模糊控制系统21模糊集合

模糊控制系统21模糊集合第一页，共29页。2.1模糊集合经典的集合理论是基于布尔逻辑的，一个特定的对象或变量要么属于一个给定的集合(逻辑1)，要么不属于(逻辑0)。但是，在基于模糊逻辑的模糊集合理论中，一个特性的对象对于给定的集合总有一个隶属度，其可能是0(完全不属于这个集合)到1(完全属于这个集合)之间的某个值。正是由于这个原因，模糊逻辑常被称为多值逻辑，以区别于二值布尔逻辑。

第二页，共29页。输入/输出映射问题一个模糊逻辑问题可以被等效为一个通过“黑箱”描述的具有输入/输出的、静态的和非线性的映射问题。所有的输入信息定义在输入空间中，并在黑箱中被处理，结果显示在输出空间中。通常映射可以是静态的也可以是动态的，且映射的特性是由黑箱的特性决定的。

第三页，共29页。2.1.1隶属函数

(MF)

例如，温度是一个模糊变量，它可以由语言变量冷、温、热来定义，每一个语言变量可以用一个三角形的或含有部分直线段的隶属函数(MF)来表示。

一个MF是一条描述模糊变量在某区域的值如何被映射为0到1之间的一个隶属值μ(隶属度)的曲线。

a)模糊集合中的温度表示b)清晰集合中的温度表示

第四页，共29页。不同种类的隶属函数

a)三角形b)梯形c)高斯形d)双侧高斯形第五页，共29页。不同种类的隶属函数e)钟形f)右开口S形g)左开口S形h)差值S形

第六页，共29页。不同种类的隶属函数i)乘积S形j)多项式Z形k)多项式π形l)多项式S形第七页，共29页。2.1.2模糊集合运算采用三角型MF的模糊集合A和B之间的或、与、非逻辑运算如图(左边)，并与右边相应的布尔逻辑运算相比较。

a)模糊集合b)清晰集合第八页，共29页。2.1.3模糊系统

一个模糊推理系统(或称模糊系统)实质上包含从一个基于模糊逻辑的给定输入集合到输出集合的映射算式。该映射的过程反映了推理或推断的基本思想。一个模糊推理过程包括以下五个步骤：步骤1：输入变量的模糊化；步骤2：对规则的前提部分应用模糊运算(AND、OR、NOT)；步骤3：从前提到结论的推理；步骤4：所有规则作用结果的聚集；步骤5：解模糊。第九页，共29页。餐馆小费模糊推理系统

其中“食物”和“服务”是输入模糊变量(变量范围(或论域)是[0，10])；“小费”是输出模糊变量(变量范围是[0，0.25])。输出是这个系统三条规则执行结果的合成。

第十页，共29页。饭店小费模糊系统中的信息处理

输入变量“服务”采用三个模糊集合表示，分别为“差”、“好”、“极好”，对应于曲线型MF；变量“食物”用两个模糊集合表示，分别为“糟糕”和“美味”，采用直线型MF；输出变量“小费”由“少”、“一般”和“多”三个集合表示，采用三角形MF。输入变量的论域为[0，10]，输出变量的论域是0%～0.25%。第十一页，共29页。步骤1：输入变量的模糊化；

例如，考虑“服务”质量的分数为3，该精确输入对于“差”模糊集的隶属度为μ=0.3，即为模糊化的结果。如果“食物”的打分为8，其对应于“糟糕”模糊集的模糊化结果为μ=0。

一旦输入被模糊化，便可知它对某条规则前提部分的隶属度。

规则1：如果服务差或者食物不好，那么小费就少。规则2：如果服务好，那么小费一般。规则3：如果服务极好，或者食物很美味，那么小费多。第十二页，共29页。步骤2：对规则的前提部分应用模糊运算；在这个规则中，使用的是“OR”运算，因此在0.3和0两个值之间，模糊算子的运算结果为0.3，该值也被定义为一条规则的开放度(DOF)。反之，如果这条规则包含“AND”运算，那么0将被选取。

这种推理步骤有助于产生某条规则的结论部分。

规则1：如果服务差或者食物不好，那么小费就少。规则2：如果服务好，那么小费一般。规则3：如果服务极好，或者食物很美味，那么小费多。第十三页，共29页。步骤3：从前提到结论的推理；在这个规则中，输出MF“少”在μ=0.3时被截得以形成如图所示的模糊输出.三条规则采用同样的方法被评价，其结果显示在图的最右边。规则1：如果服务差或者食物不好，那么小费就少。规则2：如果服务好，那么小费一般。规则3：如果服务极好，或者食物很美味，那么小费多。第十四页，共29页。步骤4：所有规则作用结果的聚集采用叠加方法对这些输出进行合成，以形成最终的模糊输出结果，如图右边的底部所示。

第十五页，共29页。步骤5：解模糊。最后，模糊输出(面积)转化为精确输出(小费为16.7%)，即一个单纯的数字.典型的解模糊方法有重心法(COA)。

第十六页，共29页。2.1.3推理方法

1、Mamdani方法考虑一个模糊系统中的三条规则，其一般表述形式如下：规则1：如果X是负小(NS)且Y是零(ZE)，那么Z是正小(PS);规则2：如果X是零(ZE)且Y是零(ZE)，那么Z是零(ZE)；规则3：如果X是零(ZE)且Y是正小(PS)，那么Z是负小(NS)。其中，X和Y是输入变量；Z是输出变量；NS、ZE和PS是模糊集合。

第十七页，共29页。基于Mamdani方法的三规则模糊推理过程当输入为X=-3和Y=1.5时，规则1的开放度(DOF)为DOF1=μNS(X)∧μZE(Y)=0.8∧0.6=0.6输出为截去顶部的MF(PS’)对于规则2和规则3，有

DOF2=μZE(X)∧μZE(Y)=0.4∧0.6=0.4DOF3=μZE(X)∧μPS(Y)=0.4∧1.0=0.4相应的模糊输出MF分别是ZE’和NS’。总的模糊输出是上述三者之并(OR)

规则1：如果X是负小(NS)且Y是零(ZE)，那么Z是正小(PS);规则2：如果X是零(ZE)且Y是零(ZE)，那么Z是零(ZE)；规则3：如果X是零(ZE)且Y是正小(PS)，那么Z是负小(NS)。第十八页，共29页。2、LusingLarson方法这种方法的输出MF是被标定而不是被截去顶部，如图所示。例如，考虑同样的三条规则和相同的输入，X=-3,Y=1.5，得到DOF1=0.6，DOF2=0.4，DOF3=0.4。规则1的输出MF为PS被标定后，峰值为0.6的输出PS’。

类似的规则2和规则3的输出分别为ZE’和NS’，它们的峰值均为0.4。

第十九页，共29页。3、Sugeno方法

Sugeno方法与Mamdani和LusingLarson方法的不同之处在于它的输出MF是一个常数或者与输入存在线性关系。当输出MF是常数(单值)时，被称为零阶Sugeno方法；如果输出MF与输入有一阶线性关系，它被称为一阶Sugeno方法。

第二十页，共29页。基于零阶Sugeno方法的三条规则模糊系统。

规则1：如果X=NS且Y=ZE，那么Z=K1;规则2：如果X=ZE且Y=ZE，那么Z=K2;规则3：如果X=ZE且Y=PS，那么Z=K3;K1、K2和K3分别在每条规则的结论部分被精确定义为常数，如图所示。

每条规则的输出MF像是一根倒立的钉子，它与各自的开放度(DOF)相乘得到每条规则的模糊输出。

第二十一页，共29页。一阶Sugeno方法

规则1：如果X=NS且Y=ZE，那么Z=Z1=A01+A11X+A21Y;规则2：如果X=ZE且Y=ZE，那么Z=Z2=A02+A12X+A22Y;规则3：如果X=ZE且Y=PS，那么Z=Z3=A03+A13X+A23Y。其中，所有的A都是常数。第二十二页，共29页。2.1.4解模糊方法推理与合成阶段的结果就是模糊输出，它是起作用的或者有效的各个规则输出的并。模糊输出变换为精确输出的过程被定义为解模糊。第二十三页，共29页。1、重心法(COA)在重心法(COA)解模糊中，Z变量的精确输出Z0位于模糊输出μOUT(Z)区域的几何中心，其中μOUT(Z)是由所有开放度(DOF)大于0的规则作用结果之并而得到的。重心解模糊方法的一般表达式为

当论域为离散形式时，其表达式为第二十四页，共29页。两规则系统的输出解模糊基于COA公式得到的精确输出为

如果在某些区域内两条或两条以上规则的作用结果有重叠的话，那么重叠部分仅被计算一次。

第二十五页，共29页。2、高度法高度解模糊方法实际上就是简化的COA，它仅考虑每个有效作用的MF中心处的高度。基于图所示的精确输出为

第二十六页，共29页。3、最大值平均法(MOM)

MOM解模糊法是高度法的进一步简化，此时仅考虑