DOC-高中数学题库-三角函数与三角恒等变换、解三角形-图文

高中数学题库-三角函数与三角恒等变换、解三角形_图文

一、任意角

例1写出终边符合下列要求的角集：

（1）在x轴上；_________________________________________．

（2）在y轴上；_________________________________________．

（3）在坐标轴上；_________________________________________．

（4）在直线y=x上；_________________________________________．

（5）在直线y=x或y=x上．_________________________________．例2写出终边符合下列要求的角集：

（1）在第四象限；_________________________________________．

（2）在第一、三象限；_________________________________________．例3写出终边符合下列条件的两角的关系：

（1）与终边重合；_________________________________________．

（2）与终边在同一条直线上；_______________________________________．

（3）与终边关于x轴对称；_________________________________________．

（4）与终边关于y轴对称；_________________________________________．

（5）与终边关于原点对称；_________________________________________．

（6）与终边关于直线yx对称；____________________________________．

（7）与终边关于直线yx对称；___________________________________．

1.已知角是小于180的正角，如果角7的终边与角的终边重合，试求的值.

2.扇形区域区域周期为360，即每旋转一周恰好一次覆盖该区域；而对角形区域的周期为180，即每旋转一周恰好两次覆盖该区域.

3.若集合M

kk,kZ,N1k,kZ,则集合66

M,N的关系为___________.MN

4.若将时钟拨慢5分钟，则时针转了__________度，分针转了_________度.

5.已知与终边关于直线yx对称，若

6.已知点P(sin3，则_______33,cos)落在角的终边上，且0,2，则的值为_______44

33变：角（02）的终边过点P(sin,cos），则______55

二、弧度制

1.已知圆上的一段弧长等于等于该圆内接正三角形的边长，则这段弧所对圆周角的弧度数为__________.2

22.已知扇形的周长为16cm，则其面积的最大值为________16cm

拓展：（通常用半径作为自变量构建函数模型）

（1）当扇形的周长为定值C时，当且仅当扇形所对应的圆心角为2rad时，可取得扇形面C2

积的最大值为；16

（2）当扇形的面积为定值S时，当且仅当扇形所对应的圆心角为2rad时，可取得周长的最小值为4S；

3.（旋转问题）

（1）在直径为10cm的轮子上有一长为6cm的弦，P是弦的中点，轮子每秒转5rad，则经过5s后点P转过的弧长为_________100cm

（2）已知相互齿合的两个齿轮，大轮有50齿，小轮有20齿.

（1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角的弧度数的大小（不考虑方向）；

（2）如果大轮的转速为180r/min（转/分），小轮的半径为10cm，试求小轮圆周上一点1s转过的弧长.5;小轮转速为7.5r/min；150cm

（3）已知x轴的正半轴上一点A绕着原点依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A每分钟转过角（0），经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来的位置，那

么是多少弧度？

4.若45或77

2

2

2，则的取值范围是________5.扇形的面积为1cm，它的周长为4cm，求圆心角的弧度数和弧长.

6.已知扇形的圆心角为，半径为6，则扇形所含的弓形面积为_______

7.已知1rad的圆心角所对的弦长为2，求

（1）这个圆心角所对的弦长；231

sin2

（2）这个圆心角所在扇形的面积.11cos1

8.

，宽为1dm的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30的角，则点A走过的弧的总长为_dm

.

926

三、任意角的三角函数

1.当sin时，角的终边位于____________

2.已知角的终边经过点P(3,m)(m0)，且sin

并求cos和tan的值.m52m，试判断角所在的象限，4

3.如果2rad角的终边上一点P到坐标原点的距离为1，则P点的坐标为_______

4.已知角的终边落在直线y3x上，求sin,tan的值.

5.已知角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则2sincos的值为_______

6.已知点M在角的终边的反向延长线上，且OM1，则点M的坐标为_______

7.若点P(3a9,a2)在角的终边上，且cos0,sin0，则实数a的取值范围是________.

8.角的终边上有一点P(x,2)且cosx，则sin_______-1或-2/33

9.若sinsin，则和满足的条件是__________1nn(nZ)

10.若coscos，则和满足的条件是__________2n(nZ)

11.若tantan，则和满足的条件是__________n(nZ)

12.利用单位圆中的三角函数线，完成下列问题：

（1）确定下列各角的取值范围：sin1;cos;tan122

（2）已知为锐角，证明：1sincos

2（利用面积或周长都可以）

,sin（3）已知与均为第二象限角，且tantan，则sin

（4）作出符合下列条件的角的终边：cos;tan

（5

）求函数的定义域：ylgsinx变式1

、函数的定义域为ylg(2sinx1)

变式2

、函数的定义域为y变式3、集合Ax的大小关系为______1412kxk,kZ,Bx4x20，则AB=

3

变式4

、函数y

（6）若为锐角，试比较,sin,tan之间的大小关系

13、函数ysinxtanxcosx的值域为______

sinxtanxcosx

2costan变式、函数y的值域为______1,5,5,1sinsin

14、若cos2x3，又是第二、三象限角，则x的取值范围是______4x

BOA15、A,B是单位圆上的两个质点，B点的初始坐标为（1，0），

3,质点A以1rad/s

的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点B以1rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，过点A作AA1y轴于点A1，过点B作BB1y轴于点B1

（1）求经过1s后，BOA的弧度数；BOA

32

5

6（2）求质点A,B在单位圆上第一次相遇所用的时间；s

（3）设点A1与B1间的距离为y，请写出y关于时间t的函数关系式并求出最值

t6

变式、若点P从（1，0）出发，沿单位圆x2y21按逆时针方向匀速运动，且角速度是

6rad/s，ts钟运动到Q点

（1）当t=4，求Q点的坐标；（2）当t0,6时，求弦PQ的长（用t表示）解：（1

）12sint（余弦定理、两点间距离公式、垂径定理）；（2）212

16、若角的终边上有一点P(

4,a)，且sincos，则a的值为______4

17、已知角的终边在直线ykx上，

若sin可利用斜率解决得结果为2os0，且c则实数k______

18、若tanxsinx，则角x所在象限为______二或四

19、已知点Psincos,tan在第一象限，在0,2内角的取值范围是______

20、若,是关于x的二次方程x22cos1xcos20两根，

且则角的范围是______k,kkZ332

sincoscos2sin21021、已知x，y均为正数，满足2,，222xy42xy3(xy)

则x的值为_____________y

sincoscos2sin210原题呈现：已知x，y为非零实数，且满足，，xyx2y23(x2y2)

则x3的值为_____3,3y

思考：命题意图何为？三角函数定义

从方法的角度，消参，两种方式：（1）引入新的参数对其消参；（2）直接内部消参，不引入新的参数；

（n个5）练习：若二次函数yf(x)满足对任意的正整数n，当x55555，

x55555（2n个5），则yf(x)的解析式为_______________

考点：曲线的参数方程，x

559(10n1),y102n1),消去n后得：f(x)x22x995

四、同角三角函数基本关系式

1、试用单位圆法和定义法证明同角三角函数的基本关系式；

2

、化简下列三角函数式：tan

3、证明下列三角恒等式：（弦切互化，1的代换）

12sincoscos2

（1）sin2

cos2sin212sincos(2)11

sin2xcos2x1

tan2x2tan2x(3)cosxsinx2(cosx

1sinx1cosxsinx)

1sinxcosx

4、已知sincos1

5，且0,，求下列各式的值：

（1）sincos；（2）sincos；（3）sin3cos312

25;791

5;125

5、已知sincos1

8,

4,2

，则cossin2

变式1、已知

2,0,sincos1

5，

（1）求sincos的值；（2）求sin22sin2

1tan的值

变式2、设fnsinncosn,nN，且f

1a,a（1）求sincos；（2）求f2;f3;f4

变式3

、已知,,11，则sin21

2sincos32

变式4、设f(sinxcosx)sinxcosx，则f

6=______

变式5、已知sin5sin5

21

5

（1）求sincos的值；（2）；求sin3cos3的值

（3）当0时，求tan；

sinxcosx3，求tanx和2sin2x(sinxcosx)2的值sinxcosx

asinxbcosx;msin2xnsinxcosxpcos2x的值（齐次分式的求值问题）变式：csinxdcosx6、已知

nsi3cos的值为______变：已知cos2sin，则25725cos3sin22

7

2tanx，求角x的取值范围______xx2k或2kx2k,kZ

22

变式：化简8

、若sincoscos1，则在第______象限；四

1cos6xsin6x9、化简441cosxsinx

10、已知sin,cos是方程8x6kx2k10的两个实数根，则实数k的值为______2

11.求值：2sin10cos10

sin10cos102_________-1

12.（1）已知cos

（2）已知0,8，求sin和tan的值；1711sin2cos，且，求tan的值；52

（3）已知tanm，求sin和tan的值；

解：若角位于第一、四象限或x轴的正半轴时，sinm

m2，cos1m

2若角位于第二、三象限或x轴的负半轴时，sinm

m2，cos1m2

13.已知tanx112，则tannx_________（nN*）2或2ntanxtanx

五、三角函数的诱导公式

1.已知sin()

122，,，则cos()_______332132.cos(x15)，则cos(x165)_______

3.已知tan()

4.求下列各式的值

（1）sin(1200)tan

（2）cos131)_______；sin()______，,0，则tan(21137cos585tan()64322

5cos234coscos0555

5.化简：sin[(k1)]cos[(k1)]-1sin(k)cos(k)

6.已知cos(x75)122，x为第三象限角，则sin(x105)_______33

7.在ABC中，若sin(2A)2sin(B)3cos(2A)2cos(B)，则ABC的三个内角分别是____________7;;4612

5)m，则8.tan(sin(3)cos()________.sin()cos()

2sin470cos110

9.化简：=________-1sin250cos790

a2

10.已知cos165a，则tan195_______a11.若sin(

6)3，则cos()______53

3cos()cos(2)sin(12.已知f()sin()sin()2

（i）化简f()；

31)，求f()的值.25

3sin()cos(2)sin(13.已知f()cos()cos()2

31)的值；（1）求f(3

3（2）若f()，求sin,tan的值.5

sincoscos2的值；（3）若2f()f()，求2sincos

314.如果sin()，则cos()_________454（ii）若是第三象限角，且cos(

15.化简：

（1）cos(

（2）cos(22)tan(2)sin(2)=_______1sin

44

4n14n1)cos()(Z)（3）cos(44

C2ABcos2116.在ABC中，求证：cos22

总结ABC中的一些三角结论：正弦、余弦、正切关系？半角关系如何？拓展：已知A,B,C,D顺次为圆内接四边形的四个内角，则

（1）cosx)cos2(x)ABCDACsin；（2）sin(D)cos(D)；4422

17.判断下列函数的奇偶性：

sin4xcos4x1（1）f(x)sin(x)x)22

（2）f(x)acos(

2x)btan(x)

18.如果f(sinx)cos2x，则f(cosx)_______

1cosx,x119.已知f(x)，则f()________23f(x1)1,x1

20.若sin(3)，，则tan()=________242

21.函数f(x)cos

3x(xZ)的值域为________

sin()cos(2)sin(

22.已知tan2，求tan()sin()

1其中,31803)的值；)23.已知cos(75

值．90sin(105)cos(375)的,求

3cos()cos(2)sin(24.已知f()3sin()sin()2

（i）化简f()；

（ii）若是第三象限角，且cos(

25.定义在(0,31)，求f()的值.25

2)上的函数y2cosx的图像与ysinx的图像的交点为P，则点P到

x轴的距离是______________

六、三角函数的周期性

1.若函数f(x)cos(x

6)(0)的最小正周期是，则的值为．5

2.若f(x)sinx

3，则f(1)f(2)f(3)f(2003)＝

3.已知f(x)3sin(2x

立，则=________π，若存在(0,π)，使f(x)f(x)对一切实数x恒成6

4.已知函数f(x)sin(wx

4)(xR,w0)的最小正周期为，将yf(x)的图像向

左平移||个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是

5.设a0，则函数ycos(ax)的最小正周期为_________

6.定义在R上的函数yf(x)，满足f(x2)1，则它的一个周期为_______f(x)

7.已知yf(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)0，则方程f(x)0在区间0,6内解的个数的最小值为________.

8.已知函数f(x)满足：f(x1)1f(x)，求证：f(x)是周期函数.1f(x)

9.已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数.

（1）求f(4)的值；（2）若2x1时，f(x)sin

的解析式.

210.定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当x3.1时，f(x)(x2),2x1，求2x3时，f(x)

)_____338当x1,3时，f(x)x，则f(1)f(2)f(3)f(2012

11.设函数D(x)1,xQ,则下列结论错误命题的序号为_______30,xQ

（1）D(x)的值域为0,1；（2）D(x)为偶函数；（3）D(x)不是周期函数

（4）D(x)不是单调函数

12.已知g(x)x(2x)，0x1，g(1)0，再设函数yf(x)，xR是以2为周

期的奇函数，且在0,1上f(x)g(x)，画出yf(x)(2x2)的图象并求其解析式.

x(x2),2x2,0,x1,x(x2),1x0,解：f(x)x(2x),0x1,0,x1,x(x2),1x2.

1≤x0，ax1，1]上，f(x)bx213.f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[1，，0≤x≤1，x1

13bR．若ff，则a3b的值为______-10其中a，22

14.函数y＝f(x)是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x＝2时函数取得最小值－5.

(1)证明：f(1)＋f(4)＝0；(2)求y＝f(x)，x∈[1,4]的解析式；(3)求y＝f(x)在[4,9]上的解析式．解：（2）f(x)2(x2)5,1x42

3x15,4x6,（3）f(x)22(x7)7,6x9

15.已知函数f(x)cos

3x,xR

（1）求函数的最小正周期；

)的值.（2）求1f(1)2f(2)3f(3)2012f(201220092

x16.定义在R上的奇函数f(x)满足f(3x)f(3x)，若当x0,3时，f(x)2，

x6则当x6,3时，则f(x)的解析式为________f(x)2

17.已知函数f(x)在区间1,2上的表达式为f(x)x，若对于任意xR，

39f(2x)f(2x)，且f(x3)f(1x)，则f______.22

18.函数f(x)2sin(

2x

5)，对任意xR都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则

x1x2的最小值为________.2

19.求函数f(x)sinxcosxsin42x的最大值和最小值.研究周期：f(x)f(x)，故可只考虑函数在0,上的情形.22

最小值为1，最大值为21

七、三角函数的图象与性质

1.已知函数f(x)sin2xsinxa，若1f(x)4对一切实数xR恒成立，则实数a的取值范围是________.3,

2.函数tan(2x154

6)1，则x的取值范围是________变：使tanx3成立的角x的范围是__________3

3.已知函数f(x)2sin(x)(0)图像与直线y1的交点中距离最近的两点间的距离为,则_______23

4.对于函数fx2sin2x

于直线x图象关于原点成中心对称；②图象关给出下列结论：①3

12成轴对称；③图象可由函数y2sin2x的图象向左平移个单位得到；④3

图象向左平移个单位，即得到函数y2cos2x的图象。其中正确结论是_______12

上为增函数，且在这个区间上的最大值为3,则正数45.函数f(x)2sinx在0,

值为__________

6.已知k为正实数，f(x)2sinkx在,上为增函数，则k的取值范围为_____34

,上的最小值为-3，则k的最小值43变式1：已知函数f(x)3sinkx(k0)在区间

等于_________.2

变式2：已知函数f(x)2sinkx(k0)在区间

大值等于_________.1

变式3：已知函数f(x)2sinkx(k0)在区间

等于_________.-2

7.函数y2sin3x(,上的最小值为2，则k的最43,上的最小值为-2，则k的最大值34

6x5)与函数y=2的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的6

面积是____________

]，若关于x的方程3sin(2x)a有两解，则a的取值范围是_______23

9.关于函数f(x)4sin(2x)(xR),，有下列命题：38.设x∈[0，

（1）由f(x1)f(x2)0，得x1x2必是π的整数倍；

（2）y=f(x)的表达式可改写成y4cos(2x

（3）y=f(x)的图象关于点(6)；

6,0)对称；

（4）y=f(x)的图象关于直线x

6对称

其中正确命题的序号是_____________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

)(0),若f()f()，且f(x)在区间(,)内有64364

452,20最大值，无最小值，则．,5510.已知函数f(x)sin(x

11.已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,0)在x

12时取得最大值4，

在同一周期中，在x5时取得最小值4.12

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）求函数f(x)的单调增区间；

（3）若f(2

312)2，(0,)，求的值.

解：（1）依题意，A4；---------------------------------------------1分

T522，∴T，∴，∴3；-----------------4分23121233

将(

12,4)代入f(x)4sin(3x)，得sin(

4)1，0，∴

4，∴f(x)4sin(3x

（2）由2k4).-------------------------------------------------6分

2≤3x

4≤2k

22k2k≤x≤，---------9分34312

2k2k,]，kZ.-------------------10分34312

21（2）由f()24sin(2)2cos2，--------------13分

31222

55(0,)，∴2或2，∴或.------------------15分3366即函数f(x)的单调增区间为[

12.函数fxsinx2sinx,x0,2的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是。

13.若f(x)sin(x

4),x(0,2)，并且关于x的方程f(x)m有两个不等实根x1,x2，

则x1x2值为14.（2009全国卷Ⅰ理）如果函数y＝3cos2x＋的图像关于点4，0中心对称，那么||的最小值为

315.(2009湖北卷理)函数ycos(2x

6)2的图象F按

向量a平移到F,F的函数解析式为yf(x),当yf(x)为奇函数时，向量a可以等于

16.函数f(x)Asin(x)（A，，是常数，A0，0）的部分图象如图

所示，f(0)的值是_____

17.函数f(x)Asin(x)(A0,0,0,2）

的图像如图所示，则______

18.将函数y2sinx的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐3

标扩大为原来的π倍（纵坐标保持不变），得函数yf(x)的图象，则f(x)的解析式为_______

19.要得到函数ycos(x)的图象，只需把函数ysin

24''x的图象向_平移个单位；2

20.将函数y2sin(2x7)1图像，按向量a平移后得到的函数图像关于原点对称，这3

样的向量是否唯一？若唯一，求出a；若不唯一，求出模最小的向量

21.（2009全国卷Ⅱ理）若将函数ytanx

后，与函数ytanx40的图像向右平移个单位长度6的图像重合，则的最小值为6

变式：（2011全国卷）设函数f(x)cosx(0)，将yf(x)的图象向右平移个单3

位长度后，与原图象重合，则的最小值为；若所得图象与原图象关于x轴对

称，则的最小值为；若所得图象为偶函数，则的最小值为22.ysin(2x

3)的递减区间是______；ylog1cos(

2x)的递减区间是_______34

23.0，函数f(x)sin(x)在(,)上单调递减,的取值范围是

_________24

24.若关于x的方程满足2cos(x)m,x，则方程有两个不同实数解的3

4

m的取值范围是_________

25.有一种波，其波形为函数ysin

2x的图象，若在区间0,t上至少有2个波峰（图象

的最高点），则正整数t的最小值为_________

26.已知函数fx3sinx0和gx2cos2x0的图6

象的对称轴完全相同，则g的值是3

227.函数f(x)2sin(x)（其中0，

2）的图象

如图所示，若点A是函数f(x)的图象与x轴的交点，点B、D分

别是函数f(x)的图象的最高点和最低点，点C(,0)是点B在12

x轴上的射影，则ABBDππ28.

函数yx的部分图象如右图所示，则24OAOBAB

29.函数f(x)tanx在,内是减函数，那么的取值范围是_____1,022

30.函数yx的对称轴方程是__________

31.已知函数ysinax(a0)在区间0,1内至少取得两次最小值，且至多取得三次最2

大值，则a的取值范围是______________7,13

32.定义在0,上的函数y2cosx的图象与ysinx的图象的交点为P，则点P

到2

x轴的距离为________.25

33.求下列函数的定义域：

（1）y2sinx1；（2）yx2cosx

（3）yxcosx；（4）y11tan2x4

（5）y

（7）ytanx3；（6）ylg(1tanx)；2log1xtanx；0,,422

（8）ylg(2sinx1)2cosx

（9）y1；（10

）ylgsinxsinx1

34.画出下列函数的图象，并根据图象判断函数的周期性

（1）ysinx；（2）y11(cosxcosx)；（3）f(x)sinx；22

1(tanxtanx)（单调递增区间）2（4）yx（写出单调区间）；（5）y

35.判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)sin(x

4)cos(x

4)

（2）g(x)2sinx2sinx

5x)的值域为________46

3737.（1）比较cos与cos的大小；2436.函数ycos2x(

（2）在锐角三角形ABC中，比较cosA与sinB的大小关系；

38.求下列函数的值域

（1）ycos2xsinx1,x

（3）y

cosx33（2）y；,；cosx344（4）y3sinx2sinx2c0s2x5sinx1；

39.已知函数f(x)2sinx2sinx

（1）作出函数yf(x)的图象；

（2）由函数f(x)的图象求出f(x)的最小正周期、值域和单调递增区间.

40.已知函数ytanx在区间aa,上单调递增，则实数a的取值范围是_______32

0,1

π41.给定性质：a最小正周期为π；b图象关于直线x＝3

有性质ab的是________．

xπππ①y＝sin(＋②y＝sin(2x＋)③y＝sin|x|④y＝sin(2x－)2666

42.已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是________．

4

43.如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)，x∈R的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．

π①函数f(x)的最小正周期为；2

②函数f(x)的振幅为3；

7③函数f(x)的一条对称轴方程为x＝π；12

π7④函数f(x)的单调递增区间为[]；1212

2⑤函数的解析式为f(x)＝3sin(2x－π)．3

44.已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.

T3解析：由图可知，＝2π－，24

52π54∴T＝π，π，∴ω＝，2ω25

4∴y＝sin(x＋φ)．5

43又∵＋φ)＝－1，54

3∴sin(π＋φ)＝－1，5

45.已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________.

2ππ解析：由图象知T＝2(－＝π.36

2πππππ∴ω＝＝2，把点(1)代入，可得＋φ＝，φ＝T6626

π答案：6

π46.已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx4

的图象，只要将y＝f(x)的图象________．

π解析：∵f(x)＝sin(ωx＋x∈R，ω>0)的最小正周期为π，4

2πππ＝π，故ω＝2.又f(x)＝sin(2x＋)∴g(x)＝sin[2(x＋)ω48

πππ＝sin(2x＋)＝cos2x.答案：向左平移个单位长度428

π247.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f()f(0)＝________.23

T117π2π解析：π－＝，∴ω＝＝3.212123T＋

7又(π，0)是函数的一个上升段的零点，12

73ππ∴π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ2kπ，k∈Z，1224

π22222代入f()＝－，得A，∴f(0)＝.答案：23333

πx48.当0≤x≤1时，不等式sin≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．2

πx解析：当0≤x≤1时，y＝siny＝kx的图象在[0,1]之间的部分应位于2

此图象下方，当k≤0时，y＝kx在[0,1]上的图象恒在x轴下方，原不等式成立．

πx当k>0，kx≤sin时，在x∈[0,1]上恒成立，k≤1即可．2

πx故k≤1时，x∈[0,1]上恒有sin≥kx.答案：k≤12

π49.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<的周期为π，且图象上一个2

2π最低点为M(，－2)．3

π(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[0，]时，求f(x)的最值．12

2π2π2π解：(1)由最低点为M(，－2)得A＝2.由T＝π得ω＝＝＝2.3Tπ

2π4π4π由点M(，－2)在图象上得φ)＝－2，即φ)＝－1，333

4ππ11πππφ＝2kπ－k∈Z)，即φ＝2kπ，k∈Z.又φ∈(0，)，∴φ＝32626

π∴f(x)＝2sin(2x＋)．6

ππππππ(2)∵x∈[0，∴2x＋[，，∴当2x＋，即x＝0时，f(x)取得最小值1；当1266366

πππ2x＋，即x＝时，f(x)取得最大值3.6312

50.方程sinx1x的解的个数为_________.74

51.如果函数y3cos(2x)的图象关于点,0中心对称，那么的最小值为4

3

______.6

4111，求sinycos2x的最值最大值为；最小值为931252.已知sinxsiny

53.已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,||)在一个周期内的图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调递增区间；（3）设0x，且方程f(x)m求实数m的取值范围和这两个根的和.

54.已知函数yAsin(x)(xR,A,0)的图象在y轴右侧的第一个最高点（函数取最大值的点）为P,2，在原点右侧与x轴的第一个交点为R(,0)

（1）求函数yf(x)的解析式；1356

（2）求函数在区间2123,上的对称轴方程.44

55.将函数ysin(2x

3)的图象向右平移(0)个单位长度，得到的图象关于y轴

对称，则的最小值为_________.12

56.试用五点法作出函数f(x)2sin(2x

3)的图象，并说明这个函数的图象可以由

ycosx图象如何变换得到？

57.已知函数f(x)2sin(2x)4

（1）这个函数是否为周期函数？为什么？

（2）求它的单调增区间和最大值.

58.已知函数f(x)2asin(2x)b(a0)的定义域为0,，值域为1,1，32

则实数a_______,b_________.

59.矩形ABCD中，ABx轴，矩形ABCD恰好能完全覆盖函数yasinaxaR,a0的一个完整周期图象，则当a变化时，矩形ABCD周长的最小值为.

60.函数f(x)sin(x)(N*,0)是R上的偶函数，图象关于点M(,0)对称，且在区间0,34上是单调函数，则函数f(x)的解析式为f(x)_______2

f(x)cos2x

变式：函数f(x)sin(x)(0,0)是R上的偶函数，图象关于点M(,0)对称，且在区间0,34上是单调函数，则函数f(x)的解析式为f(x)_______2

2x3f(x)cos2x或f(x)cos

62.函数ysinx与ytanx的图象在0,2上的交点个数为_______.3

63.当0x1时，不等式sinx

2kx恒成立，则实数k的取值范围是________.k1

64.函数yAsin(x)的最小正周期为__________.变式：函数yAsin(x)B的最小正周期为__________.

65.已知点Ax1,fx1,Bx2,fx2是函数f(x)2sin(x)(0,

20)

图象上的任意两点,且角

的终边经过点P(1,,若f(x1)f(x2)4时,|x1x2|的最小值为.3

（1）求函数fx的解析式；

（2）求函数f(x)的单调递增区间；

（3）当x0,时,不等式mfx2mfx恒成立,求实数m的取值范围.6

解：解：（1）角

的终边经过点P(1,

，tan

由f(x1)f(x2)4时,|x1x2|的最小值为

∴f(x)2sin(3x

(2）20，3.222，得T，即，33333)

22k3x

3

22k,即

182k52kx,3183

2k52kkz,函数f(x)的单调递增区间为318318

时,fx1,于是,2fx0,mfx2mfx6

(3)当x0,

等价于mfxfx12，由fx1,得的最大值为132fx2

fx2fx13

ππ）的图象关于直线x对称，则θ26所以，实数m的取值范围是m66.若函数f(x)sin(x)（0

67.函数y=sin2x的图象可由函数y=sinx的图象作两次变换得到，第一次变换是针3

对函数y=sinx的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换：

A.图象上所有点向右平移π个单位；6

B.图象上所有点向右平移π个单位；C.图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；

D.图象上所有点的横坐标变为原来的1倍（纵坐标不变）.2

请按顺序写出两次变换的代表字母：________.（只要填写一组）BD（DA）

68.已知函数f(x)2sin(2x

的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在)(0)

4

13

[1，1]上的单调增区间为[,]

4469.定义运算ab

a,ab,

，则函数f(x)sinx*cosx的值域为_______.

b,ab.21,

2

70.函数y3sin(2x

6

)（x0,）的单调递增区间为________.

ππ

)|对x∈R恒成立，且f(＞f(π)，则f(x)122

71.已知函数f(x)＝sin(2x+φ)，φ∈R，若f(x)≤|f(

5ππ

的单调递减区间是.［kπkπ－］，k∈Z；

121272.将函数ysin(2x

2

)的图像向左平移至少个单位，可得一个偶函数的图像3

七、三角函数的应用

1．已知泰州某浴场的水高度y(m)是时间t(0t24,单位：h)的函数，记作yf(t),下表是某日各时的浪高数据：

经长期观察，yf(t)的曲线可近似的看成是函数yAcostb

（1）根据以上数据，求出函数yAcostb的最小正周期T,振幅A及函数表达式；（2）依据规定，当高度高于1m时，才对游泳爱好者开放，请根据（1）的结论，判断一天内的上午8时至晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？2.如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s时刻的位移为cm．答案：－1.5．

3.

（3）求证：不论t为何值，f(t)f(t1)f(t2)是定值.

4.一半径为2m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3s转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间。

(1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度h（m）表示为时间t（s）的函数；

(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？

(3)记f（t）=h，求证：不论t为何值，f(t)+f(t+1)+f(t+2)是定值

5.弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t（秒）内离开平衡位置（就是静止时的位置）的距离h(cm)由函数关系h2sin(2t

（1）求小球开始振动时的位置；

（2）求小球上升到最高点和下降到最低点的位置；

（3）经过多少时间，小球往返一次？

4)决定.

（4）每秒钟内小球往返多少次？

八、三角恒等变换

（一）三角函数的图象问题

1.将函数y2可得函数ysin3x的(cos3xsin3x)的图象沿x轴平移h个单位，2

图象，其中h的所有取值中，绝对值最小的是_________.

2.已知函数f(x)sin(x)，其中0，

（1）若cos122.

4cossin3sin0，求的值；4

（2）在（1）的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函3

数f(x)的解析式，并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数.

解：（1）

4；（2）m

2123.已知函数f(x)sinx3sinxsin(x

侧的第一个最高点的横坐标为

（1）求；

（2）若将函数f(x)的图象向右平移2)2cos2x,xR,0，在y轴右.6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原6

来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间.

4.已知函数f(x)Asin(x)，（其中A0,0,0

上有一个最低点为M(2）的周期为，且图像2,3)3

（1）求f(x)的解析式；

（2）求函数yf(x)f(x

4)的最大值及对应x的值．

5.已知函数f(x)2cos2x2sinxcosx(0)在区间0,整数k的值为__________.1或2或3.

6.若函数ysin2(x

为.

（二）化简求值问题上是单调函数，则正86则实数a的值)与函数ysin2xacos2x的图象的对称轴相同，

41.已知tan，则5sin22sin205

2.已知函数ysin2xacos2x的图象关于直线x

3.已知sin(x8对称，则a的值为______.-1π3π4)，sin(x)，则tanx-74545

4.已知向量a(cos,sin)，b(2,1)．

sincos的值；sincos

(2)若ab2，(0,)，求sin()的值．24(1)若ab，求

（1）由ab可知，ab2cossin0，所以sin2cos，……2分所以sincos2coscos1．…………………6分sincos2coscos3

（2）由ab(cos2,sin1)可得，

a

b2，即12cossin0，①……………10分

3sin522又cossin1，且(0,)②，由①②可解得，，…12分

42cos5

34cos))所以sin()．……14分4555.已知函数f(x)1acos2xasinx（x0,）的最大值为2，则实数a的值为242_________.10或63

73)cos(x),xR446.（2011四川）已知函数f(x)sin(x

（1）求f(x)的最小正周期和最小值；

（2）已知cos(a)

7.求下列函数的值域：44,cos(),(0)，求证：[f()]220552

sinx21（反控法）,cosx12（1）ysinxcosx（x为锐角）；（2）y

（3）y4sinx153,cosx23

8.已知函数f(x)sin(2x

6)，g(x)cos2x，直线xt（tR）与函数f(x),g(x)

的图象分别交于M,N两点.

（1）当t时，求MN的值；1/22

时的最大值.12（2）求MN在t0,

9.设函数f(x)，其中向量(2cosx,1)，(cosx,3sin2xm)

（1）求函数f(x)的最小正周期和在0,上的单调递增区间；

（2）当x0,时，f(x)的最大值为4，求m的值.16

10.（2011天津卷）已知函数f(x)tan(2x

（1）求f(x)的定义域与最小正周期；4),

（2）设0,

4，若f()2cos2,求的大小．2

（1）解：由2x

42k,kZ，得x

8k,kZ.2

所以f(x)的定义域为{xR|x

8k,kZ}，f(x)的最小正周期为.22

sin(a)a2(cos2asin2a),（2）解：由f()2cos2a,得tan(a)2cos2a,24cos(a)4

sinacosa2(cosasina)(cosasina).整理得cosasina

112因为a(0,)，所以sinacosa0.因此(cosasina),即sin2a.422

.由a(0,)，得2a(0,).所以2a,即a42612

11.已知向量(1,cosx),(,sinx)

（1）当x0,14时，若，求x的值；4

（2）定义函数f(x)()，xR，求f(x)的最小正周期及最大值.

12.已知f(x)2cos2x23sinxcosxa,aR

（1）求f(x)的最小正周期；

（2）若f(x)在,上的最大值与最小值之和为3，求实数a的值.063

13.已知定义在R上的函数f(x)asinxbcosx(0,ab0,a,bR)，f(x)的最小正周期为.

（1）求的值；

（2）试探究a和b满足什么关系时，能使得f(

4x)f(x)对一切xR恒成立.

ab0

14.已知函数f(x)(11)sin2xmsin(x)sin(x).tanx44

（1）当m0时，求函数f(x)在

（2）当tan2时，f()123,上的取值范围；0,2843，求实数m的值.-25

15.计算

的值等于

16.已知函数f(x)2asin2x2asinxcosxab的定义域是,，值域是22,5，则a,b的值分别为______

17.求函数y11x2x(x0,)的值域.三角换元42

12,22nt18.（2010浙大自主招生）若sin(x20)cos(x10)cos(x10)，则a

19.已知sinsin,coscos

20.求证：x____.13591,则cos()______.722sin(2)sin2cos().sinsin

21.训练1：角的拆分

（1）已知角2,的正余弦值，如何求2的三角函数值？

（2）已知角,的正余弦值，如何求2的三角函数值？

（3）已知角

22,的正余弦值，如何求

2的三角函数值？

训练2：角范围的求解

（1）已知0,，求的范围；22

，,0，求,的范围；22

3，求的范围.4（2）已知0,（3）

2

22.（1）cos()coscos能成立吗？恒成立吗？为什么？（反例思想）

（2）当,均为锐角时，判断cos()与coscos的大小关系，并说明理由.

23.如图，在ABC中，B为直角，DEAB于点E，ACDC，设BC1.

（1）若BAC30，DAC45，试求ADE的各边之长，由此推出75的三角函数值；

（2）设BAC，DAC（,,均为锐角），试由图推出sin()的公式.

24.函数yasinxbcosx的最大值为_________，最小值为___________.

25.（1）sin()sinsin能成立吗？恒成立吗？为什么？（反例思想）

（2）当,均为锐角时，判断sin()与sinsin的大小关系，并说明理由.

26.已知cos(

3)2cos，则tan______.

27.已知8cos2()5cos0，且

2k,

2k(kZ)，

tan()tan的值.13

3

28.在ABC中，已知cosBcosC3sinBsinC，试求cosA1

cos(BC)的值.2

29.已知,均为锐角，且sin5

5,tan3.

（1）cos()；（2）2

2;4

30.已知向量(2cos,1),(2tan,2)

（1）若//，试求锐角的值；

4

（2）若，且71

2,0，求cos(4)的值.4

（▲）和、差、倍角的三角函数的习题课（1）

一、基础训练

1.sin()________________；coscossinsin____________.

2.化简：4sin

4cos

4cos2_______.sin3.cos12sin12cos12sin12_______.2求

1tan22.5

4.下列各式中，值为的是__________.①sin15cos15②21tan222.5

③cos30

④2cossincossin②12121212

5.化简：sin20sin20_______.2cos10

6.若sin(512)2),,,则角的值为_______.1244442

注：可利用两角互余优化

7.已知,均为锐角，且cos()sin()，则tan______.1

8.化简：cos

sincossin(1tantan)_____.122222

二、例题精讲：

1

例1：化简：2x)sin2(x)442cos4x2cos2x

讲评：（1）分子是一个完全平方公式；

（2）弦切互化；

（3）角的拼凑与划分，整体关系；

（4）化繁为简是数学的一贯追求.

例2：化简：sinsincoscos

讲评：抓住同构思想

法一：从角入手，出现角为与，将二倍角转化为与的三角函数；法二：从名入手，只出现正弦或余弦；

法三：从形入手，平方结构；

法四：从幂入手，降次扩角；

222211cos2cos222

)例3：（1）若2tan3tan，求证：tan(sin2；5cos2

（2）已知,均为锐角，且满足3sin22sin21，3sin22sin20，求证：2

2.

解：（2）3sin2cos2,3sin22sin2，两式相除

注：重视对式子结构的特征分析，从结构统一角度探寻思维方向，目标导向作用很关键.

（1）注意到目标式的右端只有角，故将角消去；

（2）求角或者证明角的等式，一般先求出这个角的某个三角函数值，再根据角的范围确定角的大小，或证明两个角的同名三角函数相等，且两个角在此三角函数的同一个单值区间上.

例4：证明：1sin24tan2tan2cos2

注：对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，常用定义法、化弦法、拆项拆角法、1的代换、公式变形等手段.变式：证明：1sin11tan1sincos222

注：注意到目标式的右端只有角

三、巩固练习，故将角消去2

1.函数f(x)(13tanx)cosx的最小正周期是________.

2.设asin14cos14，bsin16cos16，c6，则a,b,c的大小关系为_____.2

3.化简：22cos82-sin8的结果是_______.2sin4

x)x)4.化简：_________.tanxx)sin(x)44

要点回顾：

（1）重视变角的常用方法：目标角用条件角、特殊角表示，还可以将条件角用目标角表

示；

（2）三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同名函数、同角函数、同次函数等，其中切函数化为弦函数也是同化思想的体现；

（3）常用代换也是值得注意的解题策略，如1的代换，又如将

示等；

（4）降次是一种三角变换的常用技巧，要熟练掌握降次公式，并灵活运用；

（5）三角恒等变换，特别是三角等式的证明问题，要重视对式子的结构特征的分析，从结构统一的角度探寻思维方向，目标导向作用很关键.

自我测试：

1.求值：12sin2cos2_________.2

2.化简：cos4sin4_________.cos2

3.化简：3用sin60或cos30表211________.tan21tan1tan

24.函数f(x)2cos(x

4)1的奇偶性为_________..奇函数

5.函数f(x)2cos2xsin2x的最小正周期为_________.

6.求值：sin(

7.证明：2126)sin2(6)sin2________.sin(2)sin2cos().sinsin

2tan.1tan238.证明下列式子：（1）sin33sin3sin；（2）sin2

9.求证：sincoscos(2

3)sin2(

6)的值与无关.

()2tan，其中,,均不为k10.已知tan

3sinsin(2).

11.已知sinsincos()（,均为锐角），求证：

12.求证：sin22,kZ，求证：sin2tan.3cos2sin22sinsincos()=sin2().

13.切比雪夫多项式的系列研究

由倍角公式cos2x2cosx1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式.对于2

cos3x，我们有cos3x4cos3x3cosx，可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式.一般地，存在一个n次多项式Pn(t)，使得cosnxPn(cosx),这些多项式Pn(t)称为切比雪夫（P.L.Tschebyscheff）多项式.

（1）求证：cos3x4cosx3cosx；

（2）利用结论：cos3x4cosx3cosx，求出sin18的值（31890218）

（3）请尝试求出P4(t)，即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x；

（4）请尝试求出P6(t)，即用一个cosx的四次多项式来表示cos6x；

（5）请尝试解决下列问题：

（08江苏高考14）f(x)ax33x1对于x1,1总有f(x)0成立，则a解：由cos3x的切比雪夫多项式cos3x4cosx3cosx，作代数变形可得333

x10对任意xR恒成立，cos3x14cos3x3cosx1，由co3s

4co3xs3coxs10对任意xR恒成立，作代数换元tcosx，原不等式就等价于4t33t10对任意t1,1恒成立，即为试题考查的结论.

（2010江苏高考附加题23）已知△ABC的三边长为有理数

（1）求证cosA是有理数；

（2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数.

第（1）问在利用余弦定理的基础上结合有理数集对除法运算的封闭性易证得；对于第（2）问的解答，参考答案给出了同步数学归纳法，同时归纳cosnA和sinnA的有理性，看完参考解答会觉得解法确实有道理，但是从学生思维的发生认识来看，本题所用的同步数学归纳法虽属数学归纳法的一种，但思路学生难以获得.为此，笔者在本例的第（2）问的教学中做了如下设计：

思考1：先不证明，能否站在切比雪夫多项式这个高的视角上先给出该命题的合理性解释？参考解答：由切比雪夫多项式的定义可知：任意一个cosnx都可以表示为cosx的n次多项式.因为第（1）问已证得cosA是有理数，故cosnA也是有理数.

思考2：切比雪夫多项式呈现的是倍角的余弦值之间的关系，能否根据切比雪夫多项式的结构特征给出证明？

2参考解答：因为cosA是有理数，由cos2A2cosA-1可知cos2A是有理数，

cos(n1)AcosnAcosA-sinnAsinA,（这个式子中出现了倍角的正弦的关系，能否转化为余弦的关系？）

由cos(n-1)AcosnAcosAsinnAsinA,sinnAsinAcos(n-1)AcosnAcosA，

sn1)A的有理性由cosnA和故cos(n1)AcosnAcosA-cos(n-1)A，可知co(

cos(n1)A的有理性决定，因为cosA，cos2A是有理数，从而cos3A是有理数，同理可得cos4A,cos5A,cos6A,，cos(n-1)A，cosnA为有理数，命题得证.

（2010年福建高考题）观察下列等式：观察下列等式：

①cos22cos-1;

②cos48cos8cos1;

③cos632cos48cos18cos1;

④cos8128cos256cos160cos32cos1;

⑤cos10mcos1086426424221280cos81120cos6ncos4pcos21.可以推测，mnp_________.1010

（▲）和、差、倍角的三角函数的习题课（2）

一、基础训练

1.(sin15cos15)________.232

3sin70

_________.22.求值：2cos210

3.化简：cos(70)sin(170)sin(70)cos(10)_______.

4.若cos(2

2)74,则cos2的值为________.255

5.已知4，则tan2________.,，sin352

tan58tan92_________.6.1tan58tan883

7.cos20cos40cos80________.18

思考：能否对结论做进一步推广？_________________________

8.若sin:sin

二、例题精讲

例1：（1）tan20tan403tan20tan40；（228:5，则cos_________.7253164sin22022sin20cos20

解：（1）3；（2）32（辅助角公式是一种重要变形，处理分式的基本思想就是分子、分母分别化积，以便约分）

拓展：专题：三角形中一个三角恒等式的深度研究

在斜三角形中，求证：tanAtanBtanCtanAtanBtanC

思考1：一般地，当A,B,C满足什么条件时，tanAtanBtanCtanAtanBtanC能成立？（是怎么推导的？）

在△ABC中，若tanA:tanB:tanC1:2:3，则A．π4

思考2：（2012年江苏高考15题）在ABC中，已知3

（1）求证：tanB3tanA；（2

）若cosC求A的值．思考3：在ABC中，请你探究tanAtanBtanC的取值范围