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第六章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积知识回顾数乘定义：

一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ>0时,λa

的方向与a方向相同；当λ<0时,λa

的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0一、向量的夹角已知两个非零向量

和，作，，则叫做向量和的夹角．OABOABOABOAB

我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算：

W=|F||S|cosθ

其中θ是F与S的夹角思考1：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。思考2：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其

结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；二、平面向量的数量积的定义

已知非零向量与，我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作，其中θ为两向量的夹角；即：规定：零向量与任意向量的数量积为0，即说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.

（2）a·b中间的“·”在向量的运算中不能省略，也不能写成a×b

，a×b

表示向量的另一种运算（外积）．

（3）在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是[0°，180°]．思考3：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？当0°≤θ＜

90°时为正；当90°＜θ≤180°时为负。当θ=90°时为零。数量积符号由cos的符号所决定例1.已知解：=-10解：由得因为所以。三、向量的投影投影投影向量θOOθOABCDA1B1投影向量OMNM1OMNM1四、平面向量的数量积的性质(3)当向量与共线同向时，；当向量与共线反向时，.特别地，或(5)θ=90ºθ=0ºθ=180º︱cosθ︱≤1设是非零向量，它们的夹角是

，是与方向相同的单位向量，则已知向量和实数，则向量的数量积满足：（1）（交换律）（2）（数乘结合律）（3）（分配律）五、平面向量的数量积的运算律思考4：向量的数量积满足结合律吗？说明：例3.对任意

，恒有，对任意向量，是否也有下面类似的结论？解：练习：导与练大册子例5.已知

为单位向量，且

的夹角

为

，求向量在上的投影向量。解：向量

在上的投影向量为练习：导与练大册子方法总结[例7]已知|a|=6,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则a与b的夹角为

.

例8.已知

且与不共线，当k取何值时，向量与

互相垂直？解：

与

互相垂直的充要条件是因为所以解得所以，当

时，

与

互相垂直。练习：导与练大册子一、1.数乘向量的定义及运算律

2.向量共线定理

二、定理的应用：

1.证明向量共线

2.证明三点共线:AB=

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