理学高等数学二

理学高等数学二第1页/共134页

导数(Derivative)是反映函数相对于自变量的变化快慢程度,微分(Differential)指明了当自变量有微小变化时引起函数变化的大小,它们是微分学(Differentialcalculus)的重要概念,在理论研究和生产实践中有着非常广泛的应用.在这一章里我们主要介绍导数和微分的概念和它们的计算方法.第二章函数的导数与微分绪第2页/共134页第一节导数的概念第二节函数的微分法第三节高阶导数第四节隐函数和参数方程求导第五节函数的微分第二章小结第二章函数的导数与微分目录第3页/共134页学习要点：1.函数在一点的导数和导函数的定义；2.左、右导数；3.导数的几何与物理意义。绪导数的概念是函数变化率概念的一个精确描述,是变量的变化速度在数学上的抽象,是研究函数各种性态的有效工具.1817年捷克数学家波尔察诺在他发表的论文《纯粹分析证明》中第一个把函数的导数定义为当自变量增量趋于零时,函数增量与自变量增量比值的极限,并引入了左右导数的概念。第一节导数的概念第二章函数的导数与微分第4页/共134页一、引例

导数是客观世界中许多自然现象在数量关系上抽象出来的概念.它源于对切线、极值和运动速度等问题的处理，如物体运动的瞬时速度,曲线的切线斜率,非恒稳的电流强度等都是导数的问题.第5页/共134页第6页/共134页

实例1

变速直线运动的瞬时速度.

设某质点沿直线作变速运动,其运动方程为s=f(t),求质点在t0时刻的瞬时速度.设质点于时刻t在数轴上的位置的坐标为s,取从时刻t0到t0+Δt这样一个时间间隔，在这段时间内质点的平均速度为于是质点在时刻t0的瞬时速度为第7页/共134页实例2

曲线的切线斜率设曲线的方程为y=f(x)

,在点M(x0,y0)处的附近取一点N(x0+Δx,y0+Δy)，那么割线MN的斜率为当点N沿曲线趋向M时，割线

在M点处的切线，此时的切线MN的极限位置MT就曲线上斜率为第8页/共134页二、导数定义

1.定义1:设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,

当自变量在x0处取得增量Δx(x0+Δx)点仍在该邻域）时，相应地函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),若极限存在，则称函数f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数在点x0

处的导数(derivative),记为即第9页/共134页变速直线运动的瞬时速度:曲线的切线斜率:2.定义1的等价形式：第10页/共134页3.左、右导数:函数在点x0处的导数是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，记这两个极限分别称为函数f(x)在点x0处的左导数(leftderivative)和右导数(progressivederivative)，函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是f(x)在点x0处左导数和右导数都存在且相等。第11页/共134页4.导函数的定义:如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都可导，则称函数y=f(x)在区间I内可导。此时，对任何点x∈I都对应一个导数值这一对应关系确定了一个新的函数称为函数y=f(x)的导函数简称导数记作5.求导数的步骤：(1)求增量(2)算比值(3)求极限第12页/共134页例1解例2.

求函数解:对一般幂函数(为常数)第13页/共134页例3解特别地例4解特别地第14页/共134页例5解类似可证得第15页/共134页例6解第16页/共134页三、导数的几何意义与物理意义1.几何意义切线方程为法线方程为第17页/共134页例7

求曲线在点（1，1）处的切线和法线方程。解所以切线方程为所以法线方程为第18页/共134页例8解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为第19页/共134页*练习：问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线第20页/共134页2.物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.交流电路:电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.第21页/共134页四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:

设在点x

处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x

连续

.注意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,但不可导.即第22页/共134页内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;第23页/共134页学习要点：1.四则运算求导法则；2.复合函数求导法则；3.导数基本公式。绪求导数的方法称为微分法。用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。第二节函数的微分法第二章函数的导数与微分第24页/共134页一、四则运算求导法则

定理1:的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x

可导,且则推论:(C为常数

)第25页/共134页

解

例1

例2

y=ex

(sinx+cosx)求y

=2excosx

解

y=(ex)(sinx+cosx)+e

x

(sinx+cosx)=e

x(sinx+cosx)+e

x(cosx

-sinx)

例3

ysecx

求y

第26页/共134页例3解第27页/共134页二、反函数的求导法则

定理2：

y

的某邻域内单调可导,

证:在

x

处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知

因此则第28页/共134页

例5

求(arctanx)及(arccotx)

解

因为y=arctanx是x=tany的反函数所以

例4

求(arcsinx)及(arccosx)

解

因为y=arcsinx是x=siny的反函数所以第29页/共134页在点x

可导,三、复合函数求导法则定理3：在点可导.复合函数且在点x

可导,证:在点

u

可导,故（当时)故有则第30页/共134页

例6

例7.

求下列导数:

解:

(1)(2)

解

函数212sinxxy+=是由y=sin

u

,

212xxu+=复合而成的,

因此dxdududydxdy=

第31页/共134页

例8

例9

解

解

第32页/共134页四、基本求导法则与导数公式

1.常数和基本初等函数的导数第33页/共134页2.导数的四则运算法则(C为常数

)4.复合函数求导法则3.反函数求导法则

第34页/共134页例10.

求解:由于例11.设解:求第35页/共134页例12.

求解:第36页/共134页例13.

若存在,求的导数.这两个记号含义不同第37页/共134页例14解第38页/共134页本节小结注意:分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.反函数的求导法则（注意成立条件）;复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.关键:正确分解初等函数的复合结构.第39页/共134页学习要点：1.高阶导数的定义；2.高阶导数数的求法；3.特殊函数的n阶导数。第三节高阶导数第二章函数的导数与微分第40页/共134页一、高阶导数的概念速度即加速度即引例：变速直线运动第41页/共134页定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n

阶导数

,或的二阶导数

,记作的导数为依次类推,分别记作则称第42页/共134页所以y3y10

证明

例1

证明:

函数22xxy-=满足关系式013=+¢¢yy.

第43页/共134页设求解:依次类推,例2.思考:

设问可得第44页/共134页例3.设求解:特别有:解:规定

0!=1例4.

设求第45页/共134页例5.设解:

一般地,类似可证:第46页/共134页二、高阶导数的运算法则都有n

阶导数,则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数第47页/共134页例6.求解:设则代入莱布尼兹公式,得第48页/共134页(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法——利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法如,第49页/共134页例7.如何求下列函数的

n

阶导数?解:

解:

(3)解:第50页/共134页学习要点：1.隐函数求导方法；2.取对数求导法；3.参数方程所确定的函数求导法。第四节隐函数和参数方程求导第二章函数的导数与微分第51页/共134页一、隐函数的导数显函数与隐函数

形如yf(x)的函数称为显函数

例如

ysinx

ylnxex

都是显函数

由方程F(x

y)0所确的函数称为隐函数

把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化

例如方程xy310确定的隐函数为隐函数的求导法

把方程两边分别对x求导数然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出.第52页/共134页

例1

求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数

(ey)(xy)(e)(0)

即

eyyy+xy0

方程中每一项对x求导得

解

例2

求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在

x0处的导数y|x0

因为当x0时从原方程得y0所以5y4y2y121x60方程两边分别对x求导数得

解

第53页/共134页例3.求椭圆在点处的切线方程.解:

椭圆方程两边对

x

求导故切线方程为即第54页/共134页

解

上式两边再对x求导得

的二阶导数

例4

方程两边对x求导得

．求由方程0sin21=+-yyx所确定的隐函数y

于是

ydxdycos22-=.

第55页/共134页y

f(x)[lnf(x)]

对数求导法适用于求幂指函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数

此方法是先在yf(x)的两边取对数然后用隐函数求导法求出y的导数

设yf(x)两边取对数得lnylnf(x)

两边对x

求导得对数求导法第56页/共134页

例5

求yxsinx

(x>0)的导数

解法二

这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.

解法一

上式两边对x

求导得

两边取对数得

lnysinxlnx

yxsinxesinx·lnx

于是)1sinln(cosxxxxyy+×=¢

第57页/共134页上式两边对x求导得

说明

严格来说本题应分x4

x12x3三种情况讨论

但结果都是一样的

例6

先在两边取对数得

解

求函数)4)(3()2)(1(----=xxxxy的导数.

于是)41312111(2-----+-=¢xxxxyy.

第58页/共134页

设xj(t)具有反函数tj-1(x)且tj-1(x)与yy(t)构成复合函数yy[j-1(x)]若xj(t)和yy(t)都可导则二、由参数方程所确定的函数的导数

设y与x的函数关系是由参数方程îíì==)()(tytxyj确定的.

即

)()(ttdxdyjy¢¢=或dtdxdtdydxdy=.

第59页/共134页

解

例7求椭圆îíì==tbytaxsincos在相应于4

p=t点处的切线方程.

所求切线的斜率为abdxdyt-==4p.

切点的坐标为224

cos0aax==p,

切线方程为)22(22axabby--=-,

即

bx+ay2-ab

=0.

第60页/共134页容易漏掉第61页/共134页的函数yf(x)的二阶导数

解

(t2np

n为整数)

例8．计算由摆线的参数方程îíì-=-=)cos1()sin(tayttax所确定

第62页/共134页

三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对

t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率第63页/共134页例9解4000m水面上升之速率第64页/共134页例10.

一气球从离开观察员500m

处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为500m

时,观察员视线的仰角增加率是多少?解:设气球上升t

分后其高度为h,仰角为

,则两边对t求导已知

h=500m时,第65页/共134页本节小结隐函数求导法则:直接对方程两边求导;对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:

通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.第66页/共134页学习要点：1.函数的微分定义；2.微分基本公式；3.微分运算法则；4.微分在近似计算中的应用。第二章函数的导数与微分第五节函数的微分第67页/共134页一、微分的概念

引例:

一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?

设薄片边长为x,面积为A

,则面积的增量为关于△x

的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x在取得增量时,变到其第68页/共134页的微分,定义:

若函数在点

的增量可表示为(A

为不依赖于△x

的常数)则称函数而

称为记作即定理:

函数在点可微的充要条件是即在点可微,第69页/共134页

例1

求函数yx2在x1和x3处的微分

dy(x2)|x1Dx2Dx

函数yx2在x3处的微分为

dy(x2)|x3Dx6Dx

例2

求函数

yx3当x2

Dx

002时的微分

解

函数yx2在x1处的微分为

解

先求函数在任意点x

的微分

dy(x3)Dx3x2Dx

再求函数当x2

Dx

002时的微分

dy|x=2,Dx=0.02=3220.02=0.24=3x2|x=2,Dx=0.02第70页/共134页

当|Dx|很小时

|Dydy|比|Dx|小得多

因此在点M的邻近我们可以用切线段来近似代替曲线段

Dy是曲线上点的纵坐标的增量;dy是过点(x0f(x0))的切线上点的纵坐标的增量.

当x从x0变到x0+Dx时二、微分的几何意义则有从而导数也叫作微商自变量的微分,记作记MT）PN第71页/共134页d(xm)mxm1dx

d(sinx)cosxdx

d(cosx)sinxdx

d(tanx)sec2xdx

d(cotx)csc2xdx

d(secx)secxtanxdx

d(cscx)cscxcotxdx

d(a

x)ax

lnadx

d(e

x)exdx

(xm)mxm1

(sinx)cosx

(cosx)sinx(tanx)sec2

x

(cotx)csc2x

(secx)secxtanx

(cscx)cscxcotx

(a

x)ax

lna

(e

x)ex微分公式:

导数公式:

1.基本初等函数的微分公式三、微分的基本公式和运算法则第72页/共134页微分公式:

导数公式:

第73页/共134页2、微分的四则运算法则设

u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)分别可微,的微分为微分形式不变3.复合函数的微分则复合函数第74页/共134页

在求复合函数的导数时可以不写出中间变量

例3

ysin(2x1)求dy

2cos(2x1)dx

cos(2x1)2dxcos(2x1)d(2x1)dyd(sinu)cosudu

解

把2x1看成中间变量u

则

例4

解

第75页/共134页例5.

设求

解:

利用一阶微分形式不变性,有例6.

在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意:数学中的反问题往往出现多值性.第76页/共134页四、微分在近似计算中的应用1.函数的近似计算

当很小时,使用原则:得近似等式:第77页/共134页特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得第78页/共134页的近似值.解:

设取则例7.

求解:例8.

计算第79页/共134页例9.

有一批半径为1cm的球,

为了提高球面的光洁度,解:

已知球体体积为镀铜体积为V

在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克

.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,第80页/共134页2.误差估计

某量的精确值为

A,其近似值为

a,称为a的绝对误差称为a的相对误差若称为测量

A的绝对误差限称为测量

A的相对误差限第81页/共134页误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算

y

值时的误差故y

的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得

x,第82页/共134页例10.

设测得圆钢截面的直径

测量D的

绝对误差限欲利用公式圆钢截面积

,解:计算A的绝对误差限约为

A的相对误差限约为试估计面积的误差

.计算(mm)第83页/共134页本节小结★微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题导数的概念函数的增量问题微分的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.★导数与微分的联系:第84页/共134页★导数与微分的区别:第85页/共134页近似计算的基本公式第86页/共134页导数基本公式求导法则高阶导数微分关系高阶微分第二章小结第87页/共134页1、导数的定义单侧导数左导数，右导数，可导的充要条件2、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）常、反、对、幂、指、三、双曲——18个公式3、求导法则第88页/共134页(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则——注意不要漏层(4)对数求导法——注意适用范围(5)隐函数求导法则——注意y的函数的求导(6)参变量函数的求导法则——注意不要漏乘4、高阶导数(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)方法：逐阶求导第89页/共134页5、微分的定义微分的实质6、导数与微分的关系7、微分的求法基本初等函数的微分公式8、微分的基本法则

函数和、差、积、商的微分法则

微分形式的不变性——复合函数的微分法则第90页/共134页第91页/共134页此法则可推广到任意有限项的情形.证:

设,则故结论成立.例如,返回第92页/共134页证:

设则有故结论成立.推论:(C为常数)返回第93页/共134页定理

:

函数证:“必要性”

已知在点可微

,则故在点的可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即第94页/共134页定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导,则第95页/共134页区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,第96页/共134页称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.第97页/共134页三、数列的极限播放第98页/共134页三、数列的极限第99页/共134页三、数列的极限第100页/共134页三、数列的极限第101页/共134页三、数列的极限第102页/共134页三、数列的极限第103页/共134页三、数列的极限第104页/共134页三、数列的极限第105页/共134页三、数列的极限第106页/共134页三、数列的极限第107页/共134页三、数列的极限第108页/共134页三、数列的极限第109页/共134页三、数列的极限第110页/共134页一、自变量趋向无穷大时函数的极限第111页/共134页一、自变量趋向无穷大时函数的极限第112页/共134页一、自变量趋向无穷大时函数的极限第113页/共134页一、自变量趋向无穷大时函数的极限第114页/共134页一、自变量趋向无穷大时函数的极限第115页/共134页一、自变量趋向无穷大时函数的极限第116页/共134页一、自变量趋向无穷大时函数的极限第117页/共134页一、自变量趋向无穷大时函数的极限第118页/共134页一、自变量趋向无穷大时函数的极限第119页/共134页证因为所以取则当时,有记则定理2获得证明.定理2

（函数极限的局部有界性）如果则存常数M>0和δ>0,使得当时,有|f(x)|≤M.返回第120页/共134页定理3

（函数极限的局部保号性）如果而且A

>0(或A<0),则存在常数δ>0,使得当时,有