八个有趣模型-搞定空间几何体的外接球与内切球

1POPONO1MEF八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解及例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享.不当之处，敬请大家批评指正.一、有关定义1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫球面，简称球.2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关知识与方法性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面(类比：圆的垂径定理)；面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；，两相交弦的中垂线交点是圆心).DDO2B1cOAaO1BADCb初图1初图22．结论：结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线(外接圆直径)是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理(解三角形求线段长度)；三、内切球的有关知识与方法1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.(与直线切圆的结论有一致性).2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.(类比：与多边形的内切圆).3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.2PcCbaBAPcAPcCbaBAPcACaBbPcCBabA(1)构造三角形利用相似比和勾股定理；(2)体积分割是求内切球半径的通用做法(等体积法).四、与台体相关的，此略.五、八大模型第一讲柱体背景的模型类型一、墙角模型(三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径)PPcCbaBA方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2=a2+b2方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2=a2+b2+c2，即2R=例1(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()(2)若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是(3)在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM」MN,若侧棱SA=23,则C解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图(3)-1，SCACEHEDBSMCACNB3球的表面积为()33(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是(6)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、对棱相等模型(补形为长方体)第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；Axzz(a2+b2=x2xCb+c2=y2亭(2R)2=a2+b2+c2=x2+y2+z2，Bab11cabcA_BCD63.288球的表面积为.4BBAADC(1)题图球的表面积为.(3)正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为(4)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.类型三、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)C1FF1B1OCEOAEO1BC1A1BB2OCABOAB1C1FAF1O2B1OCEAOEA1B题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是三角形)11第二步：算出小圆O的半径AO=r，OO=AA=h(AA=h也是圆柱的高)；11121211122例3(1)一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，59且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为81球的表面积等于.爪31111球的表面积为.第二讲锥体背景的模型类型四、切瓜模型(两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法)PPOBACPPOBACPPOOACB1PPABC锥的顶点.11OAOrPO=h(也是圆锥的高)；1111rRPAr11116(2)正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为(3)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是()33433333433接球的体积为()4ABC.4D.33(5)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2，则此棱锥的体积为()226336223222类型五、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)CCDOBPA俯视图俯视图r111abc1sinC径算法：利用正弦定理，得===sinC第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2=PA2+(2r)2一2R=PA2+(2r)2；OORrOO11顶点.PPPOOCOD1BAAAOABOBBCPCCPPPAO2DOBPACBCBOPAO2BOD图5-7图5-811第二步：先算出小圆O的半径AO=r，再算出棱锥的高PO=h(也是圆锥的高)；1111方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.例5一个几何体的三视图如图所示，则该几A．332222正视图772222侧视图何体外接球的表面积为8D．以上都不对第三讲二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)A'ODHD2H1CEACEB一步：先画出如图6所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和ABD的外心H和H；12第二步：过H和H分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OE,OC；12111注：易知O,H,E,H四点共面且四点共圆，证略.2ACABC表面积为33C面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为的平面角的大小为120o，则此四面体的外接球的体积为类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型PBCOAA1连接OP,OC，则OA=OB=OC=OP=AB，：O为三棱锥PABC外接球球心，然后在OCP中2求出半径)，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.则四面体ABCD的外接球的体积为()12512512512512963的外接球的表面积为第四讲多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题CH1第二步：求DH=BD，PO=PHr，PD是侧面ABP的高；39PEOCACDHDBOEPO第三步：由P