动态型问题中考数学真题汇编解析

2011-2012全国各地中考数学试题分考点解析汇编

动态型问题

一、选择题

1.（2011北京4分）如图在RtZ\ABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,AB=2,D是AB边上的

一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E.设AD=x,CE=＞，

得AC"。

从图形可知，当点D接近点A,即X接近。时，点E接近点A,即y接近百，故选项D错

误。从所给的A,B,C三个选项看，》都在1附近的某一点取得最大值或最小值，从以下的

图1和图2看，当》在1附近的某一点D时CE是最短的，即丫有最小值，故选项A错误。

从图2看当》大于使丫有最小值的那一点后，V随x增大而增大，并且是能够大于AC=^,

故选项C错误。因此选B。

实际上，通过作辅助线DF_LAC于F,利用相似三角形和勾股定理是可以得到＞与％的函数

关系式的：

_2何Y-3x+3、

31人但由此函数关系式是不能直接判定它的图象的。

2.（2011重庆漳南4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形0ABC是菱形，点C的坐标

为（4,0）,ZA0C=60°,垂直于*轴的直线1从）'轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位

长度的速度向右平移，设直线1与菱形0ABC的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），

若aOMN的面积为S,直线1的运动时间为t秒（0WtW4）,则能大致反映S与t的函数

关系的图象是

【答案】Co

【考点】动点问题的函数图象，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正比例函数

的图象，二次函数的图象。

【分析】如图1,过A作AH_L%轴于H,由已知菱形C0AB边长为4,ZA0C=60°,根据含

30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出0H=2,AH=2^3„根据已知0WtW4分两种

情况讨论；

6，。瓜=旦心

①当0<t<2时点M在0A上运动（如图l）,0N=t,MN=V3t,S=2.ON•MN=22

rz——t-26=VJt

②当2WtW4时点M在AB上运动（如图2）,0N=t,MN=2V3,s=2.ON•MN=2。

因此，S与t的函数关系为：当0《tV2时为抛物线，当2WtW4时为直线，故选C。

另作介绍：当4ctW6时，点N在CB上运动（如图3）,OE=t,EM=2,EN=（t-4）近

上的一个动点，PQ

切。0于点Q,则PQ的最小值为

1

A.屈B.亚C.3D.2

【答案】B。

【考点】圆的切线的性质，垂线段的性质，勾股定理。

【分析】因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△.又0Q为定值，所以当0P最小时，PQ最小.根

据垂线段最短，知0P=3时PQ最小.运用勾股定理得PQ=J^P'-°Q'=疔三=逐。

故选B。

4.（2011浙江省3分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（—2,4）,B

（4,2）,直线？=区一2与线段AB有交点，则出的值不可能是

A.-5B.-2C.3D.5

【答案】Bo

【考点】直线的斜率。

【分析】直线）=履-2与线段AB有交点，当点A为二者交点时•，有

4=-2"2,%=-4；当点B为二者交点时，有2=以-2,k=l一..当A4-4或时,

直线）=履一2与线段AB有交点•z的值不可能是一2。故选B。

5.（2011浙江绍兴4分）李老师从“淋浴龙头”受到启发.编了一个题目：在数轴上截取

从0到3的对应线段AB,实数m对应AB上的点M,如图1；将AB折成正三角形，使点A,B

重合于点P,如图2：建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于V轴对称，且点P的

坐标为（0,2）,PM与x轴交于点N（n,0）,

如图3.当m=6时，求n的值.

述2月

A、4-26B、26一4C、-3D、3

【答案】Ao

【考点】等边三角形的性质，轴对称的性质，锐角三角函数的定义，平移的性质，相似三角

形的判定和性质，实数与数轴。

【分析】根据已知条件得出4PDE的边长PD=PE=DE=1,再根据对称的性质可得出PF±DE,

By/3~~

DF=EF,由锐角三角函数的定义求出PF=2,由!11=百求出FM='又0P=2,根据相

似三角形的判定定理判断出APFM^APON,利用相似三角形对应边成比例的性质得：

叵3

PFFM_2__3_2

OP=ON,即ON,解之得

0N=4-2百。故选A。

x>0）图

X

象上

的两点，BC〃X轴，交y轴于点C.动点P从坐标原点0出发，沿O-A-B-C

匀速运动，终点为C.过点P作PM，x轴，PN_Ly轴，垂足分别为M、N.设四

边形OMPN的面积为S,点P运动的时间为t,则S关于t的函数图象大致为

【答案】A。

【考点】动点问题的函数图象，反比例函数综合题。

【分析】当点p在0A上运动时，此时S随t的增大而增大，当点P在AB上运动时，S不变,

.••B、D错误；当点P在BC上运动时，S随t的增大而逐渐减小，.・.C错误。故选A。

7.（2011浙江宁波3分）如图，©01的半径为1,正方形ABCD的边长为6,

点02为正方形ABCD的中心,0102垂直AB于P点，0102=8.若将。01

绕点P按顺时针方向旋转360°,在旋转过程中，。01与正方形ABCD的边

只有一个公共点的情况一共出现

（A）3次（B）5次（06次（D）7次

【答案】Bo

【考点】直线与圆的位置关系，正方形的性质

【分析】：。01的半径为1,面■形ABCD的边长为6,点02为正方形ABQ）

的中心，0102垂直AB于P点,

设0102交圆01于M,，PM=8—3—1=4。...圆01与以P为圆心，以4为

半径的圆相外切。

二在旋转过程中，©01与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出

现5次。

故选Bo

8.（2011辽宁本溪3分）如图，正方形ABCD的边长是4,NDAC的平分线交

DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值

A、2B、4C、2&D、4垃

【答案】C„

【考点】轴对称的性质，正方形的的性质，勾股定理，垂直线段的性质，三角

形的性质。

【分析】过D作AE的垂线交AE于F,交AC于D',再过D'作AP'±AD,由

角平分线的性质可得出D'是D关于AE的对称点，AD'=AD=4。而根据垂直线

段最短的性质和三角形两边之和大于第三边的性质，可知D'P'即为DQ+PQ的最小值。•••

四边形ABCD是正方形，.,.ZDADZ=45°，.-.AP,=P'D'。.•.在RtAAP,D'中，

2P'D'2=AD'2,即2P'D'2=16,.*.P/D'=2及，即DQ+PQ的最小值为2&。故选C。

9.（2011辽宁阜新3分）如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC中

点，

点F是边CD上的任意一点，当AAEF的周长最小时，则DF的长为

A.1B.2C.3D.4

【答案】Do

【考点】矩形的性质，轴对称的性质，三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解分式方

程。

【分析】从题意可知，由于在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是BC中点，故

AE长度固定，要4AEF的周长最小只要AF+EF最小即可。作点E关于CD的对称

点E',连接AE'交CD于点F,则由轴对称的性质AE'=AF+EF。根据三角形

两边之和大于第三边的性质，知对CD上任意点F',总有AF'+E'F'>AE,,

即点F是使AF+EF最小的点。设DF=x,则CF=6—X。由轴对称的性质可得

ADDF8x

.—--———--

△ADF^AACFE,有ECCF,即36-x,解得x=4。故选D。

10.（2011黑龙江大庆3分）已知。。的半径为1,圆心0到直线1的距离为2,过1

上的

点A作。。的切线，切点为B,则线段AB的长度的最小值为

A.1B./C.*D.2

【答案】C。

【考点】点到直线的距离的定义，切线的性质，勾股定理。

【分析】先连接0B,易知aAOB是直角三角形，再利用勾股定理即可求出AB：

2222

AB=VAO-OB=72-1o故选C。

11.（2011湖南永州3分）如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线/,

从点B开始沿着线段BD匀速平移到D.设直线/被矩形所截线段EF的长度为y,

运动时间为t,则y关于t的函数的大致图象是

【答案】A。

【考点】动点问题的函数图象。

【分析】•••直线/从点B开始沿着线段BD匀速平移到D,.•.在B点时，EF的长为0；随着移

动，长度逐渐增长；经过A点时长度最大，一直保持到C点；继续移动，长度逐渐缩短，到

D点长为0。.•.图象A符合题意。故选A。

12.（2011湖南岳阳3分）如图，边长都是1的正方形和正三角形，其一边在同一水平线上,

三角形沿该水平线自左向右匀速穿过正方形.设穿过的时间为t,正方形与三角形重合部分

的面积为S（空白部分），那么S关于t的函数大致图象应为

【答案】D„

【考点】动点问题的函数图象，勾股定理。

【分析】•••边长都是1的正方形和正三角形，其一边在同一水平线上，三角形沿该水平线自

左向右匀速穿过正方形.穿过的时间为t,正方形与三角形重合部分的面积为S（空白部分），：

AS关于t的函数大致图象应为：三角形进入正方形以前是空白面积逐渐增大，

当0WtW2时，s=5xtX^t=2t2,

当5<tWl时，S=2XIX2-2X(1-t)x6(1-t)=-2t2+^t-4,

3112B

当IVtW2时，S=5XIX2-2x(t-l)X百(t-l)=-2t2+^t-4,

3B

当5ctW2时，S=2x(2-t)X有(2-t)=2t2-4百t+26，

与t是分段的二次函数关系.只有D符合要求。故选D。

13.（2011山东莱芜3分）如图，在直角坐标系中，长为2,宽为1的矩形ABCD

上:有一动点P，沿A-Bf—DfA运动•周，则点P的纵坐标了与点P走过的路程5

ABCD

【答案】D。

【考点】一次函数的图象。

【分析】根据所给题意，结合一次函数的图象直接得出结论：当A-B时-，点P的纵坐标丫从

2-1,故排除A、B两选项；当B-C时，点P走过的路程$为2,故排除C选项。故选

14.（2011山东威海3分）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm,动点M自A点出发沿AB

方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD-DC-CB以每秒3cm

的速度运动，到达B点时运动同时停止。设△AMN的面积为'（cm2）。运动时间为》（秒），

则下列图象中能大致反映丫与》之间函数关系的是

［加「|九,'h,

A.-4B.-4c.-4D.

【答案】A。

【考点】列函数关系式，一次函数和二次函数图象的特点。

1.3,

一•x•3x=­x

【分析】当OW%W1时，点N自A点出发至点D,此时'=22；当1<X・2时,

点N自D点至

一,x,3=-x

点C,此时y=22.当2<XW3时，点N自C点至点B,此时

根据•次函数和二次函数图象的特点，图象A能大致反映了与X之间函数关系。故选A。

y=——x+百

15.（2011山东东营3分）如图，直线,3与大轴、）'轴分别交于

A、B两点，圆心P的坐标为（1,0）,圆P与>轴相切于点0,若将圆P

沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点;P的个数是

A.2B.3C.4D.5

【答案】Bo

【考点】动点问题，圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，一次函

数的图象。

【分析】如图，当圆P沿x轴向左移动，移动到R和「2时，圆P与直线相切，则圆P与该

直线相交时，圆心在耳和「2之间。由RE_LAB知0日=1,即耳（一

_>/3/T

y=x4--V3

1,0）;由直线.3与X轴、y轴分别交于A、B两点可

知A（-3,0）,B（0,6）即0A=3,0B=6,AB=2,由

△AB0^AAFP2,可得A「2=2,，0「2=0八+八「2=5,即P2（-5,0）,所以在耳和「2

之间的整数为-2,-3,一4三个。故选B。

16.（2011广东台山3分）如图,ZACB=60O,半径为2的。。切BC于点C,若将

。。在CB上向右滚动，则当滚动到。。与CA也相切时，圆心0移动的水平距离为

CB

C、2料D、4

A、2兀B、4以

【答案】Co

【考点】圆和切线，解直角坐标三角形。

【分析】如图，当滚动到。0与CA也相切时，圆心0移动的水平距离等于

CE的长。注意到当。0与CA和CB都相切时，0C平分NACB,所以在RtAOCB

能十2百

中，Z0CE=30O,0E=2,CE=。故选Co

17.（2011湖北襄阳3分）如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,AD=6,BC=16,

E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q产弋

同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点/

Q也随之停止运动.当运动时间♦=▲秒时，以点P,Q,E,D为顶点的四边形是/

平行四边形.BEQC

14

【答案】2或3。

【考点】梯形的性质，平行四边形的判定。

【分析】由已知以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形有两种情况，（1）当

Q运动到E和B闻，（2）当Q运动到E和C之间，根据平行四边形的判定，由AD〃BC,

所以当PD=QE时为平行四边形.根据此设运动时间为1,列出关于t的方程求解：

（1）当Q运动到E和B之间，

14

则PD=6-f,QE=2f-8,；.6-f=2f-8,解得：f=3。

（2）当Q运动到E和C之间，

则PD=6—f,EQ=8—2f,...6—.=8-2»,解得：，=2。

因此，当运动时间，=2或3秒时，以点p,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形。

18.（2011贵州六盘水3分）如图,在菱形ABCD中，对角线AC=6,BD=8,点E、F分

别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，

则这个最小值是

【答案】C。

【考点】轴对称（最短路线问题），菱形的性质。B

【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E',连接E'F,则E'F

即为PE+PF的最小值，再根据菱形的性质求出E'F的长度即可：

•.,四边形ABCD是菱形，对角线AC=6,BD=8,二AB二行三=5。/代

作E关于AC的对称点1,连接E'F,贝IJE'F即为PE+PF的最小值。E'/\

：AC是NDAB的平分线，...E'在AD上，AE=AE'。/[\\\

YE为AB的中点，为AD的中点。AI1/

B

是BC的中点，...E'F=AB=5。

故选C。

19.（2011四川巴中3分）如图所示，一只小虫在折扇上沿0fAfB—0路径爬行，能大

致描述小虫距出发点0的距离s与时间t之间的函数图象是

【答案】Co

【考点】函数的图象。

【分析】分析题目条件，一只小虫在折扇上沿0—A-Bf0路径爬行，当沿0fA时，小

虫距出发点0的距离逐渐增大；当沿A—B时，小虫距出发点0的距离不变；当沿B-0时，

小虫距出发点0的距离逐渐减小。故选Co

20.（2011四川广安3分）在直角坐标平面内的机器人接受指令""（a20,

0。VAV180。）后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向正前方沿

直线行走a个单位长度.若机器人的位置在原点，正前方为y轴的负半轴，

则它完成一次指令后位置的坐标为

A、（一1，73）B、（T，一6）

C、（-6,-1）口、

【答案】C»

【考点】坐标与图形的旋转变化，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理。

【分析】根据题意画出图形,由已知得到:0D=2,ND0F=60°,

过点D作DEJ_X轴于E

AZB0A=90°-60°=30°。

，ED=0Dsin30°=1,0E=0Dcos30°=6

故选C

21.（2011辽宁辽阳3分）如图，等边4ABC的边长为4,M为BC上一动点（M不与B、

C重合），若EB=1,NEMF=60°,点E在AB边上，点F在AC边上.设BM=x,CF

=y,则当点M从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是

【答案】Bo

【考点】二次函数的图象，平角的定义，等边三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角

形的判定和性质。

【分析】由已知，根据等边三角形每个内角等于600的性质，NB=NC=60°；又由NEMF

=60°,根据平角的定义和三角形内角和定理，得NEMB=180°-ZEMF-ZFMC=120°-

BEBM

----=---

ZFMC=ZMFC»从而△BMEsaCFM,得CMCF。由已知，BE=1,BM=x,CM=4-x,CF

1_X

=y，所以4—Xy。整理，得y=—#+4x=（x-2）-+4。因此，y关于x的函数是顶点

在（2,4）的二次函数的一部分。故选B。

22.（2011云南玉溪3分）如图（1）,在RtaABC中，ZACB=90°,D为斜边AB的中点，

动点P从B点出发，沿BfCfA运动，设“DPB=y,

点P运动的路程为x,若与x之间的函数图象如图（2）

所示，则AABC的面积为

A.4B.6C.12D.14

【答案】Bo

【考点】函数图象的分析。

【分析】从图（1）可知，当点P运动到点C时，SADPB=>最大，结合图（2）知当x=BC=4

时，SgpB=y最大；同理CA=7-4=3。4ABC的面积为4X3+2=6。故选B。

二、填空题

1.（2011重庆藜江4分）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图

所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角/A=30°,ZB=90°,BC=6米当

正方形DEFH运动到什么位置，即当AE=▲米时，有DC2=AE2+BC2.

14

【答案】3。

【考点】一元二次方程的应用，含30度角直角三角形的性质，勾股定理。

【分析】根据已知，：坡角NA=30°,ZB=90°,BC=6米，；.AC=12米。；

正方形DEFH的边长为2米，即DE=2米，设AE=x,可得EC=12-X,利用

勾股定理得出DC2=DE2+EC2=4+（12-%）2,AE2+BC2=x2+36,

14

X——

VDC2=AE2+BC2,A4+(12-%)2=x2+36,解得：3米。

2.（2011广西百色3分）如图，点C是。0优弧ACB上的中点，弦AB=6cm,EC

为0C上任意一点，动点F从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向响点B匀

速运动，若y=AE2-EF2,则>与动点F的运动时间了（0<xw6）秒的函数关I/1\

系式为▲M/°

【答案】¥=-/+6*。，/

【考点】动点问题，弦径定理，勾股定理。

【分析】延长CO交AB于点D,根据弦径定理，由点C是。0优弧ACB上的中点可知

ED±AB,AD=3。由已知动点F从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向响点B匀速/片

运动，AF=LFD=3-x。根据勾股定理得/%

”一广QB

AE2=AD2+ED2=32+ED2,EF2=FD2+ED2=(3—％)2+ED2,

22x222

y=AE2-EF2=(3+ED)一{(3-)+ED)=-X+6XQ

3.(2011广西贵港2分)如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为

AB、

AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP,则4BPG的周长的最

小值是_▲.

【答案】3。

【考点】正三角形的性质，三角形的性质，三角形中位线的性质。

【分析】要求△BPG的周长的最小值，先要找出使△BPG的周长最小时点P的位置。

由正三角形的性质知，点A、G关于直线EF对称，即AP=GP,AE=GE。从而根据三角

形两边之和大于第三边的性质，不论点P在EF上的其它位置，总有AP+GP>AB。即

点P在点E时△BPG的周长最小，易知AEBG的边长为1,周长为3,即△BPG的周长

的最小值是3。

4.(2011广西河池3分)如图，在aABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,P是

BC边上的动点，设BP=x.若能在AC边上找到一点Q,使/BQP=90。，则彳

的取值范围是▲

【答案】

【考点】动点问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别

式，解不等式。

【分析】过点Q作QH_LBC,垂足为H,则△CQHsaCAB,

由AB=3,BC=4,可知QH：HC=3：4,

设QH=3&,IIC=4&,由BH=4-4&,1犷=%—4+4々。

要使NBQP=90°,则有QH2=BH・HP,即(3人)2=(4—4%)(*—4+4%),

整理，

得关于人的方程25公+(4x_32*+16-4x=0,

A=(4x-32)2-4-25-(16-4x)=16x2+144x-576=—(JC+12)(JC-3)

则

—(x+12)(x-3)>0

由A20,得16、，

因为CO,则有x-320,即xN3。

又因为BC=4,所以x44。综上，x的取值范围是34x44。

5.(2011广西钦州3分)如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1

次从原点运动到

点(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),……，按这样的运动

规律，经过第2011

次运动后，动点P的坐标是一▲

(3,2)(7,2)(11,2)

X/WW\.

o(2.0)(4,0)(6,0)(8.0)(10,0)(11,0)了

【答案】(2011,2)o

【考点】分类归纳，直角坐标系中点的坐标。

【分析】由已知找出规律：运动的点P的横坐标等于它运动的次数；它的纵坐标根据运动次

数的奇偶性确定，奇数次时纵坐标为2,偶奇数次时纵坐标为0。按这样的运动规律，经过

第2011次运动后，动点P的坐标是(2011,2)。

6.(2011湖南衡阳3分)如图1所示，在矩形ABCD「「AV

_Dcy

中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点I---------------1

A停止，设点P运动的路程为L4ABP的面积为九/\

如果y关于X的函数图象如图2所示，那么4ABC/：

的面积是▲.-——

I___________I04

【答案】10。AB

【考点】动点问题的函数图象。国

【分析】结合函数的图象求出AB、BC的值，即可图1囹

得出4ABC的面积：

根据题意可得：AB=5,BC=4,r.△ABC的面积是：2x4X5=10。

7.(2011湖南益阳4分)如图，将AABC沿直线AB向右平移后到达^BDE/'”

的位置，若NCAB=5O°,NABC=100°,则/CBE的度数为▲./j//'

【答案】30°。///

【考点】平移的性质，平行的性质，平角的定义。工----匕---L—

【分析】•.•将4ABC沿直线AB向右平移后到达4BDE的位置，,A(:〃BE,AB

.".ZCAB=ZEBD=50°,

VZABC=100°,；./CBE的度数为：180°-50°-100°=30°。

8.(2011山东济南3分)如图，动点0从边长为6的等边AABC的顶点A出发，沿,C

A-C-B-A的路线匀速运动一周，速度为1个单位长度每秒.以0为圆心、m为/\

半径的圆在运动过程中与AABC的边第二次相切时是点。出发后第▲秒.\

［答案］4。MZ7--------、

【考点】动点轨迹问题，正三角形的性质，解直角三角形。

【分析】由题意知。。与AABC的边第一次相切是与AB边相切，第二次相切是与BCC

边相切(如图)，设切点为D。由正三角形的性质知/C=600,.♦.在RtAOCD中，(O^\^

OPA/3_V32

sinZCsin6006/\

0C=。.•.AO=AC-0C=6—2=4。又\•速度为1个单位长度每

秒，，。0与4ABC的边第二次相切时是点0出发后第4秒。

9.(2011广东台山4分)直角坐标系中直线AB交x轴，y轴于点A(4,

0)与B(0,-3),现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，以每秒

1个单位的速度向右作平移运动，则经过▲秒后动圆与直线AB相切。

4也

【答案】33。

【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】设动圆的圆心到达点E处时动圆与直线AB相切。切点为D«易

知RtA/42E*RAA2B

AEDE

AB-OB

当动圆在直线AB的左侧时

57517

OE=OA-AE=4——=—。OE=OA+AE=4+-=—。

33当动圆在直线AB的右侧时33因为速

N和超时

度是每秒1个单位，所以经过33,动圆与直线AB相切。

10.(2011河南省3分)如图,在四边形ABCD中，ZA=90°,AD=4,连接BD,BD±CD,

ZADB=ZC.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为▲

【答案】4。

【考点】角平分线的性质，垂线段的性质，三角形内角和定理。

【分析】根据垂线段最短，当DPLBC的时候，DP的长度最小，

VBD1CD,即/BDC=90°,又/A=90°,

：.ZA=ZBDC,又NADB=NC。AZABD=ZCBDo

又DA_LBA,DP1BC,，AD=DP。

又AD=4,.\DP=4o

11.(2011四川自贡4分)如图，一根木棒(AB)长为2a,斜靠在与地面(0M)

垂直的墙壁(ON)上，与地面的倾斜角(NAB0)为60°,当木棒A端沿N0向

下滑动到A，,AA'=(&一后)B端沿直线0M向右滑动到B「则木棒

中点从P随之运动到P'所经过的路径长为▲.

1

—arc

【答案】12。

【考点】直角三角形斜边上中线的性质，含30度角直角三角形的性质，等腰直角三角形的

判定和性质，勾股定理，弧长公式。

【分析】首先判断P运动到P'所经过的路径轨迹，由于P是木棒的中点，根据直角三角形

斜边上中线是斜边一半的性质，知轨迹是以0P=。为半径的圆弧。

然后求出下滑形成的角度。连接OP,0P'。

由RtZXABO中，NABO=60°,AB=2a,得A0=&

BM

由AA，=(6一后加，得0A，=近a。：.4B1A'0=450。

从而可求得,NP'0A'=450,ZP0A=300„AZPOP'=150。

.♦•木棒中点从P随之运动到P'所经过的路径长为18012。

12.（2011四川广安3分）如图所示，若。0的半径为13cm,点P是弦AB上一动点,

且到圆心的最短距离为5cm,则弦AB的长为▲

【答案】24cm。

【考点】垂直线段的性质，弦径定理，勾股定理。I

【分析】由垂直线段最短的性质，知当点P运动到使OPLAB时，P0最短。/二

由弦径定理，知此时PA=PB。

连接0A。/

由勾股定理，得（

PA2=0A2-0P2o/.PA=12O；.AB=24。

13.（2011甘肃兰州4分）已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于AV

地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，

使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心。所经过的路

线长是▲米.

【答案】2n+50,

【考点】弧长的计算。

【分析】由图形可知，圆心先向前走0102的长度即4圆的周长，k:乂

然后沿着弧0203旋转W圆的周长，最后向右平移50米，所以圆

心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50,由已知得圆的半径为2,则半圆形

的弧长1=2n，，圆心0所经过的路线长=2n+50米。

14.（2011甘肃天水4分）如图，在梯形ABCD中，AB〃CD,ZBAD=90°,AB=6,p

对角线AC平分/BAD,点E在AB上，且AE=2（AEVAD）,点P是AC上的动点，

则PE+PB的最小值是▲.E

【答案】2而。|//

【考点】轴对称（最短路线问题），角平分线的性质，对称的性质，三角形三边AE

关系，勾股定理。

【分析】如图，作EOJ_AC,并延长E0交AD于点F,

•.•对角线AC平分/BAD,ZBAD=90",...点E、F关于AC对称。夕________

；.PE=PF,AE=AF,PE+PB的最小值即线段BF的长。/

VAE=2,AB=6,.*.AF=2oF

B

AE

在Rt^ABF中，由勾股定理得,

BF=JAF'+AB?=V22+62=2而

.♦.PE+PB的最小值是2质。

15.（2011贵州安顺4分）已知：如图，0为坐标原点,四边形0ABC

为矩形，A（10,0）,C（0,4）,点D是0A的中点，点P在BC上运

动，当AODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为▲.

【答案】（2,4）或（3,4）或（8,4）„

【考点】矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质。

【分析】分PD=OD（P在右边），PD=OD（P在左边），OP=OD三种情况，

根据题意画出图形，作PQ垂直于x轴，找出直角三角形，根据勾股定

理求出0Q,然后根据图形写出P的坐标即可：

当OD=PD（P在右边）时，根据题意画出图形，如图所示，过P作PQLx

1_

轴交x轴于Q,在直角三角形DPQ中，PQ=4,PD=0D=20A=5,根据勾

股定理得，DQ=3。故0Q=0D+DQ=5+3=8,则Pl（8,4）。

当PD=OD（P在左边）时，根据题意画出图形,如图所示，过P作PQ_Lx

轴交x轴于Q,在直角三角形DPQ中，PQ=4,PD=0D=5,根据勾股定理得，

QD=3o故OQ=OD-QD=5-3=2,则P2（2,4）»

当PO=OD时，根据题意画出图形，如图所示，过P作PQJ_x轴交x轴于

Q,在直角三角形OPQ中,0P=0D=5,PQ=4,根据勾股定理得：0Q=3。则

P3（3,4）.

综上，满足题意的点P坐标为（2,4）或（3,4）或（8,4）。

16.（2011湖北襄阳3分）如图,在梯形ABCD中，AD〃BC,AD=6,BC=16,

E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向APD

点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P

停止运动时，点Q也随之停止运动.当运动时间心▲秒时，以点P,Q,E,D为

顶点的四边形是平行四边形.

14

【答案】2或

【考点】梯形的性质，平行四边形的判定。

【分析】由已知以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形有两种情况，（1）当

Q运动到E和B划，（2）当Q运动到E和C之间，根据平行四边形的判定，由AD〃BC,APD

所以当PD=QE时为平行四边形.根据此设运动时间为f,列出关于t的方程求解：

（1）当Q运动到E和B之间，

14

则PD=6->,QE=2»-8,二6-1=2/—8,解得：，=3。

(2)当Q运动到E和C之间，

则PD=6一七EQ=8—2%，6—f=8-2f,解得：1=2。

14

因此，当运动时间》=2或3秒时，以点p,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形。

三、解答题

1.（2011广西来宾10分）已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点0,点E、F分

别是0B、0C上的动点,

（1）如果动点E、F满足BE=CF（如图）：

①写出所有以点E或F为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）；

②证明:AEXBF；

（2）如果动点E、F满足BE=0F（如图），问当AE1.BF时，点E在什么位置,并证明

②证明：如图，延长AE交BF于点M,

VABCD是正方形，，AB=BC,ZBCF=ZABEo

：BE=CF,.•.△ABE^ABCF(SAS)。AZCBF=ZBAE

VZABE+ZEBM+ZCBF=90°,

AZABE+ZEBM+ZBAE=90°»

...NAMB=90°».-.AE±BFo

(2)点E是OB的中点。证明如下：

VABCD是正方形，.,.AB=BC,ZBCF=ZABEo

VAE1BF,/.ZAMB=90°。AZABE+ZEBM+ZBAE=90°。

.".ZABE+ZEBM+ZCBF=90°。NCBF=/BAE。.".△ABE^ABCF(ASA)