初二数学下册知识点《正方形的性质》经典150例题及解析

初二数学下册知识点《正方形的性质》经典150例题及解

析

副标题

题号一二三总分

得分

一、选择题（本大题共52小题，共156.0分）

1.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图

所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正

方形，设直角三角形较长直角边长为。，较短直角边长为6,若（。+匕）2=21,大正

方形的面积为13,则小正方形的面积为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】【分析】

此题主要考查了勾股定理的应用有关知识，观察图形可知，小正方形的面积=大正方形

的面积-4个直角三角形的面积，利用已知（"+b）2=21,大正方形的面积为13,可以得

出直角三角形的面积，进而求出答案.

【解答】

(a+b)2=21,

.'.cr+2ab+tT=21,

•••大正方形的面积为13,

.'.cT+b2=\3,

.,.2^=21-13=8,

•••小正方形的面积为13-8=5.

故选C.

2.如图，正方形ABC。中，"为BC上一点，ME1AM,

A/E交AO的延长线于点E.若AB=12,BM=5,则。E

的长为（）

A.18B.gC.|

【答案】B

【解析】解：•.•四边形ABC。是正方形，AB=\2,BM=5,

・・.MC=12-5=7.

vMEliAM,

.­.zS4ME=90°,

AZAMB+ZCMG=90°.

•••4AM8+48AM=90。,

：.z.BAM=Z.CMG,zB=zC=90°,

••.△ABM〜ZiMCG,

嚼制,艮唱周,解得CG=|,

—般.

vAE||BC,

:/E=ACMG,乙EDG=KC,

:AMCGSXEDG,

故选：B.

先根据题意得出AABWsaMCG,故可得出CG的长，再求出0G的长，根据

△MCGsxEDG即可得出结论.

本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的

关键.

3.如图，点E、F、G、”分别是四边形ABC。边A3、

BC、CD、D4的中点.则下列说法：

①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形；

②若4clBD,则四边形EFGH为菱形；

③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相

平分；

④若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直

且相等.

其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，

当对角线8O=AC时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，

当对角线4c=8。，且AC1BO时，中点四边形是正方形，

故④选项正确，

故选：A.

因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形,

当对角线4cl8。时，中点四边形是矩形，当对角线AC=B。，且AC18D时，中点四边

形是正方形，

本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般

四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BO=AC时，中点四边形是菱形，当对角

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线ACJ_BD时，中点四边形是矩形，当对角线4c=80,且AC1B3时，中点四边形是正

方形.

4.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角

坐标系中，边长为2的正方形ABC。的边48在彳轴

上，AB的中点是坐标原点。，固定点A,B,把正方

形沿箭头方向推，使点。落在y轴正半轴上点处,

则点C的对应点C'的坐标为（）

A.（国，1）B.（2,1）C.（1,0）D.（2,国）

【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确地识别图形是解题的关

键.由已知条件得到AD=AD=2,A0^B=\,根据勾股定理得到石车国,

于是得到结论.

【解答】

解：-:AD'^AD=2,A0=|AB=1,

•・•。。=|胸2—讲国

■.■CD'=2,C'D'WAB,

.■■C（2,国），

故选

5.如图，以直角三角形。、仄c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和

正方形，上述四种情况的面积关系满足S|+S2=S3图形个数有（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】解：⑴S］搦2,S2擀2,53=肥

,.Y/24-/72=C2,

步伸卧

.,.S|+52=53.

2S「2

Bh生

2=S3

rr

222

^-^

l-

l

：$+S2=S3.

2

⑶S曲2,$2#2，S3=1c,

,.7Z2+/?2=C2,

..唧2糊卷，

••.S]+S2=S3.

22

(4)S]=〃2,S2=b,S3=cf

222

va+b=cf

・・・S1+S2=S3.

综上可得，面积关系满足$+&=S3图形有4个.

故选

根据直角三角形〃、8、C为边，应用勾股定理，可得a2+%2=c2.

(1)第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积；

然后根据a2+b2=c2,可得S|+S2=S3.

(2)第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积；然后根据

a2+b2=c2,可得Si+52=$3.

(3)第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出3个等腰直角三

角形的面积；然后根据。2+匕2=,2,可得S+S2=S3.

(4)第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积；然后

根据/+代02,可得SI+S2=S3.

此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个

直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.此题还考查了等腰直

角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握

6.如图，正方形4BCO的对角线AC,8。相交于点O,AB=3眼，E为0C上一点，

0E=\,连接BE,过点A作AF1BE于点F,与80交于点G,则BF的长是()

A.gB.国c.gD.§

【答案】A

【解析】【分析】

本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，

掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键.根据正方形的性质、全等三角形的判定

定理证明AGAO三AEB。，得至|JOG=OE=1,证明根据相似三角形的性质

计算即可.

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【解答】

解：••・四边形ABCO是正方形，AB=3同,

."08=90°,AO=BO^CO=3,

MF1BE,

・••乙EBO=^GAO,

在ZiGA。和△E80中，

tZ-GAO=Z.EB0

A0=B0

[Z.A0G=/_B0Ef

••.△GAO三△E3O,

・・・OG=OE=1,

：.BG=2,

在mZkBOE中，BE4OB2+0引画

,:乙BFG=^BOE=900,乙GBF=^EBO,

:.ABFGS^BOE,

••・噩,即噩,

解得，BF餐.

故选A.

7.如图所示，在正方形4BCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长

线于E点，对角线8。交AG于尸点.已知FG=2,则线段AE的长度为（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三

角形的性质求出AF的长度是解题的关键.

根据正方形的性质可得出A8IIC。，进而可得出△ABFs/^G。巴根据相似三角形的性质

可得出图=图=2,结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG||AB、A8=2CG可得出CG

为AE4B的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解.

【解答】

解：•••四边形ABCZ）为正方形，

：.AB=CD,ABWCD,

：dBF"GDF,(BAF=(DGF,

・•△ABFFGDF，鲁图=2,

・•・A尸=2GF=4,・•.AG=6.

•••CGIIAB,AB=2CGf

.•.CG为AEAB的中位线,

■■■AE=2AG=\2.

故选D.

8.如图，四边形ABC。是边长为6的正方形，点E在边AB上,

BE=4,过点E作EFII8C,分别叫BRCZT于G,F两点。若

MN分别是OG,CE的中点，则MN的长为（）

A.3

B.国

D.4

【答案】C

【解析】【分析】

解法一：作辅助线，构建矩形和直角三角形NM”，利用平行线分线段成比例定

理或中位线定理得：MK=FK=1,NP=3,PF=2,利用勾股定理可得MN的长；

解法二：作辅助线，构建全等三角形，证明AEMF三ACM。，则EM=CM,利用勾股定

理得：财政+6+漉,心旧+6+2国,可得AEBG是等腰直角三角形，分别

求EM=CM的长，利用勾股定理的逆定理可得AEMC是等腰直角三角形，根据直角三角

形斜边中线的性质得MN的长.

本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、

直角三角形斜边中线的性质、勾股定理的逆定理，属于基础题，本题的关键是证明

是直角三角形.

【解答】

解：解法一：如图1,过M作MK1CD于K,过N作NP1C。于P,过M作MH1PN于

H,

则MK\\EF\\NP,

•；LMKP=4MHP=XHPK=90°,

二四边形是矩形，

:.MK=PH,MH=KP,

"NPWEF,N是EC的中点，

CPCN|NPCNi

,*PF-EN-jEF-EC-2'

图1

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.-.PF=|FC=|8£=2,NP用EF=3,

同理得：FK=DK=l,

•••四边形ABC。为正方形，

:2BDC=45°,

是等腰直角三角形，

:.MK=DK=1,NH=NP-HP=3-\=2,

■■.MH=2+1=3,

在RtAMNH中,由勾股定理得：MN^JNH?+而却22+3$［国;

解法二：如图2,连接kM、EM、CM,

•.•四边形ABC。为正方形，

.•.44BC=/BCZ>"£)C=90°,BC=CD,

.-EFWBC,

.-./.GFD=^BCD=90°,EF=BC,

..EF=BC=DC,

"00=恨4℃=45。，

是等腰直角三角形，

・••M是。G的中点，

:.FM=DM=MG,FM1DG,

.-.AGFM=ACDM=45°,

••△EMFWACMD,

：.EM=CM,

过M作MHLCD于H,

由勾股定理得：8。底+6?卜漉,

比m+6车2丽

•••z£BG=45°,

・••△EBG是等腰直角三角形,

:.EG=BE=4,

.•.8G=4眼，

.•.DM速

:.MH=DH=1,

.•.C//=6-l=5,

.•皿=芯叫匠7?|=两

•：C^EM2+CM2,

.•.NEMC=90。，

•.W是EC的中点，

故选C.

9.如图，在正方形ABCQ中，AC为对角线，E为AB上一点,

过点E作与4C、DC分别交于点G,F,H为

CG的中点，连接OE,EH,DH,FH.下列结论：

®EG=DFi②ZAEH+ZAZW=18O°；③AEH尸三△DHC；④若图=|，则3sA丽13SA/WC，

其中结论正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】。

【解析】解：①•••四边形A8CD为正方形，EF\\AD,

:.EF=AD=CD,"CO=45°,zGFC=90°,

.•.△CFG为等腰直角三角形，

:.GF=FC,

：EG=EF-GF,DF=CD-FC,

:・EG=DF,故①正确；

②・・•△C/G为等腰直角三角形，”为CG的中点，

:・FH=CH,乙GFH二乙GFC=450=乙HCD,

,EF=CD

在和"HC中,H器；第C"

:AEHFaDHC(SAS),

；.LHEF=CHDC,

・・・AAEH+/LADH=MEF+LHEF+/LADF-^HDC=2LAEF+〃DF=180°,故②正确;

③••・△C~G为等腰直角三角形，〃为CG的中点，

・・・FH=CH,zGFH=0zGFC=45°=zHCD,

zEF=CD

在和△O〃C中，\/-EFH=/.DCH

FH=CH

:.△EHFmADHC(SAS),故③正确；

④制用

••.AE=2BE,

•.♦△CbG为等腰直角三角形，〃为CG的中点,

：,FH=GH,zFHG=90°,

,:乙EGH=^FHG+乙HFG=900+乙HFG=cHFD,

~EG=DF-

在和△。尸”中，UEGH=Z.HFDf

・•△EGH/DFH(SAS),

・・・LEHG=(DHF,EH=DH,乙DHE=乙EHG+乙DHG=乙DHF+乙DHG=乙FHG=90°,

・・.△EHD为等腰直角三角形,

过“点作垂直于CD于M点，如图所示：

设HM=x,则DM=5x,CD=6X,

22

贝(JSM用X〃MXCD=3X2,5A£D//=|XD/7=13X,

：3S>EDH=\3S>DHC，故④正确；

故选：D.

①根据题意可知乙4CQ=45。，则GF二FC,则EG=EF-GF=CD-FC=DF；

第8页，共123页

②由SAS证明尸三△力，C,得到从而

Z-AEH+/ADH=Z-AEF+/.HEF+Z-ADF-/-HDC=180°；

③同②证明即可：

-

2

④若:3一,则AE=2BE,可以证明AEG“三△。尸”，则4EHG=N£»HF且E4=。“，则

一

NCHE=90。，△£/〃）为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于8于M点，设HM=x,

22

贝！］DM=5x,力“=虚击,CD=6x,贝I」SAO〃H|xHMxC£）=3f,5A£OW=|XD//=13X.

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、

勾股定理、三角形面积的计算等知识：熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决

问题的关键.

10.如图，已知正方形ABC。，点E是BC边的中点，DE与4c

相交于点F,连接8F,下列结论：①义"产S“DF;

②SACO/U^SACEF;③SAAD产2sAeEF;④SAAD产2SACDF，其中正

确的是（）

A.①③

B.②③

C.①④

D.②④

【答案】c

【解析】解：•.・四边形A8C。是正方形,

.-.ADWCB,AD=BC=AB,£.FAD=/.FAB,

在和AAPB中，

AF=AF

/.FAD=/.FAB

AD=AB

B

.,.△AF£)=AAFB,

・••SAAB产S"DF，故①正确，

|4D,AD\\EC,

；BE=EC=

-S«4

•••S^CQ尸2sKE尸，S〉AD产4sACEF，S»AD产2sxeDF，

故②③错误④正确，

故选：C.

由△"£＞三"FB,即可推出SA®=5"DF，故①正确，E&BE=£C=^C=|AD,AD\\EC,

推出寻用,可得SACO产2SACEF，S&AD产4sAeEF，s4AD尸25ACDF，故②③错误④正

确，由此即可判断.

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识,

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

11.如图1,分别沿长方形纸片A8CC和正方形纸片EFGH的对角线AC,EG剪开，拼

成如图2所示的口KLMN,若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且。KZJWN

的面积为50,则正方形EFG”的面积为（）

A.24B.25C.26D.27

【答案】B

【解析】解：如图，设PM=PL=NR=KR=a,正方形OR。尸的边长为4

.•.a2=25,

二正方形EFGH的面积=J=25,

故选：B.

如图，设PM=PL=NR=KR=a,正方形ORQP的边长为从构建方程即可解决问题；

本题考查图形的拼剪，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数

构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

12.如图，正方形A8C。的对角线上一动点P,作于点

M,PNLCD于点N,连接BP,BN,若AB=3,BP避，则

BN的长为（）

A.国

B.国或画

C.4

D.5

【答案】B

【解析】解：延长NP交AB于从

,・,四边形ABCD是正方形,

/.zBAC=90°,ABWCD,

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••PNLCD,

..PN1AB,

工乙HAP=^HPA=45。,

：・AH=PH,-&AH=PH=X9则B”=3小

在RMBH中,VPB2=PH2+B/72,

AX2+(3-X)2=(胭)2,

AX=1或2,

当E时，BH=CN=2,在R/"CN中，鸟闻步+前鹿+22|=|羽,

当x=2时，BH=CN=1,在RsBCN中,BN=\JBC2+CN^=，匠+1苒画.

综上所述，8N的长为晅或画.

故选B.

延长NP交AB于H.易知AH=PH,设AH=PH=x,则BH=3-x,在RAPBH中，根据

PB2=PH2+BH2,可得f+（3-x）2=（囤）2,推出E或2,接下来分两种情形分别求出

BN即可.

本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学

会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

13.如图，正方形ABC。的边长为1,点E,F分别是对角线AC

上的两点，EGLAB.EI1.AD,FH1AB,FJ1.AD,垂足分别

为G,/,H,J.则图中阴影部分的面积等于（）

A.1

B.|

DJ

【答案】B

【解析】解：•.・四边形488是正方形，

二直线AC是正方形ABCD的对称轴，

■■■EGLAB.EI1AD,FHLAB,FJLAD,垂足分别为G,I,H,J.

根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等,

浦S#方彩48。。=目，

故选：B.

根据轴对称图形的性质，解决问题即可；

本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型.

【答案】A

【解析】解：由旋转的性质得，将正方形4BCO中的阴影三角形绕点4顺时针旋转90。

后，得到的图形为A,

故选：A.

根据旋转的性质即可得到结论.

本题考查了旋转的性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键.

15.如图，正方形OABC绕着点。逆时针旋转40。得到正方

形ODEF,连接AF,则"FA的度数是()

A.15°

B.20°

C.25°

D.30°

【答案】C

【解析】解：•••正方形048c绕着点。逆时针旋转40。得到正方形OOER

.”。尸=90°+40°=130°,OA=OF,

..Z.OFA=(180°-130°)+2=25°.

故选：C.

先根据正方形的性质和旋转的性质得到〃。下的度数，OA=OF,再根据等腰三角形的性

质即可求得NOE4的度数.

考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等.②对应点与旋转中心所连线段的

夹角等于旋转角.③旋转前、后的图形全等.同时考查了正方形的性质和等腰三角形的

性质.

16.如图，将边长为画的正方形绕点8逆时针旋转30。，那么图中阴影部分的面积为

()

A.3B.国C.3星D.3制

【答案】C

【解析】解：连接

在aABM和AC，中，

第12页，共123页

BM=BM

AB=CB

乙BAM=乙BC'M

••.△ABMwZkC'BM,

90°-z4

z2=z3=^—=30°,

在A48M中，

AA/=|^xtan30o=1,

S〉ABM=gxAMx曷g,

正方形的面积为：画］=3,

阴影部分的面积为：3-2x肾=3国，

故选：C.

连接8M,根据旋转的性质和四边形的性质，证明AABM三AC'BM,得到42=43=30。，

利用三角函数和三角形面积公式求出AABM的面积，再利用阴影部分面积=正方形面积

2&ABM的面积即可得到答案.

本题考查旋转的性质和正方形的性质，利用旋转的性质和正方形的性质证明两三角形全

等是解决本题的关键.

17.如图，在正方形A8CD中，A8=3,点M在CQ的边上,

且DW=1,与AAOM关于AM所在的直线对称，

将AADM按顺时针方向绕点A旋转90。得到AABF,连

接EF,则线段E尸的长为（）

A.3

B.国

C.施

D.国

【答案】C

【解析】解：如图，连接BM.

・・•△AEM与AA。例关于AM所在的直线对称，

.-.AE=AD,^MAD=^MAE.

•・・△AOM按照顺时针方向绕点A旋转90。得到

.t.AF=AM,乙FAB=zJWAD.

:.乙FAB=cMAE

：,Z.FAB+z.BAE=z.BAE+z.MAE.

••・NE4E二4MAB.

.•.△FAE三△M45(SAS).

：.EF=BM.

・•・四边形ABC。是正方形，

：.BC=CD=AB=3.

•・・DM=1,

：.CM=2.

.•.在RtABCM中,8历=|匠+3彳=国,

.-.EF^T^,

故选：c.

解法二：如图，过E作"G||A。，交48于从交CD于G,作ENLBC于N,则

zAHG=^MGE=90°f

由折叠可得，zAEM=zD=90°,AE=AD=3fDM=EM=\,

・・・AAEH+乙MEG=乙EMG+乙MEG=90。,

•••/AEHNEMG,

:・bAEHs〉EMG,

•・敏

设何G=x,贝ljE”=3x,DG^\+x^AH,

:.RtAAEH中,(1+x)2+(3x)2=32,

解得X|=1,X2=-l(舍去)，

用=8N,CG=CM-MG=|=EN,

又vBF=DM=T,

./用

.,&MEN中，EF\IEN2+万丽=|羽,

故选：C.

解法一：连接BM.先判定△F4E三△MAB(SAS),即可得至ljEF=BM.再根据BC=CD=AB=3,

CM=2,利用勾股定理即可得到，RaBCM中,二曲,进而得出E尸的长；

解法二：过£作HGWAD,交AB于，，交CO于G,作EAUBC于N,判定△AEHS^EMG,

即可得到屏图=|，设MG=x,则加3x,DG=]+x^AH,利用勾股定理可得，RfAAEH

中，(1+x)2+(3x)2=32,进而得出后”=等8凶CG=CM-MG=|=EN,FN用，再根据

勾股定理可得，RfAAEN中,EF=^EN2+F还啊.

本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质：对应

点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后

的图形全等.

18.如图，正方形A8CD中，E为AB中点,FE1AB,AF=2AE,FC交BD于0,则4OOC

的度数为()

A.60°B,67.5°C.75°D.54°

【答案】A

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【解析】解：如图，连接OF、BF.

•：FE工AB,AE=EB,

：.FA=FB,

-AF=2AEf

：.AF=AB=FB,

・・.△AFB是等边三角形，

\'AF=AD=AB,

・••点4是△。吕尸的外接圆的圆心，

^FDB=^.FAB=30°,

•・•四边形A8CO是正方形，

ADAB=AABC=9009ZADB=ZDBC=45°,

:•乙FAD=cFBC,

.,.△E4D=AFBC,

"DF="CB=15。,

二.乙DOC=乙OBC+乙OCB=6U0.

故选A.

解法二：连接5足易知乙FCB=15。,£.DOC=Z.OBC+^FCB=450+15°=60°

如图，连接“、BF.如图，连接。F、8尸.首先证明"如肺48=30。，再证明

△FADW&FBC,推出乙4。尸=/FCB=15。，由此即可解决问题.

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是灵活运用

所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

19.正方形ABC。在直角坐标系中的位置如下图表示，将正

方形ABC。绕点A顺时针方向旋转180。后，C点的坐

标是()

A.(2,0)

B.(3,0)

C.(2,-1)

D.(2,1)

【答案】B

【解析】解：AC=2,

则正方形ABCO绕点A顺时针方向旋转180。后C的对应点设是C',贝IJAC'=AC=2,

则OC=3,

故C'的坐标是(3,0).

故选:B.

正方形ABC。绕点A顺时针方向旋转180。后，C点的对应点与C一定关于A对称，A

是对称点连线的中点，据此即可求解.

本题考查了旋转的性质，理解C点的对应点与C一定关于4对称，A是对称点连线的中

点是关键.

20.如图，正方形ABC。的对角线AC与8D相交于点O,乙4c8

的角平分线分别交A8、BD于M、N两点.若AM=2,则线段

ON的长为（）

'I

C.1

D-i

【答案】c

【解析】解：作MHL4C于H,如图，

•••四边形ABC。为正方形，

.•zMAH=45°,

.•.△AM”为等腰直角三角形，

•••CM平分乙4CB,

.•.8M=M”=|目

；.AB=2+园

.•.AC=04B迪（2+圆=2舟2,

••.OC=14C=圆1,C”=AC-A”=2舟2^§=2逋,

■.■BD1.AC,

:ACONSACHM,

W即播,

：.ON=1.

故选：C.

作MHHC于H,如图，根据正方形的性质得ZM4H=45。，则AAMH为等腰直角三角形,

所以4"=仞”=卧例遮，再根据角平分线性质得BA仪WH逋，则48=2调，于是利

用正方形的性质得到4C=［字8=2例+2

OC=1AC迪+1,所以CH=AC-AH=2+的，然后证明△CON-AC”M,再利用相似比可计

算出ON的长.

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已

有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般

方法是通过作平行线构造相似三角形.也考查了角平分线的性质和正方形的性质.

第16页，共123页

21.如图，正方形ABC。的对角线8。长为2明，若直线/满足:

①点。到直线/的距离为强；

②4、C两点到直线/的距离相等.

则符合题意的直线/的条数为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】B

【解析】解：如图，连接AC与8。相交于0,

•.•正方形ABCD的对角线BD长为2居，

.•.oo=0

直线/||AC并且到D的距离为围，

同理，在点。的另一侧还有一条直线满足条件，

故共有2条直线I.

故选：B.

连接AC与50相交于0,根据正方形的性质求出。。逋,然后根据点到直线的距离和

平行线间的距离相等解答.

本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线互相垂直平分，点。到。的距

离小于限是本题的关键.

22.如图，点E是正方形力BCD的边DC上一点，把AADE绕点

A顺时针旋转90。到△A8F的位置.若四边形AECF的面积为

20,DE=2,则AE的长为（）

A.4B.牺C.6D.2内

【答案】D

【解析】解：•••”£）£绕点A顺时针旋转90。到"8F的位置.

二四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20,

.•.AO=DC=2国

•；DE=2,

••.R/AAOE中，但加02+。酢2困

故选：D.

利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形

的边长，再利用勾股定理得出答案.

本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是

解题关键.

23.如图，正方形ABCD中，A8=6,点E在边CD上，且

CD=3DE.将△ACE沿4E对折至AAFE,延长EF交边BC

于点G,连接AG、CF.则下列结论：

①AABG三AAFG；②BG=CG；③AG||CF；④

（§）£AGB+AAED=145°.

其中正确的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】解：①正确.

理由：

■■AB=AD=AF,AG=AG,Z.B=zAFG=90°,

:.RmABGmRmAFG(HL)；

②正确.

理由：

EF=DE=|cD=2,设BG=FG=x,则CG=6-x.

在直角AECG中，根据勾股定理,得(6-x)2+42=(x+2)2,

解得x=3.

.•.BG=3=6-3=CG；

③正确.

理由：

•:CG=BG,BG=GF,

：.CG=GF,

.••△FGC是等腰三角形，乙GFC〃GCF.

又•:RSABGNRSAFG；

••.Z_AGB="GF,幺GB+"GF=2〃GB=180°-乙FGC=^GFC+乙GCF=24GFC=2乙GCF,

：・£AGB=zAGF=乙GFC二乙GCF,

・・・AG||CE

④正确.

理由：

••,SAGC£=1GC・C£=|X3X4=6,

双"£=纵尸止!x6x2=6,

•'•S^EGGS^AFE;

⑤错误.

,：z.BAG=Z.FAG,Z.DAE=Z.FAE,

又•2840=90°,

：.^GAE=45°,

."GB+"E£)=180°-NGAE=135°.

故选：C.

根据翻折变换的性质和正方形的性质可证用AABG三心AAPG；在直角AECG中，根据勾

股定理可证BG=GC；通过证明"GB=〃GP=NGFC=4GCF,由平行线的判定可得

AGHCF：分别求出SAEGC与S”FE的面积比较即可；求得NG4F=45。，

AAGB+£AED=18O°-zGAF=135°.

本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平

行线的判定，三角形的面积计算等知识.此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注

意数形结合思想与方程思想的应用.

24.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.

如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片

按图2的方式放置在最大正方形内.则图中阴影部分的面积等于()

第18页，共123页

A.直角三角形的面积

B.最大正方形的面积

C.较小两个正方形重叠部分的面积

D.最大正方形与直角三角形的面积和

【答案】C

【解析】【分析】

本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那

么a+tr^c2.

根据勾股定理得到c2=a2+^,根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可.

【解答】

解：设直角三角形的斜边长为c,较长直角边为乩较短直角边为a,

由勾股定理得，CL'/,

阴影部分的面积(c-Z?)=a-ac+ab=a(a+b-c),

较小两个正方形重叠部分的长=〃-(c-b),宽=a,

则较小两个正方形重叠部分底面积=aCa+b-c),

••・知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，

故选：C.

25.如图，正方形ABC。中，点E、F分别在BC、CD±,&AEF

是等边三角形，连接AC交EF于G,下列结论：

①BE=DF,②ZLD4F=15°,③AC垂直平分EF,@BE+DF=EF,

⑤SACE产25AABE-

其中正确结论有()个.

A.4B.3C.2

【答案】A

【解析】解：•••四边形ABC。是正方形，

..AB=BC=CD=AD,4B=4BCD=4D=LBAD=90°.

•••△AEF等边三角形，

■.AE=EF=AF,z£4F=60°.

.♦zBAE+z_D4F=30°.

在放“8E和中，

(AE=AF

\AB=AD'

RmABEmRt^ADF(HL),

；.BE=DF(故①正确).

：.ADAF+^DAF=30°,

即ND4F=15。(故②正确)，

■,BC=CD,

.・.BC-BE=CD-DF,B|JCE=CF,

-AE=AF9

./C垂直平分Ef（故③正确）.

设由勾股定理，得

EF=国，CG=

2

AG=AEsin60o=EFsin60°=2xCGsin60°=

.AC-晒+通,

2

.•.BE+DF=［母-JG骑r，（故④错误），

,•SACE产目

0x-x0x+xr~2

G_--------_X

；.2SAAB£用=SACEF，（故⑤正确）.

综上所述，正确的有4个，

故选：A.

通过条件可以得出“8E三”。品从而得出NBAENOAF,BE=DF,由正方形的性质就

可以得出EC=FC,就可以得出4c垂直平分EF,设EC=x,BE=y,由勾股定理就可以

得出x与y的关系，表示出BE与EF,利用三角形的面积公式分别表示出S.“,和2s”g

再通过比较大小就可以得出结论.

本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性侦的运用，勾股定理的运用，

等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质

解题时关键.

26.如图，在正方形A8C。中，连接BO,点O是2。的中点，若

M、N是边AD上的两点，连接M。、NO,并分别延长交边

8c于两点M'、N',则图中的全等三角形共有（）

A.2对

B.3对

C.4对

D.5对

【答案】C

【解析】解：•••四边形A8C。是正方形，

.-.AB=CD=CB=AD,^A=^C=AABC=AADC=90°,AD\\BC,

在AAB。和ABCO中，

\,AB=BC\

Z.A=zq

=cd'

:.XABDm&BCD,

■■■AD//BC,

第20页，共123页

:/MDO=AM'BO,

在△MOZ)和△〃'。8中，

&MDO=4M'B0

[/.MOD=/.M'OB

IDM=BM''

:△MDOmxM、BO,同理可证ANOO三△"'OB,：.4M0N三4M'ON',

•••全等三角形一共有4对.

故选C.

可以判断AAB。三△BCO,△M。。三△〃'BO,2N0D七国N'OB,△MON三△〃'ON'.由

此即可得出答案.

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形

的判定方法，属于基础题，中考常考题型.

27.如图，在正方形ABC。中，A、B、C三点的坐标分别是(-1,2)、(-1,0)、(-3,

0),将正方形A8C。向右平移3个单位，则平移后点/)的坐标是()

-3-2-1O

A.(-6,2)B.(0,2)C.(2,0)D.(2,2)

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化-平移，是基础题，比较简单.

首先根据正方形的性质求出。点坐标，再将。点横坐标加上3,纵坐标不变即可.

【解答】

解：•••在正方形ABCZ)中，A、B、C三点的坐标分别是(-1,2)、(-1,0)、(-3,0),

..D(-3,2),

•••将正方形ABCO向右平移3个单位，则平移后点。的坐标是(0,2),

故选8.

28.如图，正方形ABC。的边长为9,将正方形折叠，使顶点。落在BC边上的点E处,

折痕为GH.若BE：EC=2：1,则线段CH的长是()

A.3

【答案】B

【解析】解：设C，=x,则力H=E，=9-x,

-BE：EC=2：1,BC=9,

:.CE=3BC=3,

.♦.在Rti^ECH中，EH^EC^+CH2,

即(9-x)2=32+X2,

解得：尸4,

即CH=4.

故选：B.

根据折叠可得。H=E”，在直角ACEH中，设CH=x,则DH=EH=9-x,根据BE：EC=2：

1可得CE=3,可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长.

本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换.在直角三角

形中，利用勾股定理列出方程进行求解是解决本题的关键.

29.如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是边CO的中点，将沿ZiADE对折至A4FE,

延长EF交2c于点G,则BG的长为()

A.5

B.4

C.3

D.2

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了翻折变换的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，此

类题目，要注意翻折变换前后的对应角和对应边分别相等，本题关键在于最后利用勾股

定理列出方程.利用翻折变换对应边关系得出ZB="FG=9O。，利用HL定理

得出"8G三"FG即可；利用勾股定理得出GE^CGZ+CE2,进而求出8G即可.

【解答】

解：在正方形ABCQ中，AD=AB=BC=CD,4D=4B=LBCD=90°,

•••将AAOE沿AE对折至AAFE,

：.AD=AF,DE=EF,NO=〃FE=90。，

：.AB=AF,zB=zAFG=90°,

又“G二AG,

在RmABG和RdAFG中，

^AG=AG

\AB=AF'

・••RsABGmR小AFG(HL),

：.BG=GF,

・・・E是边CO的中点，

・.DE=CE=6,

-&BG=x,则CG=12xGE=X+69

VG£2=CG2+CE2,

:.(x+6)2=(12-x)2+62,

解得x=4,

.-.BG=4.

第22页，共123页

故选B.

30.如图，在正方形ABC。中，AB=4,P是线段AO上的动点,

PEJ/C于点E,PFLBD于点F,则PE+PF的值为()

A.国

B.4

C.项

D.2

【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各

性质求出PE+PF=OA是解题的关键.根据正方形的对角线互相垂直可得OA1OD,对角

线平分一组对角可得NOA£>=45。，然后求出四边形OEP尸为矩形和AAPE是等腰直角三

角形，再根据矩形的对边相等可得PF=OE并根据等腰直角三角形的性质可得PE=AE,

从而得到PE+PF=OA,然后根据正方形的性质解答即可.

【解答】

解：在正方形4BCD中，OALOD,/.OAD=45°,

■：PELAC,PFLBD,

四边形OEP尸为矩形，4APE是等腰直角三角形，

：.PF=OE,PE=AE,

PE+PF=AE+OE=OA,

■：AB=BC=4,

OA--jAC=2X4⑫-2M，

•■PE+PF=2^,

故选A.

31.四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABC。,过各较长直角边的中点作垂

线，围成面积为S的小正方形EFGH,已知AM为较长直角边,人”=漉££

则正方形ABCD的面积为()

A.125B.10SC.95D.85

【答案】C

【解析】【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识,

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题.设

AM=2a.BM=b.则正方形A8C。的面积=442+6\由题意可知EF=(2a-/?)-2(a-b)

^2a-b-2a+2b=b,由此即可解决问题.

【解答】

解：如图，由题意知四个白色的四边形为全等的矩形,

即AK+KN=EF+FQ,KN=FQ,

所以，所以BM=EF,

因为AM=?^EF\AB^BM^\AM].

所以踵宙，

所以|S正方形48cd=口曲9E”=9S.

32.如图，在正方形ABC。中，AABE和AC。/为直角三角形,

Z^EB=ZCFD-9O°,4E=CF=5,BE=DF=12,则EF的一长是

()

A.7

B.8

C.7因

D.7居

【答案】C

【解析】解：如图所示：

•••四边形ABCQ是正方形，

.■.Z.BAD=/ABC=/.BCD=zADC=90°,AB=BC=CD=AD,

.•ZBAE+Ntt4G=90°,

在AABE和△(?£)尸中，

：.4ABEm4CDF(SS5),

.-.AABE=ACDF,

■.■ZAEB=Z.CFD=9O°,

.•."BE+NBAE=90°,

第24页，共123页

：.£ABE=Z.DAG=/-CDF,

同理："BE=乙DAG=(CDF=乙BCH,

.­.ZDAG+ZL4DG=ZCDF+Z/4DG=90°,

BPzDGA=90°,

同理：zC//B=90°,

在ZkABE和A4OG中，

/4ABE=乙DAG

)Z.AEB=/.DGA=90°

[AB=DA'

.•.△ABE三ZkADG(A4S),

・・AE=DG,BE=AG,

同理：AE=DG=CF=BH=5fBE=AG=DF=CH=\2f

・・・EG=GF=FH=EF=12-5=7,

vzGEH=180o-90o=90°,

四边形EGF"是正方形，

也EG=7国

故选：C.

由正方形的性质得出N8AZ)=ZABC=4BCD="OC=90。，AB=BC=CD=AD,由SSS证明

△ABE二KDF,得出NABE=4C£＞凡证出〃BE=NOAG=4COF=4BC”，由A4S证明

△ABEGADG,得出AE=Z)G,BE=AG,同理：AE=DG=CF=BH=5,BE=AG=DF=CH=12,

得出EG=GF="/=EF=7,证出四边形EG"/是正方形，即可得出结果.

本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的判定与

性质，证明三角形全等是解决问题的关键.

33.如图，点A在第一象限内，其坐标为(2,1),以0A为边

在x轴上方作正方形04BC,则正方形OABC的顶点C的

坐标是()

A.(―2,1)

B.(1,3)