行列式的性质与依行列展开

行列式的性质与依行列展开4/18/2023第1页，共63页，2023年，2月20日，星期二二阶行列式的计算主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积——对角线法则第2页，共63页，2023年，2月20日，星期二三阶行列式的计算——对角线法则注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.第3页，共63页，2023年，2月20日，星期二三阶行列式可用二阶行列式表示第4页，共63页，2023年，2月20日，星期二n阶行列式：由个数

组成数表称为数表所确定的n阶行列式4/18/2023第5页，共63页，2023年，2月20日，星期二在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．是一个算式.当n=1时定义D=|(a11)|=a11;当n≥2时定义

Da11A11a12A12

a1nA1nn阶行列式的“递推”定义第6页，共63页，2023年，2月20日，星期二全排列：把n个不同的元素排成一列即n个不同的元素一共有n!种不同的排法.对于n个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.逆序：当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个逆序.逆序数：排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.奇排列：逆序数为奇数的排列.偶排列：逆序数为偶数的排列.排列的逆序数通常记为.第7页，共63页，2023年，2月20日，星期二三阶行列式规律：三阶行列式共有6项，即3!项．每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．每一项可以写成（正负号除外），其中是1、2、3的某个排列.当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.第8页，共63页，2023年，2月20日，星期二n阶行列式的定义

n

阶行列式共有

n!项．每一项都是位于不同行不同列的

n

个元素的乘积．每一项可以写成（正负号除外），其中是1,2,…,n的某个排列.当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.简记作，其中为行列式D的(i,j)元第9页，共63页，2023年，2月20日，星期二例：计算行列式

对角行列式

第10页，共63页，2023年，2月20日，星期二

上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）

下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）第11页，共63页，2023年，2月20日，星期二思考题已知

，求的系数.12第12页，共63页，2023年，2月20日，星期二故的系数为－1.解含的项有两项，即对应于第13页，共63页，2023年，2月20日，星期二§1.2行列式的性质与依行列展开第14页，共63页，2023年，2月20日，星期二一、行列式的性质性质1

行列式与它的转置行列式相等.行列式称为行列式的转置行列式.

记第15页，共63页，2023年，2月20日，星期二=例如，设则说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.第16页，共63页，2023年，2月20日，星期二性质2

互换行列式的两行（列）,行列式变号.如：交换i,j

两行记为

交换i,j

两列记为

第17页，共63页，2023年，2月20日，星期二推论1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明：互换相同的两行，有例如4/18/2023第18页，共63页，2023年，2月20日，星期二性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.

第i

行(或列)乘以k,

记作rik(或cik)××第19页，共63页，2023年，2月20日，星期二我们以三阶行列式为例.记根据三阶行列式的对角线法则，有第20页，共63页，2023年，2月20日，星期二推论2

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．备注：第行（列）提出公因子，记作.推论3

行列式某行（列）元素全为零，则行列式为零。推论4

如果行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。第21页，共63页，2023年，2月20日，星期二性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如第22页，共63页，2023年，2月20日，星期二例如：则第23页，共63页，2023年，2月20日，星期二练习：注：如果n阶行列式的某一行（列）的每个元素均可表为两个数的和，则该行列式等于2n个行列式的和。4/18/2023第24页，共63页，2023年，2月20日，星期二性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．备注：以数乘第行（列）加到第行（列）上，记作.例如：则第25页，共63页，2023年，2月20日，星期二例１二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．第26页，共63页，2023年，2月20日，星期二解第27页，共63页，2023年，2月20日，星期二第28页，共63页，2023年，2月20日，星期二第29页，共63页，2023年，2月20日，星期二第30页，共63页，2023年，2月20日，星期二第31页，共63页，2023年，2月20日，星期二练习：第32页，共63页，2023年，2月20日，星期二解第33页，共63页，2023年，2月20日，星期二第34页，共63页，2023年，2月20日，星期二定理1

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或二.行列式的依行列展开第35页，共63页，2023年，2月20日，星期二例2计算行列式解按第一行展开，得或按第二行展开，得注：行列式按行（列）展开时，尽量选择零元素比较多的行（列）。第36页，共63页，2023年，2月20日，星期二例3计算行列式解第37页，共63页，2023年，2月20日，星期二第38页，共63页，2023年，2月20日，星期二练习第39页，共63页，2023年，2月20日，星期二三.特殊行列式的值1.上三角行列式：第40页，共63页，2023年，2月20日，星期二2.下三角行列式：第41页，共63页，2023年，2月20日，星期二3.对角行列式：第42页，共63页，2023年，2月20日，星期二4.5.第43页，共63页，2023年，2月20日，星期二6.注：数字元素行列式的计算常常化为主对角线上三角形行列式来计算，第44页，共63页，2023年，2月20日，星期二例4计算对角行列式四、应用举例第45页，共63页，2023年，2月20日，星期二例5

计算第46页，共63页，2023年，2月20日，星期二将第列都加到第一行，得第47页，共63页，2023年，2月20日，星期二例6

计算阶行列式解将第都加到第一列得第48页，共63页，2023年，2月20日，星期二第49页，共63页，2023年，2月20日，星期二例7

（箭形行列式）计算行列式第50页，共63页，2023年，2月20日，星期二第51页，共63页，2023年，2月20日，星期二练习计算阶行列式4/18/2023第52页，共63页，2023年，2月20日，星期二解4/18/2023第53页，共63页，2023年，2月20日，星期二注：对于形如...的所谓箭形（或爪形）行列式，可直接利用行列式性质将其一条边化为0，从而可根据三角形或次三角形行列式的结果求值。4/18/2023第54页，共63页，2023年，2月20日，星期二

证用数学归纳法例7证明范德蒙德(Vandermonde)行列式第55页，共63页，2023年，2月20日，星期二假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行减去前行的倍：按照第1列展开，并提出每列的公因子，就有第56页，共63页，2023年，2月20日，星期二n-1阶范德蒙德行列式第57页，共63页，2023年，2月20日，星期二练习：计算行列式计算解计算4/18/2023第58页，共63页，2023年，2月20日，星期二定理2行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证第59页，共63页，2023年，2月20日，星期二上式两边行列式都按第i行展开，得移项化简得同理可证列的情形。第60页，共63页，2023年，2月20日