数字图像处理第三章图像变换

数字图像处理第三章图像变换第一页，共111页。2第三章图像变换第二页，共111页。

3.1概述

3.2一维离散傅里叶变换重点3.3一维快速傅里叶变换3.4二维离散傅里叶变换重点第3章图像变换3.5离散余弦变换第三页，共111页。第3章图像变换

3.6沃尔什变换和哈达玛变换（自学）

3.7

霍特林变换（自学）3.8拉东变换（自学）第四页，共111页。53.1概述第五页，共111页。6空间域表示法变换域表示法空间域处理法（或称空域法）频域法（或称变换域法）图像表示法图像处理法第六页，共111页。基于变换的图像处理与分析图像变换技术新空间中的图像表达（r,u,v）新图像特征在新空间进行处理图像重建处理后的图像模式分析原空间输入图像（R,x,y）第七页，共111页。83.2一维离散傅里叶变换第八页，共111页。9离散傅里叶变换有限长序列变换核

定义

第九页，共111页。10离散傅里叶变换矩阵形式

第十页，共111页。11离散傅里叶变换例第十一页，共111页。12离散傅里叶变换例…第十二页，共111页。13离散傅里叶变换的性质线性

如果则第十三页，共111页。14离散傅里叶变换的性质对称性

如果则第十四页，共111页。15离散傅里叶变换的性质时移性

如果则第十五页，共111页。16离散傅里叶变换的性质频移性

如果则第十六页，共111页。17离散傅里叶变换的性质卷积定理

如果则第十七页，共111页。18离散傅里叶变换的性质相关定理

如果则第十八页，共111页。19离散傅里叶变换的性质帕斯瓦尔定理

如果则第十九页，共111页。203.3一维快速傅里叶变换

第二十页，共111页。21基本思想变换矩阵第二十一页，共111页。22基本思想变换矩阵元素③对称性②周期性①不必乘第二十二页，共111页。23基本思想由变换矩阵元素可见，利用矩阵元素的周期性与对称性之后，变换矩阵中许多元素相同。换言之，变换矩阵与输入信号相乘过程中存在着不必要的重复计算。利用变换矩阵元素的周期性与对称性，合理安排（即避免）重复出现的相乘运算，就能显著减少计算工作量。改进DFT的关键第二十三页，共111页。24一维FFTFFT重要环节重新安排计算次序矩阵分解第二十四页，共111页。25一维FFT重新安排计算次序设N=2n，经过n步计算后，其结果为fn(k)=F(l)其中k的二进制表示为第二十五页，共111页。26一维FFT矩阵分解当N=2n，将变换矩阵分解成n个矩阵，使每个矩阵中每一行仅含有两个非零元素。有两种分解方法：一种是按时间分解一种是按频率分解下面仅介绍按时间分解的FFT算法第二十六页，共111页。27一维FFT矩阵分解u和x的二进制表示为第二十七页，共111页。28一维FFT矩阵分解N=8=23

第二十八页，共111页。29一维FFT矩阵分解N=8=23

第二十九页，共111页。30一维FFT矩阵分解矩阵表示第三十页，共111页。31一维FFT矩阵分解矩阵表示第三十一页，共111页。32一维FFT矩阵分解矩阵表示第三十二页，共111页。33一维FFTFFT流程图N=8时FFT流程图

第三十三页，共111页。34一维FFTFFT流程图(1)整个流程需要的计算步数为n=log2N(N=2n)；(2)在第r步计算中，要乘的因子为(3)第r步计算中有2r-1个组，每组有（N/2r-1）个元素，每组的W因子各不相同，且每组只有一种类型的W因子，此因子在组中上一半为正，下一半为负。第三十四页，共111页。35一维FFTFFT流程图(4)对比DFT与IDFT的定义式，只要将上述FFT算法中W因子用其共轭代替，并将最后结果乘以1/N，就是计算IDFT即离散傅里叶反变换的快速算法。(5)在每步计算中，需要的乘法次数N/2，加法次数为N，因此FFT的总计算量为：乘法次数为

加法次数为而直接计算DFT的计算量为：乘法次数为N2，加法次数为N(N-1)。当N=2048时，DFT需要4194304次乘法运算，而FFT只需要11264次乘法运算，二者之比为第三十五页，共111页。363.4二维离散傅里叶变换

第三十六页，共111页。37二维DFTMN图像正变换核反变换核第三十七页，共111页。38二维DFTF(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)幅度谱相位谱功率谱第三十八页，共111页。39二维DFT性质分离性

第三十九页，共111页。40二维DFT性质线性

如果则第四十页，共111页。41二维DFT性质周期性与共轭对称性

如果则第四十一页，共111页。42二维DFT性质位移性

如果则第四十二页，共111页。例对一副图进行傅里叶变换，求出其频谱图，然后利用平移性质，在原图的基础上乘以求傅里叶变换的频谱图。

（a）原图（b）频谱图（c）中心移到零点的频谱图图二维离散傅里叶变换结果中频率成分分布示意图（结果看下）

二维DFT性质位移性

第四十三页，共111页。44二维DFT性质尺度变换

如果则第四十四页，共111页。

【例】比例尺度展宽。（a）原始图像（b）比例尺度展宽前的频谱（c）比例尺度a=0.1，b=1，展宽后的频谱二维DFT性质尺度变换

第四十五页，共111页。46二维DFT性质旋转性

如果则第四十六页，共111页。

（a）原始图像（b）原图像的傅（c）旋转后的图像（d）旋转后图像的里叶频谱傅里叶频谱上例表明，对旋转一个角度对应于将其傅里叶变换也旋转相同的角度。

二维DFT性质旋转性

第四十七页，共111页。48二维DFT性质平均值

u=v=0第四十八页，共111页。49二维DFT性质卷积

如果则第四十九页，共111页。性质的应用1）频谱的图像显示DFT在计算机图像处理中计算的中间过程和结果要图像化。对DFT来讲不但f(x,y)是图像,F(u,v)也要用图像来显示其结果。谱图像就是把|F(u,v)|作为亮度显示在屏幕上。但在傅里叶变换中F(u,v)随u,v的衰减太快，其高频项只看到一两个峰，其余皆不清楚。由于人的视觉可分辨灰度有限，为了得到清晰的显示效果，即为了显示这个频谱，可用下式处理，设显示信号为D(u,v),2023/4/18二维DFT性质第五十页，共111页。即用显示D(u,v)来代替只显示|F(u,v)|不够清楚的补救方法。谱的显示加深了对图像的视觉理解。如一幅遥感图像受正弦网纹的干扰，从频谱图上立即可指出干扰的空间频率并可方便地从频域去除。如图4.7为图像的傅里叶频谱图像2023/4/18二维DFT性质第五十一页，共111页。2023/4/18图4.7图像的傅里叶频谱图像，原始图像，(b)频谱直接显示，(c)频谱经过变换后的结果(b)(c)a.a.二维DFT性质第五十二页，共111页。2.频谱图像的移中显示常用的傅里叶正反变换公式都是以零点为中心的公式，其结果中心最亮点却在频谱图像的左上角，作为周期性函数其中心最亮点将分布在四角，为了观察方便，将频谱图像的零点移到显示的中心。当周期为N时，应在频域移动N/2。利用DFT的平移性质，先把原图像f(x,y)乘以(-1)(x+y)然后再进行傅里叶变换，其结果谱就是移N/2的F(u,v)。图4-8所示。应当注意，显示是为了观看，而实际F(u,v)数据仍保留为原来的值。2023/4/18二维DFT性质第五十三页，共111页。2023/4/18图4.8频谱图像的移中显示(a)未移至中心的频谱图像，(b)移至中心后的频谱图像(a)(b)4.1.2离散傅里叶变换第五十四页，共111页。55二维FFT基于二维离散傅里叶变换的分离性，二维离散FFT算法可以用两个一维FFT算法来实现第五十五页，共111页。56二维FFT第五十六页，共111页。2023/4/18图

二维傅里叶变换的频谱分布

二维FFT第五十七页，共111页。2023/4/18

数字图像傅里叶变换的频谱分布和统计特性

1)数字图像傅里叶变换的频谱分布数字图像的二维离散傅里叶变换所得结果的频率成分如上图所示，左上角为直流成分，变换结果的四个角的周围对应于低频成分，中央部位对应于高频部分。为了便于观察谱的分布，使直流成分出现在窗口的中央，可采用图示的换位方法，根据傅里叶频率位移的性质，只需要用f(x，y)乘上因子进行傅里叶变换即可实现，变换后的坐标原点移动到了窗口中心，围绕坐标中心的是低频，向外是高频。二维FFT第五十八页，共111页。2023/4/18图4.11频率位移示例二维FFT第五十九页，共111页。2023/4/18

上图为二维离散傅里叶变换的频率位移特性。围绕坐标中心的是低频，向外是高频，频谱由中心向周边放射，而且各行各列的谱对中心点是共轭对称的，利用这个特性，在数据存储和传输时，仅存储和传输它们中的一部分，进行逆变换恢复原图像前，按照对称性补充另一部分数据，就可达到数据压缩的目的。

二维FFT第六十页，共111页。2）图像傅里叶变换的统计分布（1）傅里叶变换后的零频分量F（0，0），也称作直流分量，根据傅里叶变换公式有：

它反映了原始图像的平均亮度。

二维FFT第六十一页，共111页。2023/4/18（2）对大多数无明显颗粒噪音的图像来说，低频区集中了85％的能量，这一点成为对图像变换压缩编码的理论根据，如变换后仅传送低频分量的幅值，对高频分量不传送，反变换前再将它们恢复为零值，就可以达到压缩的目的。（3）图像灰度变化缓慢的区域，对应它变换后的低频分量部分；图像灰度呈阶跃变化的区域，对应变换后的高频分量部分。除颗粒噪音外，图像细节的边缘、轮廓处都是灰度变化突变区域，它们都具有变换后的高频分量特征。二维FFT第六十二页，共111页。63Matlab实现fft函数一维DFTfft2函数二维DFTfftn函数N维DFTifft函数一维IDFTifft2函数二维IDFTifftn函数N维IDFT

快速傅里叶变换函数第六十三页，共111页。Matlab实现例%建立简单图像d并显示之d=zeros(32,32);%图像大小32*32d(13:20,13:20)=1;%中心白色方块大小为8*8figure(1);%建立图形窗口1imshow(d,'notruesize');%显示图像d如图3.5所示%计算傅里叶变换并显示之D=fft2(d);%计算图像d的傅里叶变换，fft2(d)=fft(fft(d).').'figure(2);%建立图形窗口2imshow(abs(D),[-1,5],'notruesize');%显示图像d的傅里叶变换谱如图3.5(b)所示第六十四页，共111页。Matlab实现例DF=fftshift(D);figure(3);imshow(log(abs(DF)),[-15],'notruesize');第六十五页，共111页。66Matlab实现

例简单图像傅里叶变换谱对数傅里叶变换谱傅里叶变换中心谱第六十六页，共111页。figure(1)A=imread('image1.jpg')%装入真彩图像，见图1.1（b）B=rgb2gray(A)%将真彩图像转换为灰度图像imshow(B)%显示灰度图像如图3.7（a）所示C=fftshift(fft2(B))%计算傅里叶变换并移位figure(2)imshow(log(abs(C)),[])%显示傅里叶变换谱如图3.7（b）所示Matlab实现例第六十七页，共111页。68Matlab实现

例风景图像傅里叶变换中心谱第六十八页，共111页。693.5离散余弦变换

第六十九页，共111页。70一维DCT第七十页，共111页。将变换式展开整理后，可以写成矩阵的形式，即F=Gf其中一维DCT第七十一页，共111页。72一维FDCT利用FFT的快速算法基于代数分解的快速算法第七十二页，共111页。73一维FDCT利用FFT的快速算法余弦变换核实际上就是傅里叶变换核的实部。而变换计算中的乘法运算就是f(x)与变换核的乘法运算。一种自然的想法就是先对f(x)执行FFT，然后对其取实部就可以了第七十三页，共111页。74一维FDCT基于代数分解的快速算法与FFT类似，利用代数分解的FDCT就是利用余弦函数的周期性以及正弦函数与余弦函数之间的关系，同时合理安排计算次序来实现的。第七十四页，共111页。75一维FDCT基于代数分解的快速算法第七十五页，共111页。76一维FDCT基于代数分解的快速算法第七十六页，共111页。77二维DCT由于二维离散余弦变换的可分离性，二维DCT可以用一维DCT来实现

第七十七页，共111页。

通常根据可分离性，二维DCT可用两次一维DCT来完成，其算法流程与DFT类似，即二维DCT第七十八页，共111页。要注意的是二维DCT的频谱分布，其谱域分布与DFT相差一倍，如图1-1所示。从图中可以看出，对于DCT而言，(0,0)点对应于频谱的低频成分，(N-1,N-1)点对应于高频成分，而同阶的DFT中，(N／2,N／2)点对应于高频成分（注：此频谱图中未作频谱中心平移）。

由于DFT和IDFT已有快速算法FFT和IFFT，因此可用它们实现快速DCT和IDCT算法FCT及IFCT。不过，由于FFT及IFFT中要涉及到复数运算，因此这种FCT及IFCT算法并不是最佳的。二维DCT第七十九页，共111页。图1-1DFT和DCT的频谱分布（a）DFT频谱分布；（b）DCT频谱分布二维DCT第八十页，共111页。81Matlab实现RGB=imread('image2.jpg');%装入真彩图像figure(1);imshow(RGB);%显示彩色图像GRAY=rgb2gray(RGB);%将真彩图像转换为灰度图像figure(2);imshow(GRAY);%显示灰度图像DCT=dct2(GRAY);%进行余弦变换figure(3);imshow(log(abs(DCT)),[]);%显示余弦变换例第八十一页，共111页。82Matlab实现

原图像余弦变换例第八十二页，共111页。细节较少图片的傅立叶变换和离散余弦变换第八十三页，共111页。细节中等图片的傅立叶变换和离散余弦变换第八十四页，共111页。细节较多图片的傅立叶变换和离散余弦变化第八十五页，共111页。86应用离散余弦变换在图像压缩中具有广泛的应用例如，在JPEG图像压缩算法中，首先将输入图像划分为88的方块，然后对每一个方块执行二维离散余弦变换，最后将变换得到的量化的DCT系数进行编码和传送，形成压缩后的图像格式。在接受端，将量化的DCT系数进行解码，并对每个88方块进行二维IDCT，最后将操作完成后的块组合成一幅完整的图像。

第八十六页，共111页。JPEG压缩编码的算法框架图：

JPEG算法处理的彩色图像是单独的彩色分量图像，因此它可以压缩来自不同彩色空间的数据。第八十七页，共111页。二、DCT在数字水印（digitalwatermarking）技术中的应用

数字水印技术是将特定的信息嵌入到数字信息的内容中,要求嵌入的信息不能被轻易的去除,在一定的条件下可以被提取出来,以确认作者的版权。原始图像原始水印图像嵌入水印图像恢复水印图像应用第八十八页，共111页。数字水印有多种分类方法按照可视性：可见水印和隐形水印；按照鲁棒性：脆弱性水印和健壮性水印；按照嵌入方法：空间域和变换域水印；按照检测与提取方法分类：私有水印、半公开水印和公开水印；应用二、DCT在数字水印（digitalwatermarking）技术中的应用第八十九页，共111页。原始图像水印图像DCT变换DCT变换DCT系数组合反DCT变换含水印的图像基于DCT算法的数字水印产生原理待测图像原始图像水印提取提取的水印水印检测水印嵌入框图水印检测框图应用第九十页，共111页。原图及水印信息嵌入水印的图及恢复的水印信息第九十一页，共111页。923.6沃尔什和哈达玛变换

第九十二页，共111页。93离散沃尔什变换（略）第九十三页，共111页。94离散哈达玛变换一维离散哈达玛变换

一维离散哈达玛反变换

第九十四页，共111页。95离散哈达玛变换第九十五页，共111页。96离散哈达玛变换二维离散哈达玛变换

二维离散哈达玛反变换

第九十六页，共111页。973.7霍特林变换

第九十七页，共111页。98霍特林变换霍特林（Hotelling）变换是一种基于图像统计特性的变换霍特林变换可直接用于对数字图像的变换它在连续域对应的变换是KL（Karhunen-Loeve）变换霍特林变换：特征值变换、主分量变换、离散KL变换第九十八页，共111页。99霍特林变换N维随机向量数学期望协方差矩阵均值向量cii