材料力学4应力应变关系

力学是数学的乐园，因为我们在这里获得了数学的果实。-LeonardodeVinci第四章应力－应变关系

建立材料线弹性应力－应变关系(线弹性本构关系)；

第四章应力－应变关系

本章目的初步掌握材料宏观(拉伸、压缩)实验的方法、原理和步骤；进行简单加载材料实验，获得材料响应规律；建立复杂应力状态下应变能的计算式。了解其它金属及复合材料等拉、压下的力学行为；熟练应用广义虎克定律；掌握应变能计算；了解热应变概念。本章目的基本要求获得材料机械性能、表征材料变形程度及强度性能的指标；熟悉低碳钢和铸铁拉、压下的力学行为，理解比例极限、屈服极限、强度极限，延伸率、断面收缩率以及弹性模量和泊松比的力学意义并掌握其测量方法；明确塑性材料与脆性材料。

第四章应力－应变关系

材料的性能试验条件：常(室)温准静态加载试验设备材料试验机

Ziwek,MTS,INSTRON

材料的机械性能(MechanicalPropertiesofMaterials)1材料拉、压试验

(TensionandCompressionTest)1.1

第四章应力－应变关系

材料的性能材料的机械性能(MechanicalPropertiesofMaterials)1材料拉、压试验

(TensionandCompressionTest)1.1试件：

GB6397-86《金属拉伸试验试样》拉伸试件或压缩试件标距Lo

第四章应力－应变关系

材料的性能第四章应力－应变关系

材料的性能

荷载－位移图应力－应变图力传感器引伸计数据采集及放大试验原理

第四章应力－应变关系

低碳钢拉伸拉伸应力－应变图弹性极限

(2)非性线弹性阶段(AB段)Q235钢1弹性阶段(ElasticBehavior)(OAB段)低碳钢拉伸时的力学性能1.2杨氏模量E比例极限(1)线弹性阶段(OA段)ThomasYoung－EnglandScientist

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低碳钢拉伸2屈服极限

(YieldingStress)屈服阶段(BC段)3强度极限（UltimateLimit)应变强化阶段

(StrainHardening)(CD段)低碳钢拉伸时的力学性能1.24颈缩阶段

(Necking)(DH段)拉伸应力－应变图真应力－应变图

(TrueStress-StrainDiagram)

第四章应力－应变关系

低碳钢拉伸

第四章应力－应变关系

低碳钢性能卸载（Unloading）低碳钢

卸载、再加载时的力学行为1.3实际近似弹性应变弹性阶段内，加载时卸载时荷载逐渐卸至零，变形完全恢复。

第四章应力－应变关系

低碳钢性能卸载，再加载卸载，再加载符合线弹性规律。(小变形下，忽略微弱的非线性行为）低碳钢

卸载、再加载时的力学行为1.3屈服、强化阶段内当荷载逐渐卸至零时，部分变形恢复，部分变形残留。即：实际近似弹性应变-消失塑性应变－残留

第四章应力－应变关系

低碳钢性能卸载再加载（Unloading，Reloading）荷载逐渐卸至零，立即再加载冷作硬化－经过塑性变形，使材料比例极限或弹性极限提高、塑性降低的现象。弹性迟滞环（能量耗损）

第四章应力－应变关系

低碳钢性能卸载再加载（Unloading，Reloading）荷载逐渐卸至零，经过一段时间后再加载冷作时效－预加塑性变形，卸载，经过一段时间再加载使材料的比例极限或弹性极限还有所提高的现象。精确测量表明，强化阶段卸载再加载并不严格沿直线进行，而有一机械迟滞迴线，表示能量损耗。弹性迟滞环（能量耗损）

第四章应力－应变关系

延伸率和收缩率材料的塑性:材料经受较大塑性变形而不破坏的能力。其度量如下:衡量材料塑性变形能力的指标1.4延伸率

(PercentElongation)试件断裂时的残留变形断面收缩率

(PercentReductioninArea)试件断裂时断口的面积

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延伸率和收缩率塑性（延性）性材料

(DuctileMaterial)脆性材料

(BrittleMaterial)延伸率较大延伸率较小Q235钢典型塑性材料衡量材料塑性变形能力的指标1.4

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泊松比拉伸时，轴向伸长，横向收缩。压缩时，轴向收缩，横向膨胀。轴向横向线弹性范围内，为一材料常数。不同材料，值不同。横向变形系数－泊松比（Poisson’sRatio)1.5泊松比或一般；SDPoisson－Frenchscientist工程用金属材料；不可压缩材料拉伸压缩

第四章应力－应变关系

铸铁的拉伸应力与应变无明显的线性关系，通常弹性模量E以规定总应变对应的割线斜率来近似度量－割线弹性模量。12无屈服、强化和局部变形现象，衡量其强度的唯一指标是强度极限。3受拉直至断裂，变形很小，横截面的大小几乎无变化。铸铁（GrayCast-Iron)

拉伸时的力学性能1.6

典型脆性材料

第四章应力－应变关系

其他塑性材料的拉伸与低碳钢拉伸时力学行为类似的塑性材料，如16锰钢，50钢，以及一些高强度低合金钢等。另一些塑性材料，如青铜等，则无明显的屈服阶段。其它塑性金属材料拉伸时的力学行为1.7

青铜锰钢16锰钢0102030200400600800镍钢名义屈服应力

第四章应力－应变关系

其他塑性材料的拉伸其它塑性金属材料拉伸时的力学行为1.7

工程上，对无明显屈服极限的塑性材料，取残余或塑性应变为0.2％对应的应力，作为其屈服极限，称为名义屈服极限，记为0.2

。青铜锰钢16锰钢0102030200400600800镍钢

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压缩时的性能拉伸压缩12可一直压成币状而不破坏，因而得不到强度极限。为此，一般不再做此实验。低碳钢压缩时的力学性能1.8拉伸压缩0.51.02.03.0100200300400铸铁压缩时的力学性能受压缩时的强度极限和延伸率比拉伸时大得多。

第四章应力－应变关系

破坏形态材料的破坏机理1.9

12低碳钢拉伸颈缩阶段－滑移线屈服阶段－滑移线断口铸铁（受压）低碳钢（受拉）铸铁（受拉）混凝土（受压）

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胡克定律线弹性应力－应变关系－广义虎克定律2

胡克定律（Hooke’sLaw－1676）2.1线弹性阶段，

时，应力与应变成比例。纯剪切应力状态下，线弹性阶段，时，切应力与切应变成比例。单向拉压纯剪切剪切弹性模量（ShearModulus)RobertHooke－EnglandScientist

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广义胡克定律广义虎克定律(GeneralizedHooke’sLaw)2.2叠加原理（PrincipleofSuperposition）应力与应变成线性关系小变形12线应变xyz

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广义胡克定律广义虎克定律(GeneralizedHooke’sLaw)2.2叠加原理（PrincipleofSuperposition）线应变xyz同样可以得到y和z

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广义胡克定律实验表明切应力不引起线应变，且某面内的切应力仅引起该面内的切应变。

x

y

z

xy

zz

x

y

z

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广义胡克定律线应变的叠加，切应变与切应力关系，共同组成广义虎克定律。

第四章应力－应变关系

广义胡克定律主应力：o由于各向同性材料的正应力只产生线应变，切应力只产生切应变，所以应变主轴与应力主轴一致。

第四章应力－应变关系

广义胡克定律平面应力状态的广义胡克定律o

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材料常数间的关系材料常数间的关系(Relationshipofand)2.3

o纯剪应力状态主应力状态应力变换应变变换oyx

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体积应变和体积模量

体积应变和体积模量(VolumetricStrainorDilatationandBulkModulus)2.4单元体承受正应力，体积将变化。o体积应变：

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体积应变和体积模量

体积应变和体积模量(VolumetricStrainorDilatationandBulkModulus)2.4o其中一点处的平均应力是一常数体积模量体积应变（体积变化）正比于平均应力：

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体积应变和体积模量

体积应变和体积模量(VolumetricStrainorDilatationandBulkModulus)2.4o三个主应力相等，都等于压力p时，称为静水压力（HydrostaticStress)。三个主应力相等时，三向应力圆都退化到一点，此时任意方位面都是主平面，正应力都等于。

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例题1

边长为a＝0.1m的铝质立方块，无间隙地嵌入钢制凹槽内。铝的弹性模量E=71GPa,泊松比=0.3,F=100kN均布作用在铝块的上表面，求铝块的主应力，最大切应力。

aaaFzyxxyz刚性外壳解：根据y方向平衡条件可知

2.4

例题1注意：力F应该理解为作用在立方体上表面的均布力。

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例题1

主应力

最大切应力

由于受刚性壁的阻碍，使铝块在x、z方向的应变为零。根据广义胡克定律：

几何条件：aaaFzyxxyz刚性外壳

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例题2

圆筒形薄壁压力容器。筒壁中面直径D＝800mm，壁厚t＝5mm，容器钢材的弹性模量E＝200GPa，泊松比＝0.3，测得周向应变。求筒内压力p，轴向应变。

解：因为

根据广义胡克定律

所以

例题2ozxx

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例题2

2，中间部分筒壁都处于相同的应力状态1，忽略沿厚度方向的应力z（为什么可以忽略）轴向应变ozxxp

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例题3

钢制圆杆的直径d＝2cm，钢材的弹性模量E＝200GPa，泊松比＝0.3。测得30方向应变，求拉力F。

例题3A’60A/2X(,0)F30a’a30x解：单向拉伸应力状态，a面和a’面应力分别为

下一步？

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例题3根据广义胡克定律

所以

例题3（续）A’60A/2X(,0)F30a’a30x

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例题4

例题4如图所示拉伸试件，已知横截面上正应力，材料的弹性模量E，泊松比。试求与轴向成45和135方向的正应变45和135。X(,0)X’(/2,-/2)Y(0,0)Y’(/2,/2)x45x’xy/2/2y’45135

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例题4

45＝/2，135＝/2。解：(1)通过应力变换，应力应变关系求解：（2）利用单向拉伸的应力应变关系，应变变换公式求解：已知

x=/E，y=–

x

=–

/E，xy=0。

第四章应力－应变关系

例题4

(3)利用应变单元几何关系求解：同理可以求得135。aa45º~45ºABCDE

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热应变

热应变(ThermalStrain)2.5温度改变材料变形均匀、各向同性材料引起点各向均匀线应变，不引起切应变。材料热膨胀系数（温度变化1度产生的线应变）o

第四章应力－应变关系

热应变

热应变(ThermalStrain)2.5叠加法o

第四章应力－应变关系

例题5

物体受约束时，才可能产生热应力。解：温度应变

管道的总应变为零。所以，例题5FRlFR两端固定的钢制蒸汽管道，长度为l。钢的弹性模量E＝200GPa，热膨胀数。温度升高T＝30

，求热应力。

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例题6

正六面体钢块，体积为905040mm3。两端受固定的刚性物体阻碍，左端离刚性体有0.02mm间隙。钢块上表面受均布力作用，其值为F＝700kN。钢的弹性模量E=207GPa，泊松比＝0.3，热膨胀系数。当温度上升15C时，求钢块的应力和体积的变化。

例题6解：由题意知，40mm0.02mm90mmF=700kN50mmxyz

第四章应力－应变关系

例题6

x方向允许最大的伸长为0.02mm，先假设变形后钢块充满了间隙，即因为所以计算结果x为负，证明先前关于变形的假设是正确的。如果

x为正，应该重新令x＝0来计算应变。例题640mm0.02mm90mmF=700kN50mmxyz

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