选修42(00002)市公开课金奖市赛课一等奖课件

选修4-2矩阵与变换第一节平面上变换与矩阵第1页第1页第2页第2页1.线性变换相关概念普通地,假如变换T：P(x,y),P′(x′,y′)前后坐标之间关系含有下列形式:__________,也就是x′,y′都是x,y常数项为0一次函数，则称变换T为线性变换，写成形式._________第3页第3页_________2.矩阵相关概念(1)由4个数a,b,c,d排成2行2列数表_______称为2行2列矩阵，也称为2×2矩阵,通惯用大写字母A、B、C、…表示.(2)矩阵与列向量乘法：.第4页第4页【即时应用】(1)思考：2×2矩阵与列向量乘法规则是什么？提醒:2×2矩阵与列向量乘法规则是矩阵每一行系数与列向量两个变量分别相乘再相加得到一个新列向量.第5页第5页(2)=__________.【解析】答案：第6页第6页(3)已知，则=_______.【解析】由条件得,解得,从而答案：第7页第7页3.逆变换与可逆变换(1)逆变换若T：PT(P),则M：__________.若M:QM(Q),则T：_________.则称M为T逆变换，记作：M=_____.同样T也是M逆变换，记作：T=M-1.因此(T-1)-1=___，(M-1)-1=___.T(P)PM(Q)QT-1TM第8页第8页(2)可逆变换若变换T满足①平面上不同点被变换T变到_________；②变换T将平面变到_________，即平面上每一个点Q都是平面上某一点P_______，则称变换T为可逆变换，可逆变换一定有逆变换.不同点整个平面像T(P)第9页第9页【即时应用】若变换T是将平面内点逆时针旋转，则变换T-1相应矩阵为_______.【解析】由题意答案：第10页第10页4.常见变换相应矩阵(1)旋转变换绕原点O按逆时针方向旋转α角：(2)伸缩变换：在直角坐标系xOy内，①将每个点纵坐标变为本来k(k≠0)倍伸缩变换矩阵为②将每个点横坐标变为本来k(k≠0)倍伸缩变换矩阵为③将每个点横坐标变为本来k1倍，纵坐标变为本来k2倍(k1,k2≠0)伸缩变换矩阵为第11页第11页(3)反射变换关于直线Ax+By=0反射矩阵(4)位似变换位似中心为O，相同比为k，使矩阵为(5)投影变换平面到直线l：Ax+By=0投影变换矩阵第12页第12页【即时应用】(1)在平面直角坐标系xOy内，将每个点横坐标变为本来2倍，将每个点纵坐标变为本来倍，该变换相应矩阵为_______.(2)关于直线x-2y=0反射变换矩阵为_______.(3)函数y=在旋转变换作用下得到新曲线方程为_______.第13页第13页【解析】(1)由伸缩变换办法易得所求矩阵为(2)∵A=1，B=-2，∴第14页第14页(3)设新曲线上任意点(x′,y′),由得,从而代入y=得y′2-x′2=2,即新曲线方程为y2-x2=2.第15页第15页答案：(1)(2)(3)y2-x2=2第16页第16页热点考向1线性变换与矩阵【办法点睛】线性变换及其矩阵平面内线性变换都相应着相应二阶矩阵，而任何一个二阶矩阵都相应着相应线性变换，关键是要熟悉常见线性变换二阶矩阵，在此基础上才干灵活利用.

第17页第17页【例1】写出关于直线反射矩阵.【解题指南】代入反射变换矩阵公式，通过计算求矩阵.【规范解答】∵关于直线Ax+By=0反射矩阵为∴将直线方程变为x-3y=0，∴A=1，B=-3，第18页第18页∴关于直线反射矩阵为第19页第19页【互动探究】试写出平面到直线投影变换矩阵.【解析】∵平面到直线Ax+By=0投影变换矩阵为∴将直线方程化为x-3y=0，∴A=1，B=-3,∴平面到直线投影变换矩阵为第20页第20页第21页第21页【反思·感悟】1.依据本题可知，求线性变换矩阵关键是公式应用.2.在应用公式求线性变换矩阵时，尤其注意矩阵元素结构，不要代错.第22页第22页热点考向22×2矩阵与列向量乘法及其应用【办法点睛】2×2矩阵与列向量乘法应用办法设2×2矩阵A＝，点P(x，y)经2×2矩阵A相应变换作用下得到点P′(x′，y′)，三者满足关系式：常见问题设置是知道三者中两个求第三个，解题办法从主线上讲是同样，即列方程组求解.第23页第23页【例2】(·泉州模拟)二阶矩阵A相应变换将点(1，-1)与(-2，1)分别变换成点(-1，-1)与(0，-2)，求矩阵A.【解题指南】求矩阵A普通可用待定系数法，设出矩阵A后,利用矩阵与向量乘法列方程组求解.【规范解答】设A=由题意A即第24页第24页解得第25页第25页【反思·感悟】设矩阵A＝，点P(x，y)经矩阵A相应变换作用下得到点P′(x′，y′)，三者满足关系式：常见问题设置是知道三者中两个求第三个，解题办法从主线上讲是同样，即列方程组求解.第26页第26页【变式训练】向量a在矩阵A=作用下变为与向量平行向量且向量模为1，求a.【解析】设a=,则由条件得解得sinθ=cosθ,从而所求向量为a=或a=第27页第27页【变式备选】已知设α=a+b，β=a-b，求Aα,Aβ.【解析】由条件得从而第28页第28页热点考向3

线性变换与曲线方程【办法点睛】线性变换与曲线方程问题解题办法曲线C在矩阵A变换后得到曲线C′.这一变换过程通过公式

(*)拟定，常见设问及其处理办法有：(1)若已知曲线C方程，矩阵A，求曲线C′方程，则通过公式(*)表示出x，y，代入曲线C方程即得曲线C′方程.第29页第29页(2)若已知曲线C′方程，矩阵A，求曲线C方程，则由公式(*)直接将x′，y′代入曲线C′方程后即得曲线C方程.(3)若已知曲线C，C′方程，求矩阵A，则先设出矩阵A，再在曲线C上任取一点(x,y)，通过公式(*)代入曲线C′方程后得曲线C另一形式方程，再与曲线C方程比较系数，利用系数相等列方程组求矩阵A.

第30页第30页【例3】(·福建高考)设矩阵M=(其中a＞0，b＞0).若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所相应线性变换作用下得到曲线C′：，求a，b值.【解题指南】本题变换矩阵符合伸缩变换特性，求解关键是准确把握变换前后点坐标间关系，利用待定系数法列出方程组，即可获解.第31页第31页【规范解答】设曲线C上任意一点P(x,y)，它在矩阵M所相应线性变换作用下得到点P′(x′,y′).则即又点P′(x′,y′)在曲线C′上，因此则为曲线C方程.又已知曲线C方程为x2+y2=1，故，又a＞0,b＞0，因此第32页第32页【互动探究】在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在本例中矩阵M相应变换作用下得到曲线F，求F方程.【解析】由本例解析知M=设P(x0,y0)是椭圆上任意一点，点P(x0,y0)在矩阵相应变换作用下变为点P′(x′0,y′0),则有即，因此又由于点P在椭圆上，故，从而(x′0)2+(y′0)2=1,因此，曲线F方程是x2+y2=1.第33页第33页【反思·感悟】本题是已知变换之前和变换之后曲线方程，求变换矩阵问题．求解办法是设出变换之前和变换之后坐标，利用矩阵乘法建立关系，再利用变换前后曲线方程建立方程组.第34页第34页【变式备选】已知二阶矩阵M＝矩阵M相应变换将点(2,1)变换成点(4，－1).求矩阵M将圆x2＋y2＝1变换后曲线方程.【解