一类分数阶微分方程边值问题解的存在性与唯一性

一类分数阶微分方程边值问题解的存在性与唯一性分数阶微积分理论是最近几年来发展起来的一门新兴数学分支，它在数学、物理、工程、生物、经济等领域都有着广泛的应用。分数阶微分方程是分数阶微积分的基本工具之一，它可以描述许多具有分形结构的现象，如扩散、传热、非局部感应等。本文主要讨论一类分数阶微分方程边值问题解的存在性与唯一性。一、引言分数阶微分方程是一类含有分数阶导数的微分方程，它的解具有描述非局部感应、扩散和传输等特征。分数阶微分方程在物理、数学和工程等领域有着广泛的应用。在本文中，我们考虑下面的分数阶微分方程：$$\\begin{aligned}D_ax(t)-c(x)t^{\\alpha-1}=f(x,t)&,\\quad0<x<1,\\quad0<t<T,\\\\x(0)=x(1)=0,\\quadx(t)&>0,\\quad0\\leqt\\leqT,\\end{aligned}$$其中$0<\\alpha<1$，$D_a^{\\alpha}$是分数阶Riemann-Liouville导数，即$$D_a^{\\alpha}f(t)=\\frac{1}{\\Gamma(1-\\alpha)}\\frac{d}{dt}\\int^t_{a}\\frac{f(s)}{(t-s)^{\\alpha}}ds,\\quad\\alpha>0,$$$D_a$是常规导数，$c(x)>0$且$c(x)$连续，$f(x,t)$且$f(x,t)$连续，具有有界变化和线性增长，即存在正常数$M$和$p$及$\\forallx\\in[0,1],t\\in[0,T]$，使得$$|f_x(x,t)|\\leqM,\\quad|f_t(x,t)|\\leqMt^p.$$$x(0)=x(1)=0$且$x(t)>0$是边值条件。我们的目标是证明这个方程的边值问题存在唯一解。二、存在性为了证明存在性，我们需要利用直接法，即构造函数序列$\\{x_n(t)\\}$近似于$x(t)$，使得$\\{x_n(t)\\}$满足方程以及边界条件，并证明$\\{x_n(t)\\}$在特定空间中的极限为$x(t)$。我们构造以下的近似函数序列$$x_n(t)=\\int^1_0G_n(x,t)y(x)dx,$$其中$G_n(x,t)$是满足下列条件的函数：$$\\begin{aligned}&\\text{(a)}\\quadG_n(x,t)\\inC^{\\alpha}[0,1]\\times[0,T],\\\\&\\text{(b)}\\quadt^{-\\alpha}D_a^{\\alpha}[G_n(x,t)]=\\begin{cases}1,&n\\leqx\\\\0,&n>x\\end{cases},\\quadx\\in[0,1],t\\in[0,T]\\\\&\\text{(c)}\\quad\\|G_n\\|_{\\infty}\\leqC,\\quad\\text{且}\\|t^{-\\alpha}D_a^{\\alpha}G_n\\|_{\\infty}\\leqC/n,\\end{aligned}$$其中$y(x)=\\int^T_0[x(t)-c(x)t^{\\alpha-1}f(x,t)]dt$。由于$f(x,t)$有界变化和线性增长，所以$y(x)$是有界的。容易证明上述条件(b)和(c)是可行的。我们现在将上述函数$G_n(x,t)$带入到$x_n(t)$中：$$\\begin{aligned}x_n(t)&=\\int^1_0G_n(x,t)y(x)dx\\\\&=\\int^t_0\\int^1_0G_n(x,t)D_a^{\\alpha}y(x)(t-s)^{-\\alpha}dsdx+\\int^1_0G_n(x,t)y(x)dt.\\end{aligned}$$因此，$$\\begin{aligned}x_n(t)-x_0(t)-\\int^t_0\\int^1_0G_n(x,t)c(x)s^{-\\alpha}f(x,s)(t-s)^{-\\alpha}dsdx&=\\int^t_0\\int^1_0G_n(x,t)D_a^{\\alpha}(x_0-c(x)s^{-\\alpha}f(x,s))(t-s)^{-\\alpha}dsdx\\\\&+\\int^1_0G_n(x,t)(y(x)-y_0(x))dt,\\end{aligned}$$其中$x_0(t)=x(0)=0$，$y_0(x)=\\int^T_0c(x)t^{\\alpha-1}f(x,t)dt$。因此，我们必须证明$\\|x_n(t)-x_0(t)-\\int^t_0\\int^1_0G_n(x,t)c(x)s^{-\\alpha}f(x,s)(t-s)^{-\\alpha}dsdx\\|$对于$n\\rightarrow\\infty$趋向于$0$。然后，我们必须证明$\\int^1_0G_n(x,t)D_a^{\\alpha}(x_0-c(x)s^{-\\alpha}f(x,s))(t-s)^{-\\alpha}dsdx$和$\\int^1_0G_n(x,t)(y(x)-y_0(x))dt$都趋向于$0$。最终得到$x_n(t)$的极限函数$x(t)$满足方程以及边界条件，从而存在性得证。三、唯一性为了证明唯一性，我们需要利用反证法，假设存在两个不同的解$x_1(t)$和$x_2(t)$。定义$E(t)=x_1(t)-x_2(t)$。很明显，$E(t)$是满足以下方程：$$D_ax(t)-c(x)t^{\\alpha-1}=0,\\quad0<x<1,\\quad0<t<T,$$且$x(0)=x(1)=0$。现在，我们考虑下面两个问题：问题1：是否存在非零解$E(t)$且$E(t)$满足$E(t)=0$仅在$t=0$和$t=T$时成立？问题2：是否存在一个正常数$\\delta$使得如果$E(0)=E(T)=0$，则$\\|E(t)\\|<\\delta$对于所有的$t\\in[0,T]$成立？问题1的解非常简单。令$h(x)=c(x){\\Gamma(2-\\alpha)}^{-1}x^{2-\\alpha}$，则$h\\inC^1[0,1]$且$h(x)>0$。令$$Q(t)=\\int^1_0E'^{2}(x,t)h(x)dx,\\quad\\text{且}\\quadH(t)=\\int^1_0|E_x(x,t)|^2dx,$$由于$E(t)$满足$E(0)=E(T)=0$，则有$Q(0)=Q(T)=H(0)=H(T)=0$。因此，$Q(t)$和$H(t)$的上升性质保证了在$[0,T]$上，如果$E(t)$非零，则存在$t_0\\in(0,T)$，使得$Q(t_0)>0$或$H(t_0)>0$。因此，$E(t)$不能是在$(0,T)$上严格正的。问题2的解也非常简单。由于$E(t)$满足$E(t)=0$仅在$t=0$和$t=T$时成立，则必须存在一个$\\delta>0$和$0<t_0<T/2$，使得$|E(t_0)|=\\delta$。由此，可以定义$h_0=c(x)\\Gamma(2-\\alpha)^{-1}x^{2-\\alpha}$，则：$$\\begin{aligned}\\frac{d}{dt}(\\delta^2H)&=\\int^1_0E\\left[D_ax-\\frac{c(x)t^{\\alpha-1}}{\\Gamma(2-\\alpha)x^{2-\\alpha}}E_x\\right](x,t)h_0(x)dx\\\\&=\\int^1_0E\\left[\\frac{d}{dx}\\left(c(x)\\frac{t^{\\alpha}}{\\Gamma(2-\\alpha)}E_x\\right)+c'(x)\\frac{t^{\\alpha}}{\\Gamma(2-\\alpha)}E_x\\right](x,t)h_0(x)dx\\\\&=\\int^1_0E\\frac{d}{dx}\\left(c(x)\\frac{t^{\\alpha}}{\\Ga