大学物理课后习题答案(第五章)-北京邮电大学出版社

大学物理课后习题答案（第五章）-北京邮电大学出版社习题五5-1振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同？解：(1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为y二f(t)；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置.，又是时间t的函数，即.f(x,t广⑵在谐振动方程y二f(t)中只有一个独立的变量时间t，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程y二f(xt)中有两个独立变量，即坐标位置x和时间t，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律.当谐波方程y二Acos3(t—x)中的坐标位置给定后，即u可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一.⑶振动曲线y二f(t)描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y，横轴为t；波动曲线y二f(xt)描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为y，横轴为x.每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图.5-2波动方程广Acos[s(-X)+90]中的U表示什么？如果改写为y=Acos(5+%)，S又是什么uu tU t-UTOC\o"1-5"\h\z意思?如果t和1均增加，但相应的L(一X)+①]t u0的值不变，由此能从波动方程说明什么？解：波动方程中的M表示了介质中坐标位置为，Xu X的质元的振动落后于原点的时间；则表示x处质元比原点落后的振动位相；设t时刻的波动方程为4 /〜3Xy=Acos(3t———+9)则t+At时刻的波动方程为3(X+Ax)y=Acos[3(t+At)- +9]其表示在时刻t「位置;处的振动状态，经过At后t X z_At传播到X+皿处・所以在(3”?)中，当t，1均增加

X+ULxt U tX时，(3，-？)的值不会变化，而这正好说明了经过U时间At，波形即向前传播了心一心的距离，说明t X—ULXty=Acos(3t_9+9。)描述的是一列行进中的波，故谓之行波方程.5-3波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点?解:我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元W内所有质元的能量.波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形变势能.形变势能由介质的相对形变量（即应变量）决定.如果取波动方程为.f（x,t『则相对形变量（即应变量）为//ax.波动势能则是与办/ax的平方成正比.由波动曲线图（题5-3图）可知，在波峰，波谷处，波动动能有极小（此处振动速度为零），而在该处的应变也为极小（该处ay/ax二o），所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波动动能为极大（该处振动速度的极大），而在该处的应变也是最大（该处是曲线的拐点），当然波动势能也为最大.这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值.题5-3图对于一个孤立的谐振动系统，是一个孤立的保守系统，机械能守恒，即振子的动能与势能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化.5-4波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处？尸0时刻是否一定是波源开始振动的时刻?波动方程写成丁=acos①（一x）时，波源一定在坐标y^\'-^u原点处吗?在什么前提下波动方程才能写成这种形式?解:由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为，所以在波动方程中，坐标原点不一定要选在波源处，同样，:0的时刻也不一定是波源开始振动的时刻；当波动方程写成y=Acos3(t-f)时，坐标原点也不一定是选在波源所u在处的.因为在此处对于波源的含义已做了拓展，即在写波动方程时，我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，只要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程.5-5在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同？，一一一、、r、一一 2兀 一」.，，.解：取驻波方程为尸2AcosTxcos.兀Vt，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上，描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律可表示为卜Acos?x|.而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点振动位相则相反.5-6波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情况有何区别?解:波源向着观察者运动时，波面将被挤压，波在介质中的波长，将被压缩变短，（如题5-6图所示），因而观察者在单位时间内接收到的完整数目（"/Q会增多，所以接收频率增高；而观察者向着波源运动时，波面形状不变，但观察者测到的波速增大，即八〃+一因而单位时间内通过B观察者完整波的数目也会增多，即接收频率也将增高.简单地说，前者是通过压缩波面（缩短波长）使频率增高，后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波面数增加而升高频率.U｝波前I是强源在£।时发W的波前士是波源在£ （II）一番付后的情册时发出的,在拍胸的麻向,油源在心处伯下波源运动向观察者不动f］）在相照的瞬间 1|口一卧钟后的精璃3）观察者运动而波群动 =,>sz.rr.r题5-6图多普勒效应5-7—平面简谐波沿x轴负向传播，波长入=1.0m,原点处质点的振动频率为12.0Hz,振幅a=0.1m,且在「0时恰好通过平衡位置向,轴负向运动，求此平面波的波动方程・解：由题知,一0时原点处质点的振动状态为t-y=0/<0，故知原点的振动初相为।,取波动方程00为y-Acos[2:(T+—)+，0]则有y=0.1cos[2兀(21+x)+^2]=0.1cos(4兀t+2兀x+—)5-8已知波源在原点的一列平面简谐波,2波动方程为y=aCOS(Bt-Cx)，其中A，B，C为正值恒量・求:⑴波的振幅、波速、频率、周期与波长；⑵写出传播方向上距离波源为,处一点的振动方程；⑶任一时刻，在波的传播方向上相距为〃的两点的位相差.解：(1)已知平面简谐波的波动方程y=Acos(Bt-Cx)(x>0)将上式与波动方程的标准形式，一一X、y=Acos(2mt-2兀—)比较，可知：波振幅为A，频率0=2—，波长—二27:，波速u=—u=B，波动周期T二1⑵将]一,代入波动方程即可得到该点的振动方x-程y=Acos(Bt-Cl)

⑶因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为TOC\o"1-5"\h\z2兀/ 、A。—«-(x-x)及九二及九二卷代入上式，即得将x-x=d，2 15-9沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05COS（10,垢），式中x,y以米计，t以秒计.求：⑴波的波速、频率和波长；⑵绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；⑶求x=0.2mQ处质点在t=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在「1.25s时刻到达哪一点?解：（1）将题给方程与标准式y=Acos(2mt一相比，得振幅a-0.05m，频率-5s一1，波长波速"二加2.5m.s-i・⑵绳上各点的最大振速，最大加速度分别为V=3A=10兀*0.05=0.5兀m.s-1maxa=32A=(10兀)2x0.05=5兀2m.s-2⑶，=02m处的振动比原熏落后的时间为 s02=0.08x-02=0.08故1-02m，t-1s时的位相就是原点CI），在x—0.乙m t—s x—022t=1—0.08=0.92s时的位相，0 ，即0=9.2”•设这一位相所代表的运动状态在-I25s时刻到达光点，贝1Jx=x+u(t-t)=0.2+2.5(1.25-1.0)=0.825K10如题5-10图是沿,轴传播的平面余弦波在,时刻的波形曲线.(1)若波沿x轴正向传播，该时刻。，-B,c各点的振动位相是多少？(2)若波沿、轴负向传播，上述各点的振动位相又是多/>?解：⑴波沿,轴正向传播，则在,时刻，有题5-10图对于O点：y=0,v<0TOC\o"1-5"\h\z0 0XTrJ.八、、： •y=+A,v=0,••(|)=0A A A对于8点：丁>=0,v>0，gB B对于。点：=0#<0，=~~2cc(取负值：表示abC点位相，应落后于。点的位相)⑵波沿X轴负向传播，则在,时刻，有对于O点:

对于对于O点:

对于4点:对于。点:

ny，=Q,vf>0， ••%--7oo 4•••y=o,m<o，••%BB•y'=+A,vr=0•y=o,m<o，••%BB对于C点：••、=0,/>0,；・0C;二（此处取正值表示；BC点位相超前于O点的位、、相）5-11一列平面余弦波沿x轴正向传播，波速为5m・s-i,波长为2m,原点处质点的振动曲线如题5-11图所示.⑴写出波动方程；的振动曲线.解：（1）由题y= 0,的振动曲线.解：（1）由题y= 0,v > 0， •• 00 0u_t u 5 _ _又v = — = — = 2.5入，2Hzy11(id)5-11(8)图知,a=0.1m,且,二0时，3兀2，则『U3=2m=5兀r但）.题5-11图（a）取y=Acos[3（t-二）+0/,则波动方程为0X3兀、y=0.1cos[5K(t--+-—)]5 2m（2）t_0时的波形如题5-11（b）图一W*）*加)题W*）*加)题5-11图（b）题5-11图（c）将工一05m代入波动方程，得该点处的振动方程为x-U・5兀*0.53兀、y=0.1cos(5兀/- +——)=0.1cos(5兀/+兀)如题5-11(c)图所示.0.5 2 m5-12如题5-12图所示，已知「0时和「0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b),波沿1轴正向传播，试根据图中绘出的条件求：⑴波动方程；⑵尸点的振动方程.解：(1)由题5-12图可知，a=0.1m，鹿4m，又，日寸， ，.二。二三，［而u=竺=—=2 ，t=0 ，y0=0，v0<0， 02， At0,5m-s-i，u=u=2=0.5 ,入4Hz， 3=2m=兀故波动方程为一.一x兀.y=0.1cos［K(t-—)+一］(2)将yim代入上式，即得P点振动方程为my=y=0.1cos[(rtt-+—)]=0.1cos兀t^2^2题5-12题5-12图5-13一列机械波沿x轴正向传播，「0时的波形如题5-13图所示，已知波速为10m・s-1,波长为2m，求:⑴波动方程;P点的振动方程及振动曲线;P点的坐标；

(4)P点回到平衡位置所需的最短时间.解:由题5-13图可知人一01m，l0时一u.mt(4)P点回到平衡位置所需的最短时间.解:u=10m.u=10m.s-1，贝WHz•3=2m=10K⑴波动方程为XKy=01.cos[10K(t-一)+-]10 3m0.10.0.10.050.050.1题5-13图(2)由图知，t=0时位相应落后于(2)由图知，t=0时位相应落后于0点，yp故取负值)(p点的：p点振动方程为丁4、=0.1cos(10TO--兀)⑶二10K"一看Tt=0:•解得X=5=1.67m⑷根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题5-13图(a),则由尸点回到平衡位置应经历的位相角题5-13题5-13图(a)」兀兀5A0=一十一二一兀326•••所属最短时间为At』空二-15-14如题5-14图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知P点的振动方程为y=Acos(①t+中).⑴分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程；⑵写出距,点距离为匕的q点的振动方程.解：(1)如题5-14图(a),则波动方程为y=Acos[ro(t+—-X-)+。]如图(b),则波动方程为如图(b),则波动方程为题5-14图.一，x.,一y=Acos[ro(t+—)+。](2)如题5-14图(a),则Q点的振动方程为A=Acos[ro(t——)+。]如题5-14"图(b),则q点的振动方程为A=Acos[ro(t+b)+。]5-15已知平面简谐波的波动方程为y=Acos兀(4t+2x)(SI)•⑴写出t=4.2s时各波峰位置的坐标式，并求此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何时通过原点?⑵画出t=4.2s时的波形曲线.解：（1）波峰位置坐标应满足兀(41+2%)=2k兀解得了=(k-8.4)m(k=0,±1,±2,~)所以离原点最近的波峰位置为_04m・u.r*m.••4M+2we+?故知“二2m.s-i，二.At，=以=0.2s,这就是说该波峰在02s前通过原点，那么从计时时刻算起，则应是42一02-4s，即该波峰是在4s时通过原点的.题5-15图(2);3-4兀,u-2m.s，•二九-UT-uIF-1m，又1-0处，t-4.2s时，。-4.2义4兀-16.8兀0y-Acos4兀x4.2--0.8A又，当y--A时，。-17兀，则应有。%入/168兀+2兀%-17兀解得X-01m，故,—425时的波形图如题5-15图所1-u.^m_ t—・4s示5-16题5-16图中（a）表示「0时刻的波形图，（b）表示原点（%=0）处质元的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出%=2m处质元的振动曲线.解：由题5-16（b）图所示振动曲线可知T-2s，A-0.2m，且t-0时，y0-0#0>0，故知广4，再结合题5-16(a)图所示波动曲线可知，该列波沿'轴负向传播，且，=4m，若取尸Acom(T+x)+。o]题5-16图则波动方程为tx兀y—0.2cos[2兀(—+—)——]5-17一平面面余2弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为18.0X10-3j・m-2・s-i,频率为300Hz,波速为300m・s-i,求：⑴波的平均能量密度和最大能量密度？⑵两个相邻同相面之间有多少波的能量？解：(1)丁/-WUI 10-3 ,w———18.0x—6x10-5u 300 J-m-3w―2w—1.2x10-4j.m_3maxTOC\o"1-5"\h\z一― 1 -八1 -u^W—仃V—攻—兀d2入二攻一兀d2—1 300x10_5x_兀x(0.14)2x —9.24x10-74 3005-18如题5-18图所示，s和s为两相干波源，1 2振幅均为…相距9，s较s位相超前2，求：⑴s外侧I各点的合振幅和强度；(2)s1外侧各点的合振幅和强度2

解：（1）在S外侧，距离S为r的点，SS传到该尸1 11 12 P点引起的位相1差为 11 12二兀11A=A—A=0,I=A2=0（2）在s外侧.距离s为r的点，ss传到该点引2 2 1 1 2起的位相差.兀2兀/九、八AQ=————(r+——r)=02入2 4 27A=A+A=2A,I—A2=4A25-19如题5-19图所示，1设b点发出的平面横波B沿BP方向传播，它在B点的振动方程为-2x10—3cos2w;c点发出的平面横波沿cp方向传播，^C/、、、y―2x10—3cos（2兀t+兀），本题中y2以m计，t以s计.设BP=0.4m,CP=0.5m,波速u=0.2m•s-i,求：⑴两波传到P点时的位相差；⑵当这两列波的振动方向相同时，P处合振动的振幅；*（3）当这两列波的振动方向互相垂直时，P处合振动的振幅.解：（1）那=@「Q）-三（CP—BP）3————二兀—(CP—BP)u二兀—竺(0.5—0.4)—00.2题5-19图题5-19图⑵尸点是相长干涉，且振动方向相同，所以A=A+A=4义10-3m⑶若两振动方向垂直，又两分振动位相差为0，这时合振动轨迹是通过n,w象限的直线，所以合振幅为二-；故波动方程A=、'A2+A2=血A=2<2义10-3=2.83义10-31n5-20—平面简谐波沿制正向传播，如题5-20图所示.已知振幅为A，频率为v波速为「⑴若「0时，原点。处质元正好由平衡位置向位移正方向运动，写出此波的波动方程；⑵若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求x二-；故波动方程解：⑴:t=0时，y0=0，V0>0，,二。为y=Acos[2兀y(t--)-：]mu2.波密.波密2反射面。工 FI-- 必 1题5-20图⑵入射波传到反射面时的振动位相为（即将-=4大代入）-夫3弋，再考虑到波由波疏入射而在波密界面上反射，存在半波损失，所以反射波在界面处的位相为

2兀 2兀 3a兀——X—人———+兀=—兀若仍以O点为原点，则反射波在O点处的位相为-入…令,因只考虑2兀以内的位相角一••反射波在O点的位相为-2，故反射波的波动方程为y=Acos[2m(t+—)-—]此时驻波方程为一,——一.一,——一TOC\o"1-5"\h\zy=Acos[2—J(t-—)--]+Acos[2—J(t+—)-—]u2 u22—Jx —、=2Acos cos(2—Jt-)故波节位置为22—Jx2— — 二——x=(2k+1)—u入 2故—二(2k+1)(k二0,±1,±2,・・・)根据题意，k只能取0,1，即x=4九，:九5-20一驻波方程为y=0.02cos20xcos7501(SI)，求：⑴形成此驻波的两列行波的振幅和波速；⑵相邻两波节间距离.解：(1)取驻波方程为2—Jxy=2Acos cos2—Jtu故知A=002=0.012 m2-02-0=750，则":，空二20

u2—J 2—x750/2—…u= = =37.520 20 m-s-1"°=0.1-=0.314m所以相邻两波节间距Ax=-=0.1575-22在弦上传播的横波，它的波动方程2为my=0.1cos(13J0.0079x)(SI)试写出一个波动方程，使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波，并在x=0处为波