板壳结构——其厚度远远小于长度和宽度两各尺寸的结构。楼

板、壳体屋盖等

2

实体结构——是指三个尺寸大约为同量级的结构例如：水工结

构中的重力大坝、挡土墙等

结构力学的研究对象：杆系结构。

理论力学一般不考虑物体内部的形变，把物体当成刚性体来分

析其静止或运动状态。材料力学主要研究杆件，如柱体、梁和

轴，在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移。

结构力学研究杆系结构，如桁架、刚架或两者混合的构架等。

而弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外，还研究平面体、

空间体，板和壳等。

2．结构力学的主要研究内容

〔1〕结构由荷载、支座移动、温度变化、制造误差

引起的内力计算——称为强度计算；

〔2〕结构由荷载、支座移动、温度变化、制造误差

引起的变形及位移计算——称为刚度计算；

〔3〕结构的稳定计算，以保证结构的稳定性；

〔4〕结构的组成规律及计算简图的选择。

3．结构力学与其它课程的关系

3

理论力学和材料力学是结构力学的先修课程，

专业课程〔钢筋混凝土、钢结构、桥梁结构等〕是

结构力学的后续课程。

二．结构的计算简图及其分类

1．结构的计算简图

在工程设计中对结构进行力学分析时，需要一个图形，这个图

形与实际结构完全一样，实际上是做不到的，因此必须对实际

结构进行抽象和简化，得到一个计算时所用的计算简图。抽象

和简化必须遵循以下原则：

〔1〕尽可能反映实际结构的主要受力情况以及结构的构造和性

能〔反映结构的主要受力性能〕，以保证计算的精度，使计算结

果与实际情况比较吻合。

〔2〕略去次要因素，保留主要因素，使结构计算简单，便

于分析和计算。

2.简图简化的分类：

1)、结构体系的简化

一般的结构都是空间结构，各部分相互连接成一个空间整体，

以承受各个方向可能作用的荷载。可以忽略一些次要的空间约

束而将实际结构分解为平面结构，使计算得以简化。

2)杆件的简化

杆件可以用轴线来表示：

原因是：细长杆件可以近似采用平面假定，因此截

面上的应力可以由截面上的内力来确定，而内力只

与杆件的长度有关，与截面的宽度和高度无关。

3)杆件间连接(结点)的简化

杆件与杆件的连接点称为：结点

结点的简化分两类：铰结点和刚结点

铰结点

几何特征：各杆可以绕结点自由转动。即各杆端之间的夹角可

任意改变

受力状况：在连接处可以承受和传递力，但不会引起承受或传

递杆端弯矩。

表示方法：

4

例如：木屋架的结点

刚结点

几何特征：各杆不能绕结点作相对转动和移动。

受力状况：由于结点能阻止杆件之间发生相对转角，刚结

点所连各杆端相互之间的夹角不能改变。因此杆端有弯矩、剪

力和轴力。

表示方法：

5

例如：现浇钢筋混凝土框架的结点

3)结构与基础连接处(支座)的简化

对平面结构一般可以简化成以下三种形式：

可动铰(滚轴)支座

只能约束竖向运动，被约束的部分可以转动河水平移动的支座

称为：可动铰支座，只提供一个竖向的反应

表示方法：

例如：把梁放在柱顶上，不作任何处理，其支座就

可简化成可动铰支座。

固定铰支座

被约束的部分可以转动，不能移动，能约束竖向和水平运动的

支座称为：固定铰支座，能提供两个反力。

表示方法：

例如：把屋架放在柱顶上，并与柱顶的预埋件连接，这样的支

6

座可简化成固定铰支座。

固定支座

被支承的部分完全固定，能约束竖向、水平和转动的支座称为：

固定支座，能提供3个反力。

表示方法：

例如：柱子与基础完全现浇在一起，而且柱子的钢筋插入基础

一定距离，那么柱子的支座就可简化成固定支座。

定向支座

被支承的部分不能转动，但可沿一个方向平行滑动，能提供一

个反力矩和反力。

表示方法：

4)材料性质的简化

结构为连续、均匀、各项同性，完全弹性体

5)荷载的简化

1〕按分布分

面荷载物体通过接触面传给结构的力，如：风荷载、雪荷载、

7

雨荷载、人群荷载、水压力等

体荷载如：结构自重，惯性力等

集中荷载作用在机构上的荷载一般都是分布在一定面积上，

当分布面积远小于结构的尺寸时，可以认为荷载作用在结构的

一个点上，如：集中力、集中力矩等

2〕按作用在结构上的时间分

恒荷载永久作用在结构上的不变荷载，如：结构自重和设备

重量等

活荷载暂时作用在结构上的可变荷载，如：人群荷载、雪荷

载、雨荷载等

移动荷载一系列互相平行且间距保持不变，能在结构上移动

的荷载。如：吊车荷载、汽车荷载、火车荷载

3〕按作用在结构上的效果分

静荷载大小、方向、位置不随时间变化的荷载，如：结构自重

和设备重量等

动荷载大小、方向、位置随时间变化的荷载，如：风荷载、

地震荷载、冲击荷载等

3．杆件结构的分类

(1)按组成和受力特点

1〕梁

轴线为直线，有简支梁、悬臂梁、曲梁、多跨静定梁和

超静定梁等。

8

2〕拱

轴线为曲线，有三铰拱、两铰拱、无铰拱等。

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教法提示

三铰拱二铰拱

无铰拱

3〕桁架

由直杆组成，所有结点为铰结点

4〕刚架

由直杆组成，所有结点为刚结点

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5〕组合结构教法提示

桁架和梁或者钢架组合在一起形成的结构。

(2)按计算方法

1〕静定结构：在荷载作用下可以用平衡条件确定全部支座反力

和任一截面上内力的结构

2〕超静定结构：所有支座反力和内力不能仅用平衡条件确定，

还必须考虑变形的几何条件求得的结构

(3)按荷载和杆件在空间的位置

1〕平面结构

各杆件的轴线和荷载都在同一个平面内的结构

2〕空间结构

各杆件的轴线和荷载都不在同一个平面内，或各杆件的轴线在

同一平面但荷载不在该平面的结构

11

第二章结构的几何构造分析

§2-1几何构造分析的几个概念

结构是由假设干根杆件通过结点间的联接及与支座联接组

成的。结构是用来承受荷载的，首先它的几何构造应该是合理

的，它本身应该是几何稳固的，反之则不能承受任何荷载，因

此必须保证结构的几何构造是不可变的。例如：

显然只有几何不变体系可作为结构，而几何可变体系是不可以

作为结构的。因此在选择或组成一个结构时必须掌握几何不变

体系的组成规律。

一、几何不变体系与几何可变体系

如果一个结构受到一个任意荷载作用，假设不考虑材料的

应变，而能保持几何形状和位置不变的，称为几何不变体系，反

之称为几何可变体系。

二、几何组成分析的目的

1．判别某一体系是否几何不变，从而决定它能否作为结构。

2．研究几何不变体系的组成规则。

3．区分静定结构和超静定结构，为结构的内力计算打下必要的

基础。

三、关于刚片、自由度和约束的概念

1．刚片：就是几何尺寸和形状都不变的平面刚体

可以是杆,由杆组成的结构,支撑结构的地基

2．链杆、单铰和复铰

链杆：链杆就是两端铰接而中间不受力的刚性直杆,由此所形成

的约束称为链杆约束。这种约束只能限制物体沿链杆轴线方向

上的移动。链杆可以受拉或者是受压,但不能限制物体沿其他方

向的运动和转动。一根连杆相当于一个约束。

单铰：连接两个刚片的铰称为单铰，一个单铰相当于两个约束

复铰：连接三个及其以上刚片的铰称为复铰，连接n个刚片的

复铰相当于(n-1)个刚片的复铰相当于(n-1)×2个约束。

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教法提示

3．自由度的概念

自由度：完全确定物体位置所需要的独立坐标数。一般地，如

果一个体系有n个独立的运动方式，则这个体系就有n个自由

度，也即一个体系的自由度等于这个体系运动时可以独立改变

坐标的数目。

点的自由度：一点在平面内有两种独立运动的方式，一点在平

面内有两个自由度

刚片的自由度：

刚片——就是几何尺寸和形状都不变的平面刚体，刚片有三个

独立运动方式，有3个自由度。

由于我们在讨论体系的几何构造时是不考虑材料变形的，因

此我们可以把一根梁、一根柱、一根链杆甚至体系中已被确定

为几何不变的部分看作是一个刚片。

4．约束

结构是由各种构件通过某些装置组合成不变体系的，它的自由

度应该等于或小于零。那种能减少刚片自由度的装置就称为约

束。

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约束装置的类型：教法提示

〔1〕链杆：链杆可减少一个自由度，相当于一个约束。

〔2〕单铰：一个单铰可以减少两个自由度，相当于两

个约束。

〔3〕复铰：连接两个以上刚片的铰，连接n个刚片的复铰，

相当于n-1个单铰。

〔4〕刚结点：一个刚结点能减少三个自由度，相当于三个约束。

5多余约束

多余约束：如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因而

减小，则此约束称为多余约束。A点两个自由

度，A点被固

定，减少两个

自由度，不共

线杆1，2为非

多余约束

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教法提示

增加第3根

杆，仍减少2

个自由度，其

中一个为多余

约束

6舜变体系

瞬变体系：原来是几何可变体系，经微小位移后又成为几何不

变体系的体系

体系特点：1、从微小运动角度看为可变体系；

2、当A点沿公切线发生微小位移后，两连杆不再共

线，体系不在为可变体系

瞬变体系不可作为结构使用

7瞬铰

A点微小位移与1垂直，C点微小位移与2垂直，刚片可发生以O点位

中心的微小转动，O称为瞬时转动中心

从微小角度看，两根链杆所起的作用相当于在链杆交点处的一个铰所起

的作用

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8无穷远处的瞬铰

链杆交点在无穷远处，两根连杆的约束作用相当于无穷远处的瞬铰所起

作用。由于瞬铰在无穷远处，绕瞬铰的微小转动退化为平动，即沿两根

连杆的正交方向产生平动。

在几何构造分析中，应用无穷远处瞬铰的概念时，可采用射影几何中关

于∞点和∞线的四个结论：

1、每个方向有一个∞点〔即该方向各平行线的交点〕；

2、不同方向有不同的∞点；

3、各∞点都在一直线上，此直线成为∞线；

4、各有限点都不在∞线上。

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教法提示

§2-2平面几何不变体系的组成规律

教学目的：牢固掌握几何不变体系的组成原则，能熟练分析各

种常遇结构的几何组成。

教学内容：一、几何不变体系的基本组成规则

二、常用的简化方法。

教学重点：两刚片规则、三刚片规则。

教学难点：加减二元体规则的应用。

1、一个点与一个刚片之间的联结方式

由于两链杆

在点A处的

运动方向不

一致,因此是

不可变的。

规律1

一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在一条直线

上，则组成几何不变体系，并且没有多余约束。

两根不在一条直线上的链杆用一个铰连接后，称为二元体。

规律1还可以这样表达：

在一个体系上加上或去掉一个二元体，是不会改变体系原来

性质的。

利用规律1，可以组成所需的不变体系：

2两个刚片之间的联结方式

规律2两个刚片用一个铰和一根链杆相联结，且三个铰不

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在一条直线上，则组成几何不变体系，并且无多余约束。教法提示

把规律1中

的1根链杆

用刚片代

替。

3三个刚片之间的联结方式

规律3：三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一条直线上，则组

成几何不变体系，并且无多余约束。

把规律2中

的另1根链

杆也用刚片

代替。

以上三条规律实际上可以归纳为一个基本规律：三角形规律。

前面说过：一根链杆相当于一个约束，一个单铰相当于两个约束，

因此一个单铰可以用两根链杆来代替，有：

规律4：两个刚片用三根不交于一点的链杆相连，则组成几何不变体系，

并且无多余约束。

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利用以上规律，我们可以组成各种各样的几何不变体系，也可以对已组

成的体系进行几何构造分析。

1〕组装几何不变体系

〔1〕从基础出发进行组装把基础作为一个刚片，然后运用各条规律把

基础和其它构件组装成一个不变体系。

例1：

基础为刚

片，搭上了5

个二元体

没有多余约束的几何不变体系地基为刚片

1，AB为刚

片2，通过3

个连杆组成

几何不变

体，再搭上2

没有多余约束的几何不变体系个二元体

1，2为刚片，

搭上二元体

34，和56

没有多余约束的几何不变体系

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〔2〕从上部体系出发进行组装先运用各条规律把上部结构组装成一个几教法提示

何不变体系，然后运用规律4把它与基础相连。

例1：

I2刚片通过铰C和杆DE组成几何不变体系再与地基组合

ADE和BCF刚片通过杆AB、CD、EF组成几何不变，再与基础组合

例1

ＡＤＥ和ＡＦＧ为刚片，１和２交于Ｂ，３，４交于Ｃ，如果ＡＢＣ３

铰不共线则为无多余约束几何不变体系，否则为瞬变体系。

20

刚片ＣＤＥ，连杆１，２，３假设不共点无多余约束几何不变，否则为

瞬变体系

例２

Ｉ２３三个刚片，１２用杆ＡＢ，ＤＥ连接相当一瞬铰

２，３无穷远处瞬铰，１，３交一点，三个瞬铰不共线，几何不变无多

余约束

同理，由于３个个瞬铰共线，内部瞬变

例３

21

１，２，３三刚片用三个铰Ｏ１２，Ｏ２３，Ｏ１３两两相连，Ｏ１２

无穷远处瞬铰，Ｏ１３，Ｏ２３连线与杆１２平行则瞬变，否则则不变

无多余约束

Ｏ１３，Ｏ２３为两个方向的无穷远处瞬铰，为∞线上两点，Ｏ１２为

有限点，三铰不共线，几何不变无多余约束。

三个点都为无穷远瞬铰，由于∞点共线，所以为瞬变体系。

例４

拆除支座连杆，分析上不体系，在上部体系中拆除二元体，余下的１，

22

２，３刚片符合三刚片规则

例５

从基础出发，增加二元体，１２，３４，５６，７８，９１０生成刚片

１，刚片２为一三角形单元加一二元体，刚片１，２通过１１，１２，

１３交于一点的三连杆相连，为几何可变体系

例６清华大学考２００５研题

用排除二元体法，从右端一次拆除结点Ｈ，Ｇ，Ｆ，Ｅ，留下铰接三角

形单元ＡＣＤ几何不变无多余约束。

例７武汉水利水电大学２００６

23

地基增加二元体１１，１２、９，１０形成刚片１，运用三刚片规则

例８华南理工大学２００６

先去掉基础，再去掉二元体Ａ，Ｂ进行分析，外边三角形ＣＤＥ和里面

三角形ａｂｃ通过３不交于一点的连杆１，２，３相连，几何不变无多

余约束。

§2-3平面杆件体系的计算自由度

运用上节的三角形规律对一些常见的体系进行构造分析，并对下面两

个问题作出定量的答复：

(1)、体系是否几何可变，自由度S是多少？

(2)、体系有无多余约束？多余约束的个数n是多少？

实际上有一些复杂体系并不是按照三角形规律组成的，如何对他们进

行构造分析，如何求出他们的S和n，需要进一步的讨论。为此，我们

引入计算自由度W的概念，然后利用W来得出关于S和n的一些讨论。

自由度S的算法：体系是由部件加上约束组成。首先设想体系各个约束

都不存在，计算各部件的自由度总合a；其次在全部约束中确定非多余约

束c；最后将两数相减，得出体系的自由度S。

S=a-c(1)

概念简单，运用困难。需事先分清楚哪些约束是非多余约束，哪些是多

余约束，这个问题牵涉到体系的具体构造。为了回避这个问题，引入计

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新的参数W：教法提示

W=a-d(2)

d是全部约束的总和。只需算出全部约束的总数d，不需要研究

哪些约束是多余约束n这个难题。

全部约束d与非多余约束c的差数是多余约束n

d-c=n

由此可得

S-W=n

这就是计算自由度W、自由度S和多余约束n三者之间的关系，

知道两个参数可以确定第三个参数。

自由度S和多余约束n都不是负数，即S≥0,n≥0,可得

S≥W,n≥-W

W是自由度S的下限，-W是多余约束的下限。

对部件和约束的说明：

部件可以是点也可以是刚片；

需注意刚片的内部是否有多余约束，式2中作为部件的刚片是

没多余约束的，如果遇到内有有多余约束的刚片，则应先把它

变成内部无多余约束的刚片，而它的附加约束则在计算体系的

约束总数时应考虑进去

(a)A内部无

多余约束

(b)、(c)、(d)

有1、2、3

个多余约束

可以看作内

部分别附加

了一个链

杆、一个铰

结、一个刚

结。

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约束分单约束和复约束。教法提示

两个刚片间的结合为单结合。三个刚片间的结合相当于两个单结合。

一般地，n个刚片间的结合相当于n-1个单结合。

单结合

相当于两个单结合

联结两点的链杆称为单链杆，相当于一个约束。

连接三点的链杆将原来的结点的6个自由度减少刚片的三个自由度，相

当于3个单链杆，相当于3个约束。

一般地，连接n个点的复链杆相当于2n-3个单链杆。

计算自由度的算法：两种算法的

第一种方法：m表示体系中刚片的个数，刚片总自由度为3m。区别：体系

计算约束时注意：体系中如有复约束，应先折合成单约束，刚片内部如中选取部件

有多余约束，也应计算在内；的观点不同

g代表单刚结个数，h单表单铰结个数，b代表单链杆个数，则约束总数

为3g+2h+b；体系的计算自由度为

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W=3m-(3g+2h+b)教法提示

第2种方法

把体系看作由许多结点受链杆的约束而组成，体系中如有复链杆，应

先拆成单链杆，j代表结点个数，b代表单链杆个数，体系计算自由度为

W=2j-b

混合算法

W=〔3m+2j〕-(3g+2h+b)

W可正可负或为零，根据W不能得到自由度S和多余约束n确实切值，

但可以给出S-n的值，也可以得到S和n的下限值，得出以下定性结论

(1)假设W〉0，则S〉0，体系是几何可变体系

(2)假设W=0，则S=n，如无多余约束则几何不变，如有多余约束则几何

可不变；

假设W〈0,则n〉0,体系有多余约束。

例题9求图示体系自由度

解：

第一种算法

刚片数、m=7；复铰：D、E各相当于2个单铰，折合后全部单铰个数

h=9,支杆数b=3，刚结点g=0。

W=3m-2h-b=3×7-2×9-3=0

第2种算法

结点数j=7,复链杆AC，BC相当于3个单链杆，折算后全部单链杆个数

b=14

W=2j-b=2×7-14=0

例题10求图示体系自由度

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教法提示

解：

支座全部去掉，剩下一内部有多余约束刚片，在G处截开，

变为无多余约束刚片。

刚片数m=1,链杆个数b=4,铰结数h=0，A、B、C三处的单刚结

数g=3。

W=3m-(3g+2h+b)=3×1-(3×3+2×0+4)=-10

显然，体系为几个不变，则S=0，多余约束n

n=S-W=0-(-10)=10

有10个多余约束的几何不变体系。

例题11求图示体系自由度

解：

全部有链杆组成的铰结体系，结点数都为j=6，单链杆数都为

b=9

W=2j-b=2×6-9=3

没于地基相连，有3个自由度，两个体系的计算自由度是W-3

=0。由于a为几何不变无多余约束，S-3=0,n=0，b内部瞬变，

且有多余约束，则S-3=n>0。

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第三章静定结构的受力分析教法提示

教学目的：能在熟练掌握反力计算的基础上用简易方法迅速绘

制单跨静定梁的内力图；掌握多跨静定梁的分层关

系。熟练运用区段叠加原理。掌握斜梁与普通直梁受

力的异同点。

教学内容：一、单跨静定梁的内力计算及内力图；

二、多跨静定梁的内力计算及内力图；

教学重点：区段叠加法作弯矩图，多跨静定梁的内力计算。

教学难点：区分多跨静定梁的基本部分和附属部分。

§3-1梁的内力计算的回忆

1．截面的内力分量及其正负号规定

平面任意力系平衡方程。

在平面杆件的任一截面上，一般有三个内力分量：轴力、剪

FN

力和弯矩。

FQM

弯矩值=截面上应力对截面形心的力矩。在水平杆件中，当

弯矩使杆件下部受拉时弯矩为正。

剪力值=截面上应力沿杆轴法线方向的合力，以绕微段隔离

体顺时针转者为正。

轴力值=截面上应力沿杆轴切线方向合力，轴力以拉力为

正。

作轴力图和剪力图时要注明正负号，作弯矩图时，我们规定

弯矩图的纵坐标应画在杆件受拉纤维一边，不注明正负号。

2．截面法

计算指定截面内力的基本方法是截面法，即将杆件在指定截

面切开，取左边部分或右边部分为隔离体，利用隔离体的平衡

条件，确定此截面的三个内力分量。

由截面法得出梁截面内力的计算规则：

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弯矩值=截面一侧所有外力对截面形心之矩的代数和。教法提示

剪力值=截面一侧所有外力沿杆轴法线方向(在截面上)投影

的代数和。

轴力值=截面一侧所有外力沿杆轴线切线(在截面法线上)投

影的代数和。

画隔离体受力图时需注意的几个问题：

(1)、隔离体与周围的约束要全部截断，以相应的约束力代替；

(2)、约束力要符合约束的性质；

(3)、隔离体是应用平衡条件进行分析的对象，在受力图中只画

图隔离体本身所受的力，不画隔离体施加给周围的力；

(4)、不要遗漏力：荷载和约束力

(5)、未知力一般假设为正号方向，数值是代数值。

3．荷载与内力之间的微分关系

由平衡条件可得微分关系

dFdFdM

Nq，Qq，F

dxxdxydxQ

4、荷载与内力之间的增量关系

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教法提示

FF，FF，MM

NxQy0

5．荷载与内力之间的积分关系

x

FFBqdx

NBNAx

x

A

x

FFBqdx

QBQAy

x

A

x

MMFBFdx

BAQ

x

A

积分关系的几何意义：

(1)、B端的轴力等于A端的轴力减去该段轴向荷载图的面积；

(2)、B端的剪力等于A端的剪力减去该段竖向荷载图的面积；

(3)、B端的弯矩等于A端弯矩加上此段剪力图的面积；

6．分段叠加作弯矩图

对结构中的直杆段作弯矩图时，可采用分段叠加法。

弯矩图为直

线

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教法提示

两图叠加

叠加原理成立条件：梁的弹性模量为常数，弹性变形

弯矩的关系:M(x)M0(x)M(x)

注意：纵坐标M0是垂直于杆轴线AB，而不是虚线A′B′。

任意直杆段的弯矩图：

弯矩图一般做法：

(1)、选定外力的不连续点为控制截面，求出控制截面的弯矩值；

(2)、分段画弯矩图。

当控制截面间无荷载时，根据控制截面的弯矩值可做出直线弯矩图，当

控制截面间有荷载，根据控制截面的弯矩值做出直线弯矩图后，再叠加

这一段按简支梁求得的弯矩图。

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例3-1试作简支梁的内力图教法提示

剪力图要注意以

下问题：集中力

处剪力有突变；

没有荷载的节间

解:剪力是常数；均

(1)作剪力图布荷载作用的节

无荷载段：AB、BC、EF、FG，剪力图为水平线，先求支座反间剪力是斜线；

力，再求控制截面的剪力。集中力矩作用的

节间剪力是常

FF17kN

QARA数。

FRFF1789kN

QBRAP

FFFq4178167kN

QERAP

(2)作弯矩图

找控制面：A、B、C、E、FL、FR、G。

M0，MF117kNm，

ABRA

MF2F134826kNm

CRAP

MF2M141630kNm

ERG

33

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教法提示

MLF1M71623kNm

FRG

MRF17kNm

FRG

、、、弯矩图为直线，有均布荷载，需

A3B3B3C3E3F3F4G3C3E3

叠加简支梁在均布荷载作用下的弯矩图。

由剪力为零确定最大弯矩及位置

1

MMHFdx2692.2536.1kNm

HCQ

C2

例3-2用区段叠加法画弯矩图

34

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§3-2静定多跨梁教法提示

1．多跨静定梁的定义

几何不变无

多余约束，

静定的

几何不变有

多余约束

2．多跨静定梁的基本形显然作用在附属

3．分划多跨静定梁的步骤部分上的荷载不

〔1〕分清主次梁〔分清基本部分和附属部分〕仅使附属部分产

〔2〕主次梁的传荷关系生内力，而且还

主次梁传荷关系：次→主会使基本部分也

次→次主→主产生内力。作用

主←次主←次→次主→主在基本部分上的

(3)画层叠图荷载只会使基本

部分产生内力。

4．多跨静定梁的计算方法

先次后主，依次计算，分别作图，左右相联。

例3-3作图示静定多跨梁的内力图

35

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教法提示

例3-4图示一两跨梁，全长承受均布荷载q，试求铰D的位置，

使得负弯矩峰值和正弯矩峰值相等。

36

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教法提示

解：x表示D和B之间的距离，先计算附属部分AD，求出制

可知，一般

作反力为q(lx)，作出弯矩图，跨中正弯矩峰值q(lx)2

28来说，静定

q(lx)xqx2多跨梁与一

再计算附属部分，求出支座B处负弯矩为

22系列简支梁

正负弯矩相等相比，材料

q(lx)2q(lx)xqx2用量更少一

822些，但构造

要复杂一些

x0.172l，峰值0.086ql2

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§3-3静定平面刚架教法提示

教学目的：熟练掌握静定刚架〔简支、悬臂、三铰刚架〕的内

力计算和内力图。

教学内容：一、刚架的特点及分类；

二、静定刚架的反力计算；

三、静定刚架的内力计算与内力图。

教学重点：静定刚架内力图的绘制。

教学难点：组成刚架的立柱的弯矩图绘制。

1、刚架的特点及分类

刚架：由梁和柱组成，梁柱结点为刚性联接。在刚性联接的结点处，

杆件之间不会发生相对转角、相对竖向位移和相对水平位移。主要用于

房屋结构、桥梁结构、地下结构等。

刚架与桁架的区别：桁架的结点全部为铰结点，刚架的结点全部或

部分为刚结点。

刚架的特点：

1．杆件少，净空大。2．结构中内力的分布趋于均匀。3．刚架各

杆为直杆，便于加工制做。

静定平面刚架的型式：

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2、刚架的支座反力教法提示

在静定平面刚架的受力分析中，通常先求支座反力，再求控制截面的内以例题形式

力，最后作弯矩内力图。说明支座反

例：力的求解

有四个自由度，加C除弯矩为零可以列4个方程，四个未知量。

qqf2

M0，Flf20，F

ByA2yA2l

qqf2

M0，Flf20，F

AyB2yB2l

llqf

M0，FfF0，FF

CxByyB2xByB2f4

3

F0，FFqf0，FFqfqf

xxAxBxAxB4

例：多跨刚架

解：

四个未知反力，整体三个平衡方程，加铰E处弯矩为零

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教法提示

考虑GE部分，由M0，得

E

1

F(2kN2m4kN/m2m1m)3kN

xG4

考虑整体平衡

F0，F2kN2kN3kN)1kN

xxA

1

M0，F(2222)2kN

ByA4

1

M0，F(4842222)30kN

AyB4

3、刚架中各杆的杆端内力

作刚架内力图时，首先要求各杆的杆端内力。求杆端内力的基本方

法仍是截面法。需要注意的几个问题

1）要注意内力正负号的有关规定。在刚架中，剪力和轴力都规定正负

号，与梁相同，玩具不规定正负号，画在杆件受拉纤维的一边。

轴力以拉为正，压为负。

剪力绕所研究的部分顺时针转为正，反之为负。

弯矩图画在杆件的受拉侧，不注明正负号；

剪力图和轴力图可画在杆件的任一侧，但必须注明正负号。

2）要注意在结点处有不同的杆端截面。

如图，笼统地说截面是无意义的。，，的弯矩分别用，

DD1D2D3MDA

，来表示。

MDBMDC

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3）要正确的选取隔离体。教法提示

用截面法求三个指定截面，，的弯矩应分别在指定截面切开，得

D1D2D3

出隔离体。分别对三个隔离体应用平衡条件，可得内力如下

F0F4kNF0

NDANDBNDC

F5kN，F5kN，F4kN

QDAQDBQDC

M5kNmM15kNmM20kNm

DADBDC

4）要注意结点的平衡条件

应满足结点D的三个平衡条件，缺一不可

F5500，F0440，M515200

xy

可以进行校核。

4、刚架的内力图

由于刚架是梁和柱的组合，因此画内力图和梁是一致的，只是对柱

的弯矩图规定画在受拉边。

刚架内力图作法是把刚架拆成杆件。也就是说，先求杆的杆端内力，

然后再利用杆端内力作各杆的内力图，各杆的内力图合在一起就是刚架

的内力图。化整为零，化零为整。

解：第一种方法

1)求支座反力

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qaqa教法提示

F0，Fqa，M0，F，F0，F

xxAAyB2yyA2

2〕作弯矩图

先根据截面法，求得各杆杆端弯矩

qa2

M0，M，右边受拉

ACCA2

qa2

M0，M，下边受拉

BCCB2

分别作各杆内力图，CB杆上没荷载，将杆端弯矩以直线连接为弯矩图。

AC杆上有荷载，需将杆端弯矩连以直线后叠加相应简支梁的弯矩图。

3〕作剪力图

先求各杆端剪力

qa

Fqa，F0，FF

QACQCAQBCQCB2

利用杆端剪力作剪力图，BC无荷载，剪力为常数，AC有荷载，为斜直

线。注明正负号。

4〕作轴力图

先求各杆端轴力

qa

FF，FN0

NACNCA2NBCQCB

利用杆端轴力作轴力图，由于各杆无切向荷载，所以为常数。

5）校核

qa2qa2

结点C弯矩，M0

C22

qaqa

结点C各杆剪力和轴力，F0，F0

xy22

第二种方法：

第一种方法的杆端剪力和杆端轴力是根据截面一边的荷载和支座反力直

接求出的。下面先作弯矩图，然后取杆件作隔离体，利用杆端弯矩球杆

端剪力，最后取结点为隔离体，利用杆端剪力求轴力。

1)求杆端剪力

qa2

以杆AC为隔离体，根据已作出的弯矩图，知A端M=0，C端M为，

2

右边手拉，反时针力偶。未知杆端力F,F按正方向画出。应用力矩

QN

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衡方程，可以求出杆端剪力：教法提示

1qa2a

M0，F(qa)0

AQCAa22

1qa2a

M0，F(qa)qa

CQACa22

在以CB为隔离体，同理可得

qa

FF

QCBQBC2

2〕求杆端轴力

qa

作结点C的隔离体图，根据做出的剪力图，知F0，F。

QCAQCB2

未知轴力F，F按正方向画出，应用投影平衡方程，可得

NCANCB

qa

F0，F=0，F0，F

xNCByNCA2

例：绘制门式刚架左半跨在均布荷载作用下的内力图。

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解：教法提示

（1）求支座反力

M0，6312F0，F1.5kN