三角函数单元复习与巩固知识讲解

编稿：审稿：掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，掌握正弦、余弦的诱导，理解周期函数与最小正周期凡是与终边相同的角，都可以表示成k360的形式.终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍.x|k180，kZ，y|k18090，kZ，终边在坐标轴上的角的集合|k90，kZ.弧度180，1弧度，1弧度

(

57弧 ：l||r(是圆心角的弧度数)，扇形面 ：S1lr1||r2 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如，20,角的正负主要由角的旋转方向来决定.l角

lrr角P为(x,y，设|OP|rsiny,cosx,tan 三角函数的值与点Px2x2

,那么sin

,cos

,tan x2x2yx2x20643222sin012223210-0cos13222120-01tan0331300诱导(奇变偶不变，符号看象限sin()=sin，cos()=-cos，tan()=-tansin()=-sin，cos()=-cos，tan(sin(2)=-sin，cos(2)=cos，tan(2)=-sin(2k)=sin，cos(2k)=cos，tan(2k)=tan，(kZ22

)=cos，cos(2)=cos，cos(2

)=-(1)要化的角的形式为k90k“sinxcosxcosx；cosxsinx 4 4 4 ysinx，ycosx(-(-[-[-[2k,2k k[2k,2k3 kkk最小正周期T最小正周期T当x2k(kZ)时， 当x2k(kZ)时， x2k(kZyminx2k(kZymaxxk(kZ2xk(kZ(k,0)(kZ22

ytanxxk,k2R 增区间(k ,k ),k T对称中心 ,0)(kZ2yAsin(xyAsin(xzxz0,3 yAsin(xT4yAsinx(x数的值域或化为关于sinx(cosxyAsin(x)(A0,0x由2k2

x2k2

(kZ

解出x的范围所得区间即为增区间，由2k2

x2k

(kZx2yAsinx(x②确定值时，往往以寻找“五点法”中第一个零点(0)作为突破口，要注意从图象的升降情况yAsin(xysinx

向左(>0平移坐ysin(xysin(x

到原来的(纵坐标不变yAsin(x

yAsin(xkyAsinxyAsin(xyAsin(x)

到原来的1(纵坐标不变

yAsin(x)

1.已知角的终边过点(a2a)(a0)，求【思路点拨】分a0a0两种情况求5【解析】因为过点(a,2a)(a0)，所以r |a|，xa,y2a52 25|a 5|a cosx r

5，tan255|a 25，cosx 55|a (2)若角已经给定，不论点选在的终边上的什么位置，角的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角终边上点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角的三角函数值也是确定的.1】已知角

3,m)，且sin ，求cos,tan的值33x

3ym，所以r2|OP|2

3)2m2，得r 从而sin4

m mm5解得m0或1662m2m 5 m0r

3,x

3，cos 1,tan 0 53当m 时，r22,x 53

cosx6,tany15 53当m 时，r22,x 53

cosx6,tany15

【答案】

1(2)r2【解析】设扇形的圆心角是rad，因为扇形的弧长是r，所以扇形的周长是2rr2r2

(2)180≈1.14257.30≈ S1r21(2)r2 是圆周

C2r和圆面

1 2r22用圆心角的弧度数代替2时，即得到一般的弧 和扇形面 l

r,S1lr 1 1

r2133

cos

sin3cossin3

2 ，求出sinθ＝－3【答案】

【解析】∵sin(3π＋θ)＝－sinθ＝3

，∴sinθ＝－13∴原式

coscos1

cos(2sin3cos()

1 cos2 1

1

1cos2 sin2

(3

【总结升华】诱导用角度和弧度制表示都成立方法可以概括“奇变偶不变符号看象限“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin与cos对偶“奇“偶”是对诱导kkk看作锐角时，kcos3

cos3 写 2，因为3是奇数，则“cos”变为对偶函数符号“sin，又2看作第四象限角 【答案】f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2＝－asinα－bcos∴asinα＋bcos∴f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2＝asinα＋bcos2】化简(1)sin2

(nZ

sin(n)cos(n)

(nZ)nn

sin2k2

sin(2k2n

)2

sin(2k)2

sin(2k2

)2

2(2)①当n2kkZ 原式 ②当n2k1kZ 原式 【总结升华】关键抓住题中的整数n是表示的整数倍与 中的整数k有区别，所以必须把n分成例4.函数ylncosx x的图象是 2 2 【答案】 【解析】ylncos x

B、D，由cosx【课堂：三角函数的综合395043例1x【变式1】函数f(x) cosx在[0,)内（x 【答案】例5．把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是（ y=co（x+1y=cos（x+1）y=cosx【答案】y=co（x+1y=cos（x+1）经过点10和310，且在区间1310 AA．【变式1】已知函数

f(x)sin(x

)(xR,0)的最小正周期为，为了得到函数4g(x)cosx的图象，只要将yf(x)的图象 A8

8

4

个单位长 4

【答案】由题知T又0，所以T

2f(x)sin(2x)cos(2x4=cos2x

4 4 =cos2x 8 f(xcos2xg(x)cos2x的图象．故选 8 6．f(xsin(x其中0，||2 若 cos sin0,求的值 在（I）f(x的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于f(x3析式；并求最小正实数mf(x的图像象左平移m（1）把所给的式子化简，然后结合平方关系式得出tan，由0，||，求出2（Ⅱ）T2，故3f(x34

（Ⅱ）f(x)sin(3x 由coscossin3sin0，得2cos

2sin0，得tan又|

（Ⅱ）由（I）得，f(x)sin(x 4 又T

,故3,f(x)sin(3x f(x的图像向左平移mg(x)sin3(xm) g(x是偶函数当且仅当3mk(kZ 即m

(kZ从而，最小正实数myAsin(x的性质，属中等难度【变式1】已知函数f(x)Asin(x),xR（其中A0,0,0 2 3f(x（Ⅱ）x[0]f(x3f(x)2