数字图像处理-变换技术与其应用

数字图像处理_变换技术与其应用第一页，共72页。BasicConceptsImageinformationcanbetransformedintodifferentspacesbydifferenttransforms;T:XYXissourcespaceYisobjectspaceReversibleComputationissimpleinTransformedspaceTransformalgorithmissimple2第二页，共72页。PropertiesofImageTransformsSimplifyalgorithm.ForexampleConvolutioninspatialspace——MultiplicationinfrequencyspaceSomecharacteristicsofimagecanberecognizedeasilyintransformedspace.ForexampleInTransformedspace,imageenergycanbemoreconcentrated,whichcanbeusedtocompresstheimage.Severaltransformationcanbeusedtoextractfeaturesofimages.Forexample：K-LTransformation3第三页，共72页。ContentsofImageTransformationBasisImagesTheDiscreteFourierTransform(DFT)TheDiscreteCosineTransform(DCT)TheHadamard-WalshTransformTheHaarTransformTheKarhumen-LoeveTransformTheDiscreteWaveletTransform(DWT)4第四页，共72页。BasisImages(基图)Theinversetow-dimensionaltransformcanbeviewedasreconstructingtheimagebysummingasetofproperlyweightedbasisimages.Abasisimagecanbegeneratedbyinversetransformingacoefficientmatrixcontainingonlyonenonzeroelement,whichissettounity.Imagetransformcanbewrittenas：

[F(u,v)]=A[f(x,y)]BT[f(u,v)]=A[F(x,y)]BTWhere，AT=[a1,a2,…,aN]，BT=[b1,b2,…,bN]，ai,biisN×1vector5第五页，共72页。ThenisaN×NmatrixBasisImages6第六页，共72页。BasisImagesThebasisimagescanbethoughtofasasetofbasiccomponentsintowhichanyimagecanbedecomposed.Theyarealsothebuildingblocksfromwhichanyimagecanbereassembled.Theforwardtransformdoesthedecompositionbydeterminingthecoefficients.Theinversetransformdoesthereconstitutionbysummingthebasisimages,weightedbythosecoefficientsaij.7第七页，共72页。BasisMatrix,BasisImageBasismatrixisthematrix[aibjT]N×Nbasisimageisamatrixdefinedas8第八页，共72页。关于基图的几点说明对于一个N×N的图像，基图的大小为N2×N2。基矩阵的大小为N×N

，基图中共有N×N个不同的基矩阵正变换可以看成是一个分解过程。将图像分解成它的各个基元分量，这些基元分量以基矩阵的形式表示。变换系数则规定了在原图像中，各分量所占的量。反变换可以看成是一个合成过程。通过将各基矩阵与其对应的系数进行加权求和来合成原图像。基矩阵仅与变换有关而与图像无关的条件：变换核本身与图像无关。若变换核本身与图像有关，是图像的函数，则基矩阵与图像有关（或者说基图与图像有关）。例如K-L变换，其变换核是图像的特征向量，与图像有密不可分的关系，所以K-L变换的基图与图像有关。9第九页，共72页。DiscreteFourierTransform(DFT)Imagef(x,y),0≤x≤M-1,0≤y≤N-1TransformkernelDiscreteFourierTransformoff(x,y)is10第十页，共72页。DiscreteFourierTransform(DFT)Ingenerally,M=N.Transformkernelcanberepresentedas:DiscreteFourierTransformoff(x,y)canberepresentedas11第十一页，共72页。Modulus、Phase、PowerSpectrumLetR(u,v)、I(u,v)berealpartandimaginarypartofF(u,v)Modulus：Phase：PowerSpectrum：12第十二页，共72页。BasisMatrixofTheFourierTransformTheFourierTransform：A=B=AT=BT=WwhereBasisMatrix13第十三页，共72页。BasisImagesofTheFourierTransform

(N=8PhaseImage)14第十四页，共72页。Transform(Example)img=imread('lena.bmp','bmp');subplot(121);imshow(img);title('originalimage')fimg=fftshift(fft2(img));subplot(122);imshow(abs(fimg)/10000)title('transformedimage')15第十五页，共72页。Transform(Example)A=zeros(128);A(33:33+63,33:33+63)=255*ones(64);%A=imread('lena.bmp','bmp');m=fft2(A);m=fftshift(m);subplot(2,2,1);imshow(A);title('OriginalImage');subplot(2,2,3)mm=log(1+abs(m));mm=mm/max(max(mm))*255;imshow(uint8(mm));title('Modulus');16第十六页，共72页。Transform(Example)（cont.）subplot(2,2,4)ma=angle(m);ma=(ma-min(min(ma)))/(max(max(ma))-min(min(ma)))*255;imshow(uint8(ma));title('Phase');[i,j]=find(abs(m)==max(max(abs(m))));m(i,j)=m(i,j)*2;s=ifft2(m);subplot(2,2,2)imshow(uint8(abs(s)));title('ReconstructionImage');17第十七页，共72页。Transform(Example)18第十八页，共72页。Transform(Example)19第十九页，共72页。Propertiesof2-DimensionalFourierTransform1.Separability2.Linearity3.Scality4.ShiftTheorem5.Rotation6.Periodicityandconjugation7.Convolution8.Correlation9.Average20第二十页，共72页。1.SeparabilityTransformkernelof2-DimensionalDFTis Separatingthetransformationintohorizontalandverticaloperations.Atfirst,one-dimensionalDFTscanbecomputedontherowsoftheimage.Next,performscolumnwiseone-dimensionalDFTsontheresultingarray.21第二十一页，共72页。1.SeparabilityTheimplementationstepsforthetwo-dimensionalDFTmaybevisualisedasshowninthediagrambelowf(x,y)F(x,v)F(u,v)ColumnTransformsMultiplybyNRowTransforms22第二十二页，共72页。1.Separability23第二十三页，共72页。2.LinearityDFTisalinearoperator

af1(x,y)+bf2(x,y)aF1(u,v)+bF2(u,v)24第二十四页，共72页。3.Scality25第二十五页，共72页。3.Scality26第二十六页，共72页。4.ShiftTheorem27第二十七页，共72页。4.ShiftTheoremIndigitalimageprocessing,itisnecessarytoshifttheoriginofF(u,v)tothecenterofN×Nfrequencydomain.Let：u0=v0=N/2，then28第二十八页，共72页。4.ShiftTheorem29第二十九页，共72页。4.ShiftingSample（FrequencyShifting）30第三十页，共72页。5.Rotation Inpolarcoordinates,f(x,y)andF(u,v)canberepresentedbyf(r,θ)andF(w,φ)alternatively.Then

f(r,θ+θ0)F(w，φ

+θ0)31第三十一页，共72页。5.RotationSample32第三十二页，共72页。6.PeriodicityandconjugationPeriodicity：

F(u,v)=F(u+aN,v+bN)

f(x,y)=f(x+aN,y+bN)Wherea,b=0,±1,±2,……Conjugation：F(u,v)=F*(-u,-v)|F(u,v)|=|F(-u,-v)|33第三十三页，共72页。7.Convolution2-Dconvolutionisdefinedas：

Then：f(x，y)*g(x，y)F(u，v)G(u，v)

f(x，y)g(x，y)F(u，v)*G(u，v)

34第三十四页，共72页。8.Correlation2-Dcorrelationisdefinedas：CorrelationTheorems：

35第三十五页，共72页。9.AverageAverageof2Dimagef(x,y)isdefinedas：Letu=v=0,then:

36第三十六页，共72页。应用傅立叶变换需注意的问题在图像处理中，常以光强函数演示傅立叶谱。但许多图像的谱随着频率的增加衰减的很快，因此其高频成分变得越来越不清楚；另外，变换分量的动态范围一般比显示器的动态范围大得多，为了解决上述问题，对其谱显示以前作如下处理： 其中，k

是标度因子，一般1≤k≤40，通常k=1零频率分量F(0,0)是图像中的直流分量，在作处理时，一般去掉F(0,0)成分，处理完后，调节整体亮度对其进行补偿37第三十七页，共72页。应用傅立叶变换需注意的问题傅立叶变换需要计算复数，而不是实数。傅立叶变换的谱收敛性差，不利于图像编码的应用。主要原因在于，图像左右以及顶底之间的截然不连续性，结果产生许多大幅度、高空间频率的分量。傅立叶变换研究的是信号总体的频谱分布规律，是一种纯频率域的分析方法，无法给出信号在某一段时间其频率分布规律。这种分析方法适合于对平稳随机信号的分析。对于非平稳随机信号，则需要使用时频分析方法。38第三十八页，共72页。DiscreteCosineTransform（DCT） Transformkerneloftwo-dimensionalDCTis where Clearly,thekernelfortheDCTisbothseparableandsymmetric,andhencetheDCTmaybeimplementedasaseriesofonedimensionalDCTs.39第三十九页，共72页。DiscreteCosineTransform（DCT）ForwardtransformandInversetransformwhereu,v,x,y=0,1,2,…,N-140第四十页，共72页。DiscreteCosineTransform（DCT） ToenableanapplicationoftheconceptoftheDCYanditsrelationtotheDFTdiscussedearlier,considerthemodifiedbasisfunctiongdctmod(x,u)definedbelow Ascomparedtothe(unmodified)DFTbasisfunction Itcanbeseenthat,neglectingthescalingfactors,themodifiedDCTissimilarinformtotherealpartoftheDFT,butisnotidenticalduetotheextra2onthedenominatorofthecosargument.InfactwecanseethatthemodifiedDCTwouldbeidentical(againneglectingthescalingfactors)tothefirsthalf(i.e.fromu=0toN-1)oftherealpartofaDFTofsize2N.Henceitcanbeseen,asstatedearlier,thatDCTanalysisimpliesperiodicityofperiod2Npoints(foraDCTanalysisofanN-pointsignal).41第四十一页，共72页。TransformMatrixofDCTwhere：42第四十二页，共72页。TransformMatrixofDCT(N=8)43第四十三页，共72页。TransformMatrixofDCT(N=8)N=8;u=zeros(N,N);u(1,1:N)=1.0/sqrt(2.0);fori=2:Nforj=1:Nu(i,j)=cos((2*j-1)*(i-1)*pi/(2.0*N));endend

u=sqrt(2.0/N)*u;imagesc(u)colormap(gray);axisoff44第四十四页，共72页。BasisImagesofDCT(N=8)45第四十五页，共72页。ExampleofDCT[a,map]=imread('lena.bmp','bmp');subplot(1,2,1);J=dct2(a);imshow(log(abs(J)),[]);colormap(jet);

J(abs(J)<50)=0;K=idct2(J);subplot(1,2,2);imshow(K,[0255]);46第四十六页，共72页。ExampleofDCTimg=imread('lena.bmp','bmp');subplot(121)imshow(img);title('originalimage')dcimg=dct2(img);subplot(122)imshow(100*dcimg/dcimg(1,1));title('DCTcoefficients')47第四十七页，共72页。ExampleofDCT48第四十八页，共72页。ExampleofDCTN=8;I=imread('e:\cameraman.bmp');I=double(I)/255;N=16;dctm=dctmtx(N);mask=ones(N,N);imageDCT=blkproc(I,[NN],'P1*x*P2',dctm,dctm.');th=max(max(imageDCT))/80;index=find(imageDCT<th);imageDCT(index)=0;49第四十九页，共72页。ExampleofDCT%cont.newImage=blkproc(imageDCT,[NN],'P1*(x.*P2)*P3',dctm.',mask(1:N,1:N),dctm);index=find(newImage>1);newImage(index)=1;index=find(newImage<0);newImage(index)=0;figure;imshow(newImage);

50第五十页，共72页。ExampleofDCT51第五十一页，共72页。ExampleofDCTdctdemo52第五十二页，共72页。离散余弦变换的几点说明DCT变换避免了复数运算。由于图像矩阵是实数矩阵，那么它的DCT也是实数DCT是正交变换，其变换矩阵是正交阵，变换核是可分离的。DCT有快速算法DCT与IDCT具有相同的变换核，因此具有相同的变换矩阵，即正变换与逆变换公用同一个算法模块DCT具有更强的信息集中能力，能将最多的信息放到最小的系数上去。53第五十三页，共72页。TheWalsh-HadamardTransformTransformkernelofTwo-DimensionalDWTTransformkernelofTwo-DimensionalDHTWherebi(x)istheithnumberofbinarynumberxN=2n54第五十四页，共72页。TheWalsh-HadamardTransformThekernelmatrixofDHTcanbegeneratedfromtheblockmatrixformThesignchangecountiscalledsequency.Reordertherowstomakesequencyincreaseuniformlywithrownumber.ThisyieldsatransformDWTThesequencyofDWTincreasesuniformlywithrownumber,muchasfrequencyincreaseswiththeFourierkernel,whichissomewhateasiertointerpret.55第五十五页，共72页。TheWalshKernelmatrix(N=8)56第五十六页，共72页。ThebasisimagesofDWT(N=8)57第五十七页，共72页。TheHadamardkernelmatrix(N=8)58第五十八页，共72页。ThebasisimagesofDHT(N=8)59第五十九页，共72页。沃尔什-哈达码变换说明WHT变换是指包含+1与-1的方阵，变换阵的各行各列之间彼此是正交的。哈达码变换最大的特点是变换阵具有简单的递推关系，高阶阵可以由低阶阵求得。WHT的核是可分离的，变换阵是实元，运算只有加法，简单，变换有快速算法。WHT主要用于图像压缩WHT是非正弦类变换，运算时不需要乘法，在六、七十年代曾被推崇；到八十年代，DSP芯片的问世，以及具有优良性能的新变换的提出，使得正弦类变换无论是在理论价值还是应用价值方面都取代了非正弦类变换，从而在正交变换中占据了主导地位。60第六十页，共72页。TheHaarTransformTheHaartransformisasymmetric,separableunitarytransformationthatusesHaarfuncitonsforitsbasis.ItexistsforN=2n,wherenisaninteger.WhereastheFouriertransformbasisfunctionsdifferonlyinfrequency,theHaarfunctionsvaryinbothscale(width)andposition.ThisgivestheHaartransformadualscale-positionnaturethatisevidentinitsbasisfunctions.TheHaarfunctions61第六十一页，共72页。ThekernelmatrixfortheHaartransform(N=4)62第六十二页，共72页。ThekernelmatrixfortheHaartransform(N=8)63第六十三页，共72页。TheHaartransformbasisimages(N=8)64第六十四页，共72页。TheK-LTransform(Hotelling)TheK-LtransformisvariouslycalledHotellingtransform,theeigenvectortransform,orthemethodofprincipalcomponets.Supposeimageset：{f1(x,y),f2(x,y),…,fi(x,y),…,fL(x,y)}\Wherethecorrelationbetweenfi(x,y)iscommonlyratherhigh.fi(x,y)canberepresentedasN2-by-1vectorXi

xijisthejthrowofimagefi(x,y).

i=1,2,…,L65第六十五页，共72页。TheK-LTransform

ThecovariancematrixofvectorXisdefinedas,

Cf=E{(X-mf)(X-mf)T}Themeanvectormf

ismf=E{X}mfisN2-by-1

vector,CfisN2×N2matrix.Ingenerally,mfandCfcanberepresentedapp