数学逻辑gct系统讲义

PAGE2 PAGE2 第一部第一章第一数及其运一、实数的分 有理数

整数

(nZ 两个相邻整数必为一奇一偶.2是偶数以外，其余质数均为奇数，任何一个合

n(nZ.mZm

二、实数的基本性若a、bababab中有且只有一个关系成立若aa2≥0成立讨论一下实数的乘方和开方运算（1）当实数a≠0a0=1ana在实数范围内，负实数无偶次方根：0是偶次方根是0a们互为相反数，其中正的偶次方根称为算术根.a＞0a的平方根是a的自述平方根

a，其 nmamm

5记作a，它的小数部分记作b，则a1等于 5bA. B.- C. D.-1例

2

A.

(11)(11)(11)(1例3： 的值是（ 0.10.20.30.40.5

例4：比较a ，b ，c 的大小 A.cb

B.bc

2C.ab2

D.ba5xy是有理数，且(x

2y)26

，则x23y2 A. B. C. D.6岁，则他们的之和为 ）.【2010年MBAA. B. C. D.第二节绝对值和平均一、实数的绝对aa表示a,当a0a0，当a0实数a的绝对值的几何意义：数轴上表示数a的点A到原点O的距离，如图所|a|=｜OA｜|a |a|=|a （3）-|a|≤a≤|a（4）|x|＜aa＜x＜|x|axaxab≤|a|+|b a、bab≥|a|-|b 当且仅为a、bx重 xx

x1,xxx经典例题y例1xy12xy)20；求logxy（1）｜x-（2）｜x-｜x-例3：已知｜x-a｜≤1，｜y-x｜≤1，则有 A.｜y-a B.｜y-a C.｜y+a D.｜y+a例4

35xx的取值范围5x2x5x2x例5：若3x+｜x-2｜＜a的解集是空集，则a的取值范围为 A.a B.a C.a D.a例6：如果方程xax1有一个负根，那么a的取值范围是 ）.【07年试题A.a

B.a

C.a

D.ax2例7：已知实数a，b，x，y满足y |1a2和|x2|y1b2，x23xy3ab ）.【2009年 A. B. C. D. E.8y1x

的图像是 【2009年MPAccA.C.D.二、平均定义1：有nx1x2x3xn.x1x2x3xn x1nn为这个数的算术平均值，记做n

i定义2nx1x2x3xn.nnx1x2x3xnnxinxin经典例题13、8、9例2：设变量x1，x2， ，x10的算术平均值为x，若x是固定值，则xi(i1,2, ,10)中可以 A. B. C. D. 1A. 4

D. 均成绩为78分.该车间有女工（）人.A. B. C. D.20%，则女同学的平均成绩（）分.A. 生的平均成绩比及格线少25分，而全体考生的平均成绩为60分，则该校规定的及格分数线为（）分. PAGE8 PAGE8 第三节比和比定义1a、b相除又可称做这两个数a与bab，即ab＝ababa除以bkkab的比值.a：bkaa：bma:mb(m原值为ap现值a(1pap%现值a(1p

甲-乙p乙

甲乙p定义2ab和cda、b、cdabcda=cad叫做比例外项、b和c叫做比例内项 a：bb:c时，称ba和ca、b、c均为正数时，b是a和c的比例的基本性质a:b=ca:b=c重要定理

daddd:bc:a:cb:aca acb acabc acabc a a合分比定理： m

b baceace bd a 增减性：若1，

(mb a 若0 1，

(m正反比例

b 定义3ykx(kok为常数），yxk为比例系数yk(kok为常数），yxk为比例系数x经典例题的20％，男士的15％离场，则此时在场的与男士人数之比为（ 【2010年MBAA. B. C. D. E.例2：两个相似三角形△1与△2的对应中线之比为3：2，若△1的面积是a+3，△2的面积是a-3，则a的值为（ A.

D.例3y=y1-y2y1与x2

y2

x

x=1y12x=0时，y=3,那么y可用x来表示的式子是 2

x2 y2

x

y

x

y x2 x

y x2 x12到的款数为 ）万

:1:3

a bm＞

a bm=

a bm＜

a bm

第二 整式和分第一 整定义1：在有理式中没有除法运算或有运算但除式中不含字母的式子叫做整式（1）（2）(a2ab4aba2b2a2ab4aba2b2b2（1）(a2b)(a22ba42a2ba2b2b2a4a2b常用的乘法(ab)2a22ab

(ab)(ab)a2abb2(ab)3a33a2b3ab2 a3b3(aabb2(abc)2a2b2c22ab2bc对于一个变量的多项式f(x)axnaxn1 x

，如果a0，则称其为n 多项式.零次多项式就是只有常数项的单项式.f(x0，则称其为零多项式，不规定次数，记作f(x)0.定理：f(xg(x)（g(x)不是零多项式多项式Q(x)R(x)，使得f(x)Q(x)g(x)R(x).其中，R(xg(x)R(x为零多项式.满足上式的Q(x)R(x是唯一的，分别称为f(x)g(x)得到的商式和余式.f(x)4x35x23x8g(x)x22x1的商式和余式解：用竖式做除法，类似于多位数除法得商式Q(x)4x3R(x)x即4x35x23x84x3)(x22x1x5R(x0f(xQ(x)g(xf(xg(x)整除.整式f(x)除以xa的余式为R(x)，则f(x)(xa)g(x)R(x)，当xa时，有R(a)

f(a成立把整式化为若干个其他的整式之积的运算称为因式分解将和的平方和差的平方等号的左、右反过来写，就是一组常用的因式分解二次式的因式分解，除了可用平方和（差）外，还可以用十字相乘法.x2pq)xpq(xp)(xq)acx2(adbc)xbd(axb)(cxd如果知道了方程ax2bxc0的两个根是x和x，则有因式分 ax2bxca(xx)(xx 对于三次因式的因式分解，可用和的立方、差的立方、立方和以及立方差.对于一元次的实系数多项式：axnaxn1 x （其中a0，a1 1，（1）2（1）2x312x2y2（2）9ax29bx2a（2）3x22x（4）x3x2x2Px2Px99）.【2005年A.(x9)(x B.(x9)(x C.(x9)(x D.(x9)(x 例3：已知x3，则x5 的值是 A. B. C. D.例4：已知ab1，且满足2a22008a30和3b22008b20，则 A.A.3a2b B.2a3b C.3a2b5f(xx3a2x2ax1x1除余2a（D.2a3bB.1或 C. D.1或例6：多项式f(x)x3a2x2ax1被x1整除，则实数a（ 或 B. C. D.2或例7：在实数范围内，将多项式(x1)(x2)(x3)(x4)120分解因式，得 A.(x1)(x6)(x25x B.(x1)(x6)(x25xC.(x1)(x6)(x25x D.(x1)(x6)(x25x例8：f(x)x4x33x24x1和g(x)x3x2x1的最大公因式是 A.x B.x C.(x1)(x D.(x1)(x29f(xx3px2qx6x1x3f(x2次因式是 A.x B.x C.x D.x10f(xx32x2axbx2x2的余式为2x1ab的值是A.a1，b B.a3，bC.a2，b D.a1，b. 第二 分1：ABB中含有字母，则称

A为分式B定义2：分子和分母没有正次数的公因式的分式，叫做最简分式（既约分式一、分式的基本性x2 x4 3x6 x4 2(x

x

3x 3(x 3(x 3(x 2 xy 22x2

x

(xy)(x

y(x经典例

20102008

）.【2009年(13579A. B. C. D.a2b

，3 3

，7 7

5 5

）.【2008年

D.3

为 1x2201x1x2201x

x25x x27x

(x1)(x

(x1)(x

(x1)(x

(x1)(x4x1x2

x x23x

mx

x

，则 ）.【2007年m2，n

m3，n

m2，n

Dm3，n例5：有一正的既约分数，如果其分子加上24，分母加上54后，其分数值不变，那么此既约分 A. B. C. D.1111111111111111 2 3 4 5 6 7 8 9例6： 0.10.20.30.40.50.60.70.8 第三章方程与不等第一节方程和方程一、一元一次方程和它的解任何一个含一个未知数且未知数最高次数为1XXX的方程均可通过同解变换化为如下形式axb0(a0)称这种形式为一元一次方程的一元一次方程的解法axb(a0xa二、二元一次方程a1xb1y形如axby

a与b不同时 2 二元一次方程组是由两个二元一次方程组成的.这两个二元一次方程的公共解就是这个二二元一次方程组的解法ax2bxc0(a0对于一元二次方程

bxc0x

bb b2

4ac

b24ac称为一元二次方程的根的判别式，记为△，即△＝b24ac一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理设方程ax2bxc0(a0)x1x2,x

b,xxc 经典例题

1 （1）lg(x211x8)lg(x1)

（2）2x22x3

3例2：方程x22006x2007所有实数根的和等于 ）.【2006年A. B. C.

xax1(x6)无解，则a的值是 B.

C.

D.1例4：已知a为正整数，且关于x的方程lg(42x2)lg(ax)1有实数根，则a等于 B.1或 C. D.2或例5：已知实数x和y满足条件(xy)991和(xy)1001，则x101y101 A.

B. C. D.6A，B50千米/1千米/时.A，B3是 ）千米

50千米时与乙车相遇.A，BA. B. C. D.例7：李先生以一笔投资于甲、乙两个企业，若从对甲企业的投资额抽回10%，从对乙企业和10%，则总投资额减少130万元.问李先生这笔有多少万元？9

.16小时后，甲、乙两车在途中相遇.6305千米.向甲、乙两车速度各为多少（千米/小时B例9x1x2x23x10x （1）x2x （2） （3）x （4）|xx A. B. C. D.例11：x22xc0的两根之差的平方等于16，则c 212a与b2

3x1

a a

C.

第二 不等式和不等式”连接的数学表达式，称为不等式.axbx的集合叫做开区间，记为（ab）axbx的集合叫做闭区间，记为ab]axbaxbxab）或（ab]； 二、不等式的性abbc，则acabacbcabc0acbcabc0acbcabab011 ab0dc0abadbc nnab0，则anbn （n为大于1nn三、一元一次不等式（组）及其解axba 或axba将所给一元一次不等式化为后，不等式两边同除以未知数x的系数a注意：当a＞0时，不等号不变向；当a＜0时，不等号改变方向分别求出组成不等式组的每个一元一次不等式的解集后，求这些解集的交集一元二次不等式的为ax2bxc＞0(a

ax2bxc＜0（a注意：一元二次不等式的中，二次项系数为正将所给一元一次不等式化为后依表最后一行即开口向上的抛物线yax2bx(a＞0)的不同位置求解△b2b b2x1,2 (x1x2ax2bxc=0(a＞0)的根xx ax2bxc(,x1)(x2(x＜x)(x＞x21(,b)(-b) xR且，xb 2a(a(实数集ax2bxc(x1,x2(ax1xyax2bxca＞0)五、含有绝对值的不等式的关键是化去式中的绝对值符号，常用的方法有f(x)aaf(x)a

f(x)af(xa

f(x)

f(x)2f

f(x)

f(x),f(x)f(x),f(x)经典例例1：x2x60的解集是 (,

(3,

(2,

(,(2,例2：已知不等式ax22x20的解集是1,1，则a（ ）.【2006(2, 32A.

B. C. D.例3：已知2x25xc0的解为1x3，则c为 ）.【2001 2 B.

例4：满足不等式(x4)(x6)30的所有实数x的集合是 ）.【2005年4,

(4,

C.,

(,例5：若2x2bxc0的解集是 2,，则b ，c 【2009年MPAcc ）.【2004年在区间(30ln3xC.在区间0ln3xln(3

在区间(30ln3xln(3在区间0ln3xln(3例7：当x(2,2)时，ax2，a的取值范围是 (1,

(22

(1,(1,

2(1,2)(1,2)8x的一元二次方程8x2m1)xm70m范围是 m

m

m

m第四章第一 数列的基本概定义1：a1a2 an ann项（第一项也称首项若数列的项数是有限的，则称它为有穷数列，否则称为无穷数列，数列通常记为n.如是含有n项的有穷数列，可写为1，a2， ，an.无穷数可写成1，a2， ，an， 。当一个数列annan与项n之间的函数关

anf(n个叫做数列的通项 例如：若数列为1，2，4，8 ，则此数列的通 为an2n1n 是an2n1，n1，2，，7，则数列an中的各项是3，5，7，9，n定义2：数列的前n项和是指Sna1a2 an，用求和记号为Snakk k n如果无穷数列当n时的前n项和的极限存在，即 aS，则称S是数列 nk各项和n1

Sn2

S

.即

a1S1,n1 经典例

S S

,n1：数列an的前n项和

n22n5

an3例2：已知下列数列an的前n项和Sn ，求an的通 nn（1）S3n2 （2）S32nnn第二 等差数做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差.记做d.即an是等差数列an1and（常数），d为等差数列an的公差aAbAa与bAab2通项：aa(n1)d；a

(n

danam

n前n项和：

n(a1an)；

n(n d2常数列c1，c2，c3 是公差为d0的等差数列等差数列anmnpq，则amanapaq若Sn是等差数列an的前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n 仍成等差数列经典例题1：已知数列an的前n项和

4n2n，那么下面正确的是 A.an是等差数

an

C.an2nD. E.2：等列数列{an（1）若a2a3a10a1148a6a7S12（2）S530S10120求S15例4：若6，a，c成等差数列，且36，a2，c2也成等差数列，则c 【2006年A.

C.3或

D.6 ）.【2008 A. B. C. D.例6：一个等差数列an的前6项和为S648，在这6项中，奇数项与偶数项之和的比为7：9，则公差d的值为（ B. C. D.第三节等比数定义2q.即a是等比数列

q（常数ananq为等比数列an的公比.等比数列的一般表达形式为2...，a 1通 ：ana (nN)1a、G、b三者成等比数列，那么Ga、b的等比中项，且有G2ab或G 前

项和

a(1qnS 1

Sa1 1

(q

c，c，c...(c0q1Snnc无穷等比数列an的公比为q，若q1，则该数列的各项和S

a11Sn是等比数列an的前n项和，则SnS2nSnS3nS2n,仍成等比数列经典例例1：等比数列ana4a7512a3a8124,且公比qZ（整数集），求a102：7个数排成一排，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且奇数项的和与偶数项的积的4227，求中间项. 3：已知数列anS3

，则这个数列是 A.等差数 B.等比数 C.既非等数列，又非等比数 D.既是等差数列，又是等比数列

a3a13在等比数列an中，已

a2a42a3a5a4a625，求a3a5的值例5（1）(11)(21)(31)(n1 （2）1(1a)(1aa2)(1aa2an1例6：在右边的表格中，每行为等差数列，每列为等比数列，则xyz ）.【2010年MBA527

C. E.27abcacbabB. C. D.8：设n1与n1nn2n个正数之积等于 ）.【06年试题n

【2009年GCTA. B. C. D.例10：若实数a，b，c，d满足c0，d0，a，b，c成等比数列，b，c，d成等差数 ）.【2009年MPAcc】a

b

0a

a第五章排列组合与概率初第一 排列组一、两个基本原做一件事，完成它有nm1种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共Nm1m2

种不同的方法nmn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1·m2...

种不同的方法二、排列与排列排定义1：从nm（mn）个元素，按照一定的顺序排成的一列，叫做nm个元素的一个排列.显然，含有相同元素，且元素排列顺序完全相同的两个排列是同一个排列m个元素的排列数，用符号Pm(或Ammn时，即从nn nnn！表示。nPmn(n1)(n2)(nmn nPmn

(nnPnn注意：n！=1×2×3……× 三、组合与组合组定义2：从n个不同元素中，任取m（mn）n个不同元素中m个元素的一个组合.显然，含有相同元素的两个组合是同一个组合nm（mn）nnm个元素的组合数，用符号Cm表示nnnC01显然Cn1nn组合数如下

Cmn(n1)(n2)(nmnnCmn

m!(nm)!四、二项式 定义：(ab)nC0anC1an1bC2anb2 Cnbn，这个等式叫做二 （1） （2）C0C1C2 Cn

Cranrbrnn（1）C0Cn，C1Cn1，C2Cn2 ，CkCnk nn大，为C2n

n和2

n2

等并且最大，为Cn

Cn2经典例题例1：从0，1，2，3，5，7，11这7个数字中每次取两个相乘，不同的积有 】A. B. C. D.

1999例2：将4封信投入3个不同的邮箱，若4封信全部投完，且每个邮箱至少投，则共有投 ）种.【2001年】A. B. C. D.例3：有两排座位，前排6个座位，后排7个座位，若安排2人就座，规定前排中间2个座位不能座，且此2人始终不能相邻而坐，则不同的座法种数为（ 【2008年A. B. C. D. ）种.【2010年】A. B. C. D.例5：欲从5种A和4种B中选购3种，其中至少有2种A的选购方法共（A.40 B.50 C.60 D.65个次品的抽取方法共有 ）种C1C

C1C

C1C2+C

C1C3+C2

2

2

2 7：求(xa)1248项x8xx

2)3展开式中的常数项是 B.

第二 概率初一、随机的概必然，不可能与随.我们常用大写字母A、B、C…表示，如设“掷两枚均匀的硬币，至少有一个正面向”随机的概在重复同一试验时，若进行了n次试验 A发生了m次，则称n率m

为A发生的在大量重复同一试验时 A发生的频

n就把这个常数叫做A的概率，记做p（A）.显然二、概率计等可能的概基本及由基本组成 （正，正）（正，反）（反，正）（反，反次，第1次正面向上，第2次向上”，“将一枚均匀硬币先后抛掷两次，两次均为向用集合的符号表示为1n

.如 A包含了m个基 ，那 A的概P（A）=n互斥（或称互不相容）有一个发生的概如果A和B不可能同时发生，则称A和B为互斥如抛掷一枚均匀硬币，出现正面向上的和出现向上的就是一对互斥.一般地，如果A1，A2，…，An中任何两个都是互斥，则说A1，A2，…，An彼此互斥互斥有一个发生的概A与B至少有一个发生的叫做A与B的和，记做A∪B或者A+B.如果A与B互斥，则有P(AB)P(A)P(B)A1+A2+…+An.如 A1，A2，…，An彼此互斥，则 对立的概其中必有一个发生的两个互斥叫做对立一个A的对立事情记做A.显然AA是必然，P(AA)1AA

PAPA)PAA)1PA)1PA例如，2（2）中的例如还可以用下面的方法求解：将取出的3件全是一级品的记为AA

就是取出的3件至少有1件二级品，A的概率为 P(A)15 ，所以P(A)1P(A) C C相互独立同时发生的概件叫做相互独立.如一枚匀硬币先后抛掷两次，设第一次正面向上为A，第二次正面向上为B，这两个就是相互独立.A与B同时发生的叫做A与B的积，记做A·B或A∩B.A1∩A2∩…∩An如果A与B是相互独立，则A与B的同时发生的概率为例如：一枚均匀硬币先后抛掷两次，求两次都正面向上的概率如果在1次试验中某发生的概率是P，在n次独立重复试验中这个恰好发生kk 的概率记做Pn(k)，那 P(k)CP(1 例如：某射手射击1次，射中目标的概率是0.9，求他射击4次恰好目标3次的概率.

2100521件次品的概率为（

.6位号码时，锁才能打开.若忘记了这个号码的末两位数字，则他试开一次就把锁打开

例4：一部4卷的，按任意次序放到书架上，则第一卷不出现在两旁的概率是 B.

.出1个球，它们都是白球的概率为 7

例6：任取一个正整数，其平方数的末位数字是4的概率等于 ）.【05年试题A. B. C. D.例7：桌上有中文书6本、英文书6本、俄文书3本.从中任取3本，其中恰有中文书、英文书、俄文书各1本的概率是（ ）.【06年试题】4

）.【07年试题】 数是 ）.【07年试题 例10：某装置的启动由0-9中的3个不同数字组成，连续三次输入错误，就会导致装置永久关闭。一个仅记得是由3个不同数字组成的人能够启动转置的概率为 ）【2010年MBAA. B. C. E.第六 集合与函第一 集一、集合的定义A，Baba是集合AaAaAaA。二、集合的分类 构成的集合，记为全体有理数构成的集合，记为全体复数构成的集合，记为三、集合的关系ABAB（ABB（读作“BABABABABABRCNZQRA，都有AABBAAB相等。若集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为AnA的非空子集个数为2nAnA的真子集个数为2nAnA的非空真子集个数为2n四、集合的基本运算设A和B是两个集合所有既属于A又属于B的元素x构成的集合称为A和B的交集，记作A B。设A和B是两个集合，所有既属于A，或者属于B的元素x构成的集合，称为A和B的并集，记作A B。IAIIAxAI的补集，也可记作CIAI也常称为全集。 AA, , AA, ACI ,CI AA B A, B C)( C)( C(A C)( CC), C)(( C)CI( B)CI CIB,CI( B)CI CIB经典例题

xx3211xx3 D.211xx3例2：集合0,1,2,3的子集的个数为 ）.【07年试题A. B. C. D.N3RMx2x2Nxx1，则CRN

等于 xx

x2x

xx

x2x例4：设全集Ia,b,c,d,e，集合Ma,b,d，Nb，则集合 N=（

a,

a,b,

b,c,第二 函一、函ABf:ABAB的函数.yf(x对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的两个自变量x1x2，当x1x2f(x1)

f(x2（f(x1

f(x2f(x（或递减f(x的递增（递减）区间f(xxf(x)f(x)（f(x)

f(x)f(x叫做奇（偶）函数f(x与f

具有相同的奇偶性y轴对称二、分数指nnan （a0m、nN，且n an （a0m、nN，且n1）a aaaman

(am)n

(ab)n

（a0b0m、nR三、对aabN(a0a1，那么baN的对数，记作logNba对数的运算法则(M0N0a0且aloga(MN)logaMlogaMlogaNlogaMloga logMnnlog 换底：

Nlogm

(m0,mm logmlogab

logb

(b0,b logb 四、幂函yn0yxn的图像过点(00)和(1,1，在区间(0上是增函数n0yxn的图像过点(1,1，在区间(0上是减函数.yaxRx轴的上方，过(0,1点a1yax(a0a1Ra1yaxR上的减函数

yloga

(a0a1)

y(a0a1RR七、指数不等式与对数不等（1）当a1afx)agx)

f(x)

f(x)logaf(x)logag(x)

g(x)（2）当0a1afx)agx)

f(x)g(x)f(x)g(x)

af(x)

g(x)

f(x)g(x)经典例题

f(x)g(x)例1：图1xoyyf(x) ）.【2009年

f(x)A.x26xC.x24x

B.x26xD.x24x例2：若函数f(x)logax(0a1)在区间a,2a上的最大值是最小值的3倍则a 22 22 3：设函数f(x)的定义域是0,1，则函g(x)1xf(sinx) 1xf(1cosx)的定义域是 x

0x

x

0.5x4.f(x

x,x

，则有 1x,xf(f(x))(f

f(f(x))

ff(f(x))

f

f(f(x))f5yf(x是定义在(3图表示的是该函数在区间2,1上的图像.f(1)ff(3)f

的值等于 ）.【2009年B. C. D. 例6：一次函数yf(x)的图像经过(2,1)和(4,3)两点，则f(x) 7Rf(xf(x1) flog123的值为

f(x1x(0,1f(x2x 12

2

例8：函数ylnx1，x(1,)的反函数为 xy

exex

，x(0,

y

exex

，x(0,y

exex

，x(,

y

exex

，x(,第三 复一、复数的概念、性质及其表示

i21，称i

复数的实部与虚 形如zxiy的数称为复数，通常记为z，即zxiy，这xyxz的实部，记为Rezxyz的虚部，记为Imzy。x0且y0ziy称为纯虚数；y0zxy0z复数的代数表示zxiyz(abzxiy(abRy轴去掉原点的部分叫做虚轴，它上面所有的点与纯虚数集一一对应。复数的向量表示如果吧复数的实部和虚部分别看做向量的分量，这样向量OPx2x2

zz

rx2x2z1x1iy1z2x2iy2z1z2x1x2iy1y2

z1z2(x1x2)i(y1y2

z1z2(x1iy1)(x2iy2)x1x2y1y2i(x1y2x2y1z1x1iy1(x1iy1)(x2iy2)x1x2y1y2ix2y1x1

(z x x2

x2

x2 二、共轭复zxiyzxzzzz的共轭复数。（1）(z)（2）zR,zz1z2z1zzz

；zzx2y2z z1 (z2 2经典例题例1：i是虚数单位，(1i)6的模等于 ）.【08年试题22A. B. C. D.22例2：复数zii2i3i4i5i6i7，则zi ）.【07年试题32 D.32例3：复数z(1i2)的模z ）.【05年试题2B.2

C. 2例4：已知(xi)3是一个实数，则实数x（ 233

1

3

D. 3235z

1

i1

2A. B. 216z11

2i25i3，则z ）.【2009年GCT 33

2C. D.2第七 常见几何图形与三角函第一 平面几何图形与立体几何图一、三角111ABCS△ABC,2

1 (即为底·高·2a2如图2中，a2b2c2a23个顶点的距离相等.2中，DBADA=DB=DCc30°的角的对边是斜边的一半c3如图3中，∠A=30°，a 或c2a，此时直角三角形的三边之比 3222 线三线合一，均为AD.34如图6，△ABC中，AB=BC=BC=a a34

7，△ABCAB'C全等，记△ABCAB'C'△ABCAB'C相似，记△ABCAB'C有∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C'

AB

AC

.当△ABCAB'C

SABC(AB)2SA'B'C

A'二、四边1所示性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分周长：l2(a 面积：Sa2a2l2(a

S

定义：有一组邻边相等的平行四边形面积：面积等于对角线乘积的一半定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形面积：面积等于边长的平方3a，下底为bhMN MN

(ab)2

S (a2三、与圆有关的计算，如图所示c2l

Sr S扇形

lrn为对应的圆心角2四、长方体积VS全2(abbca2a2b2 注abc时为正方体体积：VrS2全面积

全注：圆柱体的侧面展开图是一个长为2rh的长方形。全体积：V1r2h3r2r2r2S侧rLr2r2全全面积： r2rLr2r2全注：圆锥体的侧面展开图是一扇形，扇形的圆心角 L L22S展 rL七、

体积：V43S4r2经典例题例1：AD为ABC中边BC的中线，若AB2，AC4，则 AD

2AD

1AD上，且AFFEEDDCCB，则A（

例3ABC的面积是120D是BC的中点，AE1BEEF1FD 那么三角形AFD的面积是 ）平方厘米A. B. C. D.3例4：设ABC~A'B'C'且AB 3

ABCa2，AB'C的面积是a2A'B 那么a的值为 A. B. C. D.例5ABCDABCDA900，DBC900，AB1，BC3AD，则梯形ABCD的面积为（ 2A.22C.2

B.55D.55例6：等腰梯形的两底长分别为a，b，且对角线互相垂直，它的一条对角线长是 2(ab)

2(a

1 (ab)1

a7ABCDBE2ECAOB9cm2积为 ）cm2A. B. C. D. 8：如图所示，直角ABCAB207，那么ABC A. B. C.50 D.50例9：如右图所示，小半圆的直径EF落在大半圆的直径MN上，大半圆的弦AB与MN平行且与小半圆相切，弦AB10厘米，则图中阴影部分的面积为（ 【2006】A.C.例10：如图2，长方形ABCD中，ABa，CDb(ba).若将长方形ABCD绕A点顺时针旋转900，则线段CD扫过的面积（阴影部分）等于（ ）.【2009年 4

4

(b

2a2

(b41将容器注满水，然后取出该球（假设原水量不受损失（【200653

613713

813

D.例13：现将圆锥体的高扩大到原来的4倍，而底面半径缩小到原来的一半，则变化后的圆锥体 A.4 B.2 C.1 D.12图b所示（单位：dm若用甲容器取水注满乙容器，则至少要 ）次.【2005年】A. B.C. D.1564立方厘米.若过聚在每个顶点的三条棱的中点作截面，沿所4（小四面体，则剩余部分的体积是（）.【2009】A.32立方厘 B.36立方厘 C.40立方厘 D.44立方厘22

的面积是A.C.42 第二 三角函一、角的定义与度1角度 周角

1度，记为10弧度制与半径等长的圆弧所对圆心角称1弧度，记为1rad 10 rad0.01745rad，1rad

rad或中文“弧度”就表示弧度制r的圆弧，若弧长为l，所对圆心角大小为rad，则有lr二、三角函P为角终边上任意一点，它的坐标为(x,y)Prx2rOP .x2 正弦函数

余割函数csc

斜rx余弦函数cos xr

r正割函数sec rx

的对 正切函数

余切函数cotx的邻 的对 180sin012221013222120033130cot

3 3存3在三、三角函数间的关当为锐角时，和

)

)sin

)cot

)tan当为锐角时，和

)sin

)

)

)cottancot1(k,k2

cossec

k,kz)sin2cos2

tan

tancotsin()sincoscossinsincos()coscossintantan1tantan1tantana2asina2btan basin22sin

sin()（辅助角所在象限由点(ab的象限决定，tan221tan2cos2cos2sin22cos2112sin2sin2

cos112121cos11cos1sin

tan1cos2万能

1sin 1tan22

1tan2cos 1tan22

tan 1tan22四、正弦定 sin五、余弦定

bsin

sin

2R（R为ABC与外接圆的半径a2b2c22bccosb2c2a22cacosc2a2b22abcos六、面积定1①S ah1bh11

（hhha、b、c边上的高

②S absinC bcsinA casin 七、三角函数的周yAsin(xxRyAcos(xxR（A，，A00）的周期T2ytan(xxkkz（AA00）2T八、三角函数的图像与 性ysinxR，值域是1,11，最小值为1.期为2的奇函数.它在2k2k上是增函数，在2k2k3 2 2 kZycosxR，值域是1,11，最小值为1它是最小周2的偶函数.它在(2k1)2k上是增函数，在2k2k1)上是减函数，其中kZ.ytanx的定义域是xxkkZR.它是最小周期为2 2 函数.在kkkZ 2 ycotx的定义域是xxkkZR.它是最小周期为的奇函数.在kkkZ.经典例题1：若2

是 A.第二象限 B.第二或第四象限C.第二或第三象限角 D.第一或第二象限角例2：在边长为10的正方形ABCD中，若按图所示嵌入PQMN顶点落在大正方形的边上.则这六个小正方形的面积 ）.【2009年GCT】A.305C.325

B.305D.32例3：如图，在正方形网格中，A,B,C是三个格点。设BCA,则tan的值是 1

2 D.23例4：等腰ABC中，ABAC ，底边BC3，则顶角A的取值范围是 3【2009年GCT

4

4

,)例5：在平面直角坐标系中，已知两点Acos110,sin110，Bcos50,sin50，则有坐标原点O到线段AB中点M的距离是（ 23123

16ABC中，A，B，Ca，b，c成等差数列，且知B300

3，则b 32312

B.1 C.2 323

D.2 第八章平面解析几第一 平面向一、定ABBCABBCABADABCDABADAC设、R，①() ②()③()三、向量的坐标表设向量ax1y1bx2y2ab(x1x2,y1y2a(x1,

a-b(x1x2,y1y2ab=x1x2y1x2y abx2y abax1x2y1x2y x2y 7.定比分 xx1x2，xy1y21 1经典例题例1：在ABC中，OAOBOBOCOCOA则O为ABC的 A.内 B.外 C.重 D.垂aba例2：非零向量a和b满 则a与a+aba 例3：已知向量a与b的夹角为2，a2,b4，则ab 573573A.3

B.

C.

D.

所成比为2，P(1,C.1，P(1,2

2，P(1,1，P(1,2 第二 直线方一、直线的斜设为直线的倾斜角，0,，则ktan

(2设直线lPxy

xyky2

(xx)

x 二、直线的五种方

yy1k(xx1（直线lP1x1y1k斜截式：ykxb（b为直线ly轴上的截距两点式：

y

x

(yy

（P(x,y)，

(x,y)，xxy x

(y1y2)

xy1（a、ba、b0

AxByC

三、两条直线的位置关l‖lk

，A1B1

l1l2k1k2 xB1C2l1和l2相交，夹角为

，则tan

k2

，它们的交点坐标为

1

yC1A2C2 P(x0y0AxByC0A2A2Ax0By0平行线间的距离：若l1AxByC10l2AxByC2A2A2C1 ：设A(x1,y1),B(x2,y2)，(x(xx)2(yy 经典例题例1：与直线l：x2y10的夹角为，且过点P(1,0)的直线方程是 y3(xC.y2(x1)或y3(x

y2(xy3(x1)或y1(x3例2：过点P(3,0)作直线l，使其被两直线l1：2xy20和l2：xy30所截得的线段恰好被P点平分，则直线l的方程是（ 8xy24

7xy21

6xy18

9xy27例3：已知直线l的斜率为1，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，则l的方程为 6x5y6 B.x5y6x5y60或x5y6 D.x6y60或x6y6例4：点P（2，4）关于直线2xy10的对称点为 6,11

6,22

1,6

1,2255

5

5

5 xy

xy

xy1

x

y1

xy

y例6：经过点A(3,2)的一条动直线l分别交x轴，y轴于M、N两点，Q是线段MN的中点，连结OQ延长至P，使OQQP，则点P的轨迹方程是（ A.xy2x3y0

xy2x3y0

xy2x3y

2x3y第三 一、圆的方程的几种形 (xx)2yy)2

，其中(x0y0为圆心r为半径1D21D2E2

x2y2DxEyF0,其中圆心为(DE 2圆的参数方程：圆心在(xyr的圆的方程是xx0r yyr 其中是参数二、直线与方程的位置直线lAxByC0，圆(xa)2yb)2r2rM(ab到直线l(xa)2(yb)2rd。设方程组

AxByC

则直线lM相交dr，或方程组（Ⅰ）有两组不同的实数解；则直线lM相切dr，或方程组（Ⅰ）有两组相同的实数解；则直线lM相离dr，或方程组（Ⅰ）无实数解.三、两个圆的位置关圆C(xa)2yb)2r2的圆心C(abr 1 圆C(xa)2yb)2r2的圆心C(ab，半径rdCC 1设方程组

(xa)2(yb)2 则圆C1与圆C2相交

dr1r2，或方程组（Ⅱ）则圆C1与圆C2相外切dr1r2，或方程组（Ⅱ）则圆C1与圆C2相内切

dr1

，或方程组（Ⅱ）则圆C1与圆C2相外离则圆C1与圆C2相内含

dr1r2，或方程组（Ⅱ）0dr1r2，或方程组（Ⅱ）经典例题例1：圆心在直线2xy70上的圆C与y轴交于两点A(0,4)，B(0,2)，则圆C的方程 A.(x2)2(y3)2 B.(x2)2(y3)255C.(x2)2(y3)2 D.(x2)2(y3)255例2：已知直线l过点(20，当直线lx2y22xk为 A.22,22

B.

2,2

2,2

1,1 4

88 例3：直线x2y50与圆x2y225相交截得的弦长为 55 B.55

554：将直线2xy0x1x2y22x4y55相切，则实数的值为 A.3或 B.2或 C.0或 D.1或例5：在圆x2y24上，与直线4x3y120距离最小的点的坐标为 8,6

8,6

8,6

8,655

5

55

5 第四 圆锥曲一、椭

2aF1F2，aP圆

1，其中

a

ab0ybsinxacosabybsinceca

xc

②定义域为xaxa；值域为yby③长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c二、双曲

2a

曲线

1，其中

c

，a0，bxaybtan

其中a0b0，是参数cecab

(eb

y x，y a2ax

P到l1的距离P到l2②定义域为xxa或xa，定义域为R③实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c三、抛物①y22px(p ②y22px(p③x22py(p ④x22py(pe M到L F(

F

,2

F 2

F(0, x2经典例题

x2

y2

y2 4

1的两个焦点F1、F2F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点P，则PF2 3 3

D.xy xy

.直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为 A.5

99

D.4223Fx22

1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i1,2, )， dd的取值范围为（A.1,0

B.0,1

C.1,0

D.1,1

10

10100,110例4：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)，F2(3,0)，则其0,110 例5：已知

1xcos2ysin21的圆心在第四象限，则方程x2cosy2sin20的图形是 ）.【2005年A.双曲 B.椭 C.抛物 D.直2例628

y 1yb

8x的准线重合，则双曲线的离心率为222 B. C. D.2227：ABy24xFABM3AB的长等于 ）.【2008年B. C. D.

1(a0b0F1F2.P异于顶点的一点.PF2（）.【2009年A.外 B.相 C.外 D.内第二部积第一章极限、连续与导数的定1、(2005f(x的定义域是[0,1g(x)

1xf(sinx)

1xf(1cosx)的定义域是 Ax

B、0x

Cx

D、0.5x2、(2008fx

x,x,则有 1x,xA.ffxfC.ffxf

B.ffxfD.ffxf3、(2009)若f(x)maxx2 x，则函数f(x)的最小值等于 1A. B. xx

D.4、(2005f(x)

(x1)(x

在(,)上有 A、1条垂直渐近线，1条水平渐近线B、1条垂直渐近线，2条水平渐近线C、2条垂直渐近线，1条水平渐近线D、2条垂直渐近线，25、(2007)若limf(x)4，则必定 f(1)f(xx1x1的某邻域（x1）f(x)x1的某邻域（x1）f(x)6、(2009g(x)x0点某邻域内有定义.若limxg(x)1成立，则（x0g(xx

sing(x)x0limg(xg(x)x0g(x)x0 3x(et21)dt,x7、(2007f(x)x3

a,x

在x0点连续，则a

8、(2005)设f(x)在x0处可导，且f(1)2(n1, )，则f'(0) B. C. Df(a19、(2006)设f(x)0，且导数存在，则limnln n

fA. B. C.lnf

ff210、(2008)若函数fx可导，且f0f'0 ，2

f2hh

2A． B. C.2

D. 1sin2Afxcosxg1sin2

Bfxxln(1x)g(x)ln(1Cfx

xxx(x1),gxx4x2 -3

Dfx

x2,gx12、设函数f(x) 0x

y

x的定义域 x13、已知fx1x21，则f'x x x14fxx2exe

xx

,fx15、函数fx 的反函数2

x是 16、设数列an，bn满足limanbn0，则（ A、若an发散，则bn必发 B、若an，则bn必有1aC、若an有界，则bn必为无穷小 为无穷小量，则bn必为无穷小an 17、已知 axb0，则 xx

B、a1b nA、n

1n n1

1x B、 x2x1C、lim11 D、lim1xxx x x0 319

sinxxxcosxsin3xsin3x1cos3xsin5 21、求

xtanxsinsin

0型 0型 22、

tanx2x3 23、求

11xsinxex2ln1x

x24、设函数fxax

xx

af(xx1 C、无穷大 abx2sin26f(x)sin,

xx

x0处连续，则（ AabCab

B、abD、ab27、方程x32x2x20在区间3,2内 C、至少有一个实 128、x0是函数f(x)xex的 C、无穷间断 29、设函数f(x)在x2处可导，且limfx1f21，则f'(2)

3x ax2b,x31、设f(x) ，若f(x)在x1处可导，求a和b的值32、设函数yf(x)在点x0处可微，yf(x0h)f(x0)，则当h0时，必有 A、与dy是h的等价无穷小 B、dy是比h高阶的无穷小C、ydy是比h高阶的无穷小 D、ydy是比h同阶的无穷小第二数的运算及应11、(2004)如图所示，f(x),g(x)是两个逐段线性的连续函数，设u(x)fgx，则u'(1)的 13 4

343

2、(2007)设ylntanxln1，则y' 2 2 A.

16

D.163、(2009)若可导函数f(x)满足f'(x)f2x，且f(0)1，则在点x0的三阶导数f'''(0) B. C.

D.4(2005)

f

fx1a必有 limf'(xa)f'(x) A. B.

5、(2008)函数fx在1上具有连续导数，且

f'x0，则 fx在1,上有

fx存C.limf2xfx存 D.limfx1fx6、(2009)lim(x1) x1sinA. B.

C. D.7、(200620.P

f(t的产值变化情况.f(t x(x1)2,0x8、(2006)曲线y(x1)2(x2),1x2在(0,2)区间内有 A.2个极值点，3个拐 B.2个极值点，2个拐2个极值点，1个拐 D.3个极值点，3个拐 23h23

2

10、(2007yx1x2x2y21上的点之间的最短距离为d， 2d

d

d

d(1,11、(2008)已知fx3x2kx3k0,当x0时，总有fx20成立，则参数k的最小 A. B. C. D.12、(2003)方程x2xsinxcosx的实数根的个数是 B.2 C.3 D.413、(2004)如下不等式成立的是 A.在(30ln3xln(3C.在0ln3xln(314、(2003)14、(2003)f(x)xt2(t1)dt，则f(x)的极值点的个数是

B.在(30ln3xln(3D.在0ln3xln(3A.0 B.1 C.2 D.315、设f(x)etankx，且f'()e，则k 4 16

f ) ，则f'() 17、设ylnln2ln3x，求y

xe218、设f(x)x(x1)(x (xn)，则f'(0) 19yarctanyyxdyx20、求由方程2yx(xyln(xyyy(xdy21、曲线xyx2y在1,1点的切线方程和法线方程22、若曲线yx2axb和2y1xy3在点1,1处相切，其中a,b是常数，则 A、a0,b B、a1,bC、a3,b D、a1,b23f(xx3ax2bxx1处有极值2a，b

f(x24f(xx1处有极值2f(0)0f'(x3x22axb，试求ab有极值点，并是极大还是极小值25、若曲线y(axb)3在点1,ab3处有拐点，则a与b应满足关 26f(x在2-5f(x有（27、设函数yf(x满足f''(x2f'(xf(x0，如果f(x0f'(x00，则函f(x)在点x0处 C、某邻域内单调增 28、设函数yf(x)在点x0处满足条件f'(x0)f''(x0)0，f'''(x0)0则下列结论中正确的 A、f(x0)是f(x)的极大 B、f(x0)是f(x)的极小C、f'(x0)是f'(x)的极大 D、x0,f(x0)是曲线yf(x)的拐29、求函数f(x)ex3x55的最大值、最小30x24y21 31PP(x6x表示需求量，P求使时的产量、量大收益和相应的价第三章一元函数积分

21、(2009)g(x)在[0上连续.若在(0g'(x)0，则对任意的x0 A.xg(t)dtxg(sin 2g(t)dt 2g(sin

B.xg(t)dtxg(sin 2g(t)dt 2g(sin 2、(2005)设x2lnx是f(x)的一个原函数，则不定积分xf'(x)dx 2x3lnx1x3

2xx2lnxx2lnxx2 D.3x2lnxx23、(2007)设函数f(x)可导，且f(0)1，f'(lnx)x，则f(1) 2

1

1

D.4、(2003)甲、乙两人百米赛跑成绩一样，那么 5、(2005yf(x在0af(0)0f(aag(x)f(x

af(x)g(x)dx f2(a)g2

f2

af

a6、(2007f(x)x1f(t)dt1x3f(t 3排序，它们与图中所标示y1(x)，y2(x)，y3(x)的对应关系是 y1(x)，y2(x)，y3 B.y1(x)，y3(x)，y2y3(x)，y1(x)，y27、(20037、(2003I

y3(x)，y2(x)，y1I88、

If(xsinxsinxdx1

0I

If(f(xsinx)cosxdx B. C. 4a2t9、(2006)设a0，则在0,a上方程 4a2t2dtx 4a2t 数为 10、(200621.f(x2为周期的连续周期函数，它在021223

是线性函数则2fg(x)dx 003211、(2008x0fxgx，且恒等式fxgtdtx21成立，则函数fx 1A.2x

B.2x

C.x2

D.x212、(2008若exfx21

fInxdx 4

C.4x

D.1x13、(2009)若连续函数f(x)满足0uf(xu)du ln2，则0f(x)dx（x 12

B. C.2

D.14、(2004过点psinp作曲线ysinxyS1xpxS2，则（ p0S

B、 p0S

C、 p0S

p0S 2 1)x2把yx(bx)(b0)与x轴所构成的区域面积2为SA与SB两部分，则 SA

SA

SASA与SB的大小关系与b的数值有关16、若f(x)的导函数为sinx，则f(x)有一个原函数为 A、1sin

B、1sin

C、1cos

D、1cos17、不定积分sin2xdx 其中C为任意常A1cos2x2Ccos2x

B、sin2xDcos2x18yf(x上任一点x,f(x)处切线的斜率为2x，且此曲线经过点12曲线的方程为 Ay3x

Byx2C、yx2 D、yx219、设f(x)可导，则下列各式中正确的是 Af'(x)dxf

Bdx

f'(x)dxfC

f'(2x)dxf(2x)

Dd

f(2x)dxf20f(x为连续函数，且

dx f(x)dxF(x)C，则下列各式中正确的是 C

f(axb)dxF(axb)1f(ln dxF(lnax)C,a1x

B

f(xn)xn1dxF(xn)f(ex)exdxF(ex)21、设函数f(x)可导，则下列各式中正确的是 dAf'(x)dxfCdf'(x)dxf

Bdxf(x)dxfD、df'(2x)dxf'(2xln33（1） 33

x2

x

（3）

1ln23、设为常数，则ex(1ex)adx sin3 （2）sin2xcos3 sin233

cos3cos3sin27、求不定积分

ex44x2ex28、求不定积分(x2)229、求不定积分exsin30f(x在区间ab上可积，则下列各结论中不正确的是（

f(x)dx